张驰有度收放自如.doc

张驰有度，收放自如
——例谈放缩法证不等式

江苏省启东中学 张 杰
所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。本文例谈运用放缩法证题。
引例：已知，求证:
本例中左边不等号显然成立，关键是如何证右边的不等式！观察本题特征，为分式形式，联想到，所以考虑对通项进行放缩，即由，
得，由此得，即原不等式成立。
对于分式，通常利用的恒等变换结论，将其每项“一分为二”成二数之差的形式,从而 “裂项相消”。上述引例中，根据时，有，
其结论还可加强为：
根据上述引例，我们再谈下列例题：
例1.已知函数
（1）求证:当时，不等式恒成立；
（2）求证: ()
分析:本题第(1)小题含有对数函数,属超越函数范畴,主要通过导数法证原函数单调性后,求其在确定的区间上的最值,从而证得不等式成立;而第(2)小题是不等式，欲证其成立，可通过两边“取对数”的方法进行化归，其间利用第(1)题的结论,放缩法是解决问题的最佳方法.
证明: (1)记,则得在上单调递增,从而,得不等式恒成立；
(2) 由(1)得,
所以, , ,
,
上述不等式叠加得,
即,
从而,所以成立.
点评:从解析过程知,本题第(2)小题通过两次放缩,第一次是为了将分数凑成如的形式,第二次是通过求和后再放缩,去掉小数部分.如放弃第一次放缩,则得
,就不能通过
“裂项相消法”化简计算了.
如将本题题干中的函数修改为,则仿照上述过程，可将第(2)小题的结论加强为, ().
例2. 已知数列满足，，
求证：
分析:欲证不等式中已含有形如的分式，但不完全如此！即
，因此第一步考虑如何将进行适当的放缩后化成常数，这可根据已知条件中给出的递推公式进行。
证明：由条件可知数列的各项均为正数，故由基本不等式得
，若，则，这与已知条件矛盾.所以，
从而
，其中，
因上述两个不等式中等号不可能同时成立，故
于是，
，
因，故，
得
点评：数列求和中不等关系证明的两种方法：1.每一项转化为两项差，求和后消去中间项（裂项法）与放缩法的结合；2.用放缩法转化为等比数列求和。本题技巧性较强,经过了三次放缩，关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。第一次是利用基本不等式，将转化为常数，在此步骤中，因两不等式中的等号不可能同时成立，所以，两式相乘后不取等号，这一过程是易错之处，必须加以警示！第二次是通过裂项相消后，对进行放缩，此步容易理解；第三次是对实数进行放缩，证题目标是，故选择即可，证题目标改为，试问将放大到什么分数？