四直线与直线垂直关系.doc

四 直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系
知识要点：
1．垂直关系
线线垂直 线面垂直 面面垂直
2．垂直关系的判定定理
（1）线线垂直的判定定理：
判定定理1：，判定定理2：三垂线定理及其逆定理
（2）线面垂直的判定定理：
判定1： ，判定2： ：
判定3： ：
（3）面面垂直的判定定理：判定：
3．垂直关系的性质定理：
（1） 线面垂直的性质定理：
性质定理1: ，性质定理2:
（2） 面面垂直的性质定理：
题例
1．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）
A．若 B． 则
C． D．
2．如图在正三棱锥A—BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A—BCD的体积是 ( )
A. B. 　　　C. D.
3．已知、是平面，、是直线，给出下列命题
①若，，则
②如果，，则
③如果，，是异面直线，那么不与相交。
④若，且，，则且。
其中真命题的个数是
P
A
B
C
D
F
E
A、1 B、2 C、3 D、4
4.如图，在四棱锥中，底面是矩形，
平面，且，点是棱的中点，
点在棱上移动.
(Ⅰ)当点为的中点时，试判断直线与平面的
关系，并说明理由；
(Ⅱ)求证：.
5．如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上。
（Ⅰ）求证：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。
6．如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC， AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积．

【分析】（1）只要证明∥即可，根据三角形中位线定理可证；（2）证明；（3）根据锥体体积公式进行计算。
【解析】（1）由已知得，是ABP的中位线

（2）为正三角形，D为PB的中点，
又
又 平面ABC⊥平面APC
（3）由题意可知，，是三棱锥D—BCM的高，

7．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，
（1）求证：；
（2）求证：A1C//平面AB1D；
（3）求点A1到平面AB1D的距离。

8.如图，底面为正三角形，

第8题
面， 面，
，设为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

9.在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体E-AFMN的体积．

解.（1）因翻折后B、C、D重合（如图），所以MN应是的一条中位线，
则．
（2）因为平面BEF，且，∴，
又　∴．
10．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小
解：方法一：（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE
∵△VAD是正三角形∴AE⊥VD，AF=AD∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE
又由三垂线定理知BE⊥VD
因此，是所求二面角的平面角于是，，
即得所求二面角的大小为
方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。
（Ⅰ）证明：不妨设，则，，
由，得，又，因而与平面内两条相交直线都垂直。
∴平面

（Ⅱ）解：设为中点，则

由，得，又因此，是所求二面角的平面角。
∵∴解得所求二面角的大小为
练习五 直线、平面垂直的判定与性质

一． 选择题
1．给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的
Ａ．充分非必要条件　　　　　　　　Ｂ．必要非充分条件
C．充要条件　　　　　　　　　　　 Ｄ．既非充分又非必要条件
2．设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是
A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B．过直线有且只有一个平面与平面垂直
C．与直线垂直的直线不可能与平面平行
D．与直线平行的平面不可能与平面垂直
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为
A. B. C. D.
4．已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是
A． B． C． D．
5．已知直线m，n和平面满足,则

或 或
6．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
8．若、m、n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则
9．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
Ａ．，，，
Ｂ．，，
Ｃ．， Ｄ．，

10.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：
①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；
③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.
A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④
11．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
12．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
① ②
③ ④
其中正确命题的序号是
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
二．解答题
13.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中 底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证: BE//平面PAD;
（2）若 求三棱锥E-DBC的体积．

14.如图：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A1C1的中点.
(1) 求证：面MNP∥面A1C1B；
(2) 求证：MO⊥面A1C1.

15.如图所示，在长方体ABCD-中，AB=AD＝１, AA1=２, M是棱C的中点.
（Ⅰ）求异面直线Ｍ和所成的角的正切值;
（Ⅱ）证明：平面ABM平面A1B1M.

16.如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,,垂足为，是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面 平面;
（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积。

17．如图，平行四边形中，，将
沿折起到的位置，使平面平面
（I）求证： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）求三棱锥的侧面积。

18．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线平面.

19. 三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

练习五 直线、平面垂直的判定与性质参考答案
1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 6. D7. B 8.D9. D 10.C 11. C 12.C

14. 证明：（1） 连结D1C， MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.
又∵D1C∥A1B∴MN∥A1B.同理MP∥C1B.
而MN与MP相交，MN，MP面MNP，A1B，
A1B面A1C1B.∴面MNP∥面A1C1B.
证明：（2） 法1，连结C1M和A1M，设正方体的边长为a，
∵正方体ABCD—A1B1C1D1，∴C1M=A1M，
又∵O为A1C1的中点，
∴A1C1⊥MO
连结BO和BM，在三角形BMO中，
第20题答案图（1）
经计算知：
∴OB2+MO2=MB2，
即BO⊥MO.而A1C1，BO面A1C1B，∴MO⊥面A1C1B.
…………………………………………………………12分
法2，连结AB1，B1D,B1D1,则O是B1D1的中点,
∵AD⊥面ABB1A1,A1B面ABB1A1,∴AD⊥A1B.
又A1B⊥A1B,AD和AB1是面AB1D内两条相交直线,
∴A1B⊥面AB1D,…………………………………………8分
又B1D面AB1D,∴A1B⊥B1D.同理:BC1⊥B1D. 第20题答案图（2）
又A1B和BC1是面A1BC1内两条相交直线,∴B1D⊥面A1BC1.………………………10分
∵OM是△D1B1D的中位线,∴OM∥B1D.∴OM⊥面A1BC1.…………………………12分
15.解 (Ⅰ)如图，因为，所以异面
直线Ｍ和所成的角，因为平面，
所以，而=1，，故.
即异面直线Ｍ和所成的角的正切值为
（Ⅱ）由平面，BM平面，得 BM ①
由（Ⅰ）知，， ，，所以，
从而BMB1M ② 又, 再由① ②得BM平面A1B1M，而BM平面ABM，因此平面ABM平面A1B1M.
16.解： (1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。
所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H.
所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD.
(2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=. 因为APB=ADR=600
所以PA=PB=,HD=HC=1.可得PH=.等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+.
所以四棱锥的体积为V=x（2+）x=
17．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与品面的位置关系等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。
（I）证明：在中，

又平面平面,平面平面平面
平面 平面
（Ⅱ）解：由（I）知从而
在中，
又平面平面

平面平面，平面
而平面
综上，三棱锥的侧面积，
18.【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

　　　（２）该安全标识墩的体积为：

　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,
又 平面PEG, 又 平面PEG；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

19.解：⑴连结，，∵是，的中点∴．
又∵平面，∴平面．
⑵∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，∴四边形是正方形．∴．∴．
连结，．∴，又中的中点，∴．
∵与相交于点，∴平面．
⑶由⑵知是三棱锥的高．在直角中，，
∴．
又． ．