福建福州解析.doc

2015年福建省福州市中考数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.（2015福建省福州市，1，3分）a的相反数是（ ）
A.|a| B. C. –a D.
【答案】C

2. （2015福建省福州市，2，3分）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ）

【答案】B

3. （2015福建省福州市，3，3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）

【答案】A

4. （2015福建省福州市，4，3分）计算，结果用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D

5. （2015福建省福州市，5，3分）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ ）
A.扇形图 B.条形图 C.折线图 D.直方图
【答案】A

6. （2015福建省福州市，6，3分）计算的结果为（ ）
A.-1 B.0 C.0 D.-a
【答案】C

7. （2015福建省福州市，7，3分）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A.A点 B.B点 C.C点 D.D点

【答案】B

8. jscm（2015福建省福州市，8，3分）如图，C、D分别是线段AB、AC的中点，分别以点C、D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（ ）
A.80° B.90° C. 100° D.105°

【答案】B

9. jscm（2015福建省福州市，9，3分）若一组数据1、2、3、4、x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（ ）
A.0 B.2.5 C.3 D.5
【答案】C

10. jscm（2015福建省福州市，10，3分）已知一个函数图象经过（1，-4），（2，-2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都要函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ）
A. 正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数
【答案】D

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）
11.（2015福建省福州市，11，4分）分解因式的结果是 .
【答案】(a+3)(a-3)

12. （2015福建省福州市，12，4分）计算（x-1）（x+2）的结果是 .
【答案】

13. （2015福建省福州市，13，4分）一个反比例函数图象过点A（-2，-3），则这个反比例函数的解析式是 .
【答案】

14. （2015福建省福州市，14，4分）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是 .
【答案】0

15. （2015福建省福州市，15，4分）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示.其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为 cm3.

【答案】

16. （2015福建省福州市，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=.将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 .

【答案】

三、解答题（本大题共10小题，满分96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. jscm（2015福建省福州市，17，7分）计算：.
【答案】解：.

18.jscm（2015福建省福州市，18，7分）化简：.
【答案】解： =1.

19. （2015福建省福州市，19，8分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD.

【答案】证明：∵∠3=∠4，
∴∠ABC=∠ABD.
在△ABC和△ABD中
，
∴△ABC≌△ABD (ASA)
∴AC=AD.

20. （2015福建省福州市，20，8分）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值.
【答案】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴△，
∴，
∴或.

21.（2015福建省福州市，21，9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
【答案】解：方法一：
设有x支篮球队和y支排球队参赛，由题意得
，
解得.
答：篮球、排球队各有28支与20支参赛.
方法二：
设有x支篮球队，则有（48-x）支排球队参赛，由题意得
10x+12（48-x）=520，
解得x=28.
∴48-x=48-28=20.
答：篮球、排球队各有28支与20支参赛.

22. jscm（2015福建省福州市，22，9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别.
(1)当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球互为摸到白球的可能性是否相同？ （在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）
(2) 从袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回.大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是 ；
(3)在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：

根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率.
【答案】解：(1)相同；
(2)2；
(3)由树状图可知：共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同.其中两次摸出的球颜色不同（记为事件A）的结果共有10种，
∴P(A) .

23. （2015福建省福州市，23，10分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB= .半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到.
(1)求证：AB为⊙C的切线；
(2)求图中阴影部分的面积.

【答案】解：(1)如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，

在Rt△ABC中，tanB，
∴BC=2AC=，
∴，
∴.
∴AB为⊙C的切线.
(2) .

24. （2015福建省福州市，24，12分）定义：长宽比为（n为正整数）的矩形称为矩形.下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示.

操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH.
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF.
则四边形BCEF为矩形.
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=.
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形.
∴∠A=∠BFE.
∴EF∥AD.
∴,
即，
∴.
∴.
∴四边形BCEF为矩形.
阅读以上内容，回答下列问题：
(1)在图①中，所有与CH相等的线段是 ，tan∠HBC的值是 ；
(2)已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN为矩形；

(3)将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 .
【答案】解：(1)GH，DG；；
(2)证明：∵，BC=1，
∴BD=.
由折叠的性质可知：BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，则四边形BCEF为矩形.
∴∠BNM=∠F，
∴∴MN∥EF.
∴,
即
∴BP·BF=BE·BN，
∴，
∴
∴.
∴四边形BCMN为矩形.
(3)6.

25. （2015福建省福州市，25，13分）如图①，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M.
(1)证明：DM=DA；
(2)点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
(3)在图②中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长.

【答案】证明：(1)∵DM∥EF，
∴∠AMD=∠AFE.
∵∠AFE=∠A，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA.
(2) ∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠DEG=∠C，∠BDE=∠A，
∴∠BDE=∠AFE.
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC.
∵∠BDG=∠C，
∴∠EDG=∠FEC,
∴△DEG∽△ECF.
(3)如图所示，

∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BED.
∴，
即.
∵∠A=∠AFE，∠B=∠CFH，
∴∠C=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH.
又∵∠FEH=∠CEF，
∴△EFH∽△ECF.
∴，
即.
∵DE∥AC， DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF=DM=AD=BD.
∵BE=EC,
∴EH=BG=1.
解法2：如图所示，

在DG上取一点N，使得DN=FH.
∵∠A=∠AFE，∠ABC=∠CFH，∠ C=∠BDG，
∴∠EFH=180°-∠AFE-∠CFH=∠ C=∠BDG.
∵DE∥AC， DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF=DM=AD=BD.
∴△BDN∽△EFH，
∴BE=EH，∠BND=∠EHF，
∴∠BNG=∠FHC.
∵∠BDG=∠C，∠DBG=∠CFH，
∴∠BGD=∠FHC，
∴∠BNG=∠BGD，
∴BN=BG.
∴EH=BG=1.
解法:3：如图所示，

取AC的中点P，连接PD、PE、PH，则PE∥AB.
∴∠PEC=∠B，
∵∠CFH=∠B，
∴∠PEC=∠CFH.
又∵∠C=∠C，
∴△CEP∽△CFH，
∴.
∴△CEF∽△CPH，
∴∠CFE=∠CHP.
由（2）可得∠CFE=∠DGE，
∴∠CHP=∠DGE，
∴PH∥DG.
∵D、P分别为AB、AC的中点，
∴DP∥GH，DP==BE，
∴四边形DGHP是平行四边形，
∴DP=GH=BE.
∴EH=BG=1.
解法4：如图所示，

作△EHF的外接圆交AC于另一点P，连接PE、PH.
则∵∠HPC=∠HEF，∠FHC=∠CPE，
∵∠B=∠CFH，∠C=∠C，
∴∠A=∠CHF，
∴∠A=∠CPE.
∴PE∥AB.
∵DE∥AC，
∴四边形ADEP是平行四边形，
∴DE=AP=，
∴DE=CP.
∵∠GDE=∠CEF，∠DEB=∠C，
∴∠GDE=∠CPH，
∴△DEG≌△PCH，
∴GE=HC，
∴EH=BG=1.
解法5：如图所示，

取AC的中点P，连接PD、PE、PH.
则PE∥AB.
∴∠PEC=∠B.
又∵∠CFH=∠B，
∴∠PEC=∠CFH，
又∵∠C=∠C，
∴△CEP∽△CFH，
∴.
∴△CEF∽△CPH，
∴∠CEF=∠CPH.
由（2）可得∠CEF=∠EDG，∠C=∠DEG.
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE==PC，
∴△DEG≌△PCH，
∴GE=HC，
∴EH=BG=1.

26. （2015福建省福州市，26，13分）如图，抛物线与x轴交于O、A两点， P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.
(1)这条抛物线的对称轴是 ；直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 ；
(2)若两个三角形面积满足，求m的值；
(3)当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2，2)的直线AC与直线PQ交于点D，
①求PD+DQ的最大值；②求PD·DQ的最大值.

【答案】解：(1) x=2；45°.
(2) 设直线PQ交x轴于点B，分别过点O、A作PQ的垂线，垂足分别为E、F.(
显然，当点B在OA的延长线上时，不成立.
①如图所示，

当点B落在线段OA上时，，
由△OBE∽△ABF得，
∴AB=3OB.
∴.
由得点A（4,0），
∴OB=1，
∴B(1，0).
∴1+m=0，
∴m=-1.
②如图所示，

当点B落在线段AO的延长线上时，
，
由△OBE∽△ABF得，
∴AB=3OB.
∴.
由得点A（4,0），
∴OB=2，
∴B(-2，0).
∴-2+m=0，
∴m=2.
综上所述，当m=-1或2时，.
(3)①如图所示，过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，则△CHQ是等腰三角形.

∵∠CDQ=45°+45°=90°，
∴AD⊥PH，
∴DQ=DH，
∴PD+DQ=PH.
过点P作PM⊥CH于点M，
则△PMH是等腰直角三角形.
∴.
∴当PM最大时，PH最大.
∴当点P在抛物线的顶点处时，PM取得最大值，此时PM=6.
∴PH的最大值为.
即PD+DQ的最大值为.
解法2：如图所示，

过点P作PE⊥x轴，交AC于点E，作DF⊥CQ于点F，
则△PDE、△CDQ、△PFQ是等腰直角三角形.
设点P()，则E()，F().
∴，PF=PQ=|2-x|，
∴点Q()，
∴，
∴（0＜x＜
4）.
∴当x=2时，PD+DQ的最大值为.
②由①可知：PD+DQ≤.
设PD=a，则DQ≤.
∴PD·DQ≤.
∵当点P在抛物线的顶点时，，
∴PD·DQ≤18.
∴PD·DQ的最大值为18.
附加说明：（对a的取值范围的说明）
设点P的坐标为()，延长PM交AC于N.
PD=a.
∵＜0，0＜n＜4，
∴当时，由最大值为.
∴0＜a≤.