直线、平面平行的判定及其性质.doc

2.2直线、平面平行的判定与性质
考点解读
1、 理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定方法；
2、 会用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理解决相关问题；
3、体会线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，加深对转化思想的理解。

知识点一 直线与平面平行的判定
判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
*图形语言：

*符号语言：若a∥b,则a∥α
定理剖析：
1）用该定理判断直线和平面平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面外，即；②直线b在平面内，即；③两直线a、b平行，即a∥b.
2)这个定理告诉我们，如果要证明一条直线与一个平面平行，那么只需在这个平面内找出一条直线与已知直线平行就可判定这条直线必和这个平面平行，即“线线平行则线面平行”。
典型例题
【例题1】 判断下列命题是否正确：
（1）a∥b，，则a∥；
1） （2）若E,F分别为△ABC中AB，BC的中点，则EF与经过AC边的所有的平面平行；
2） （3）若a,b为异面直线，，则b∥;
（4）若a,b为异面直线，,则。
解析： (1）错，如果a也在平面内，则a与不是平行而是在内；(2）错, 如果过AC的平面是平面ABC,则EF平面ABC;(3)错，b可能与平面相交；(4) 正确。

【例题2】如图2-2-1，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为D D1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系？

图2-2-1
【思维启迪】在平面AEC内找一条直线与BD1平行，如果题目中缺少一条对角线，经常连接对角线产生中点并与题目中给定的中点连接构成中位线产生平行。
解：BD1∥平面AEC
连接BD与AC相交于点O，则O为线段BD的中点，连接OE，
∵E为线段DD1的中点，∴OE∥D1B
∵OE平面AEC, D1B平面AEC
∴BD1∥平面AEC

【例题3】如图2-2-3,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点.
求证：CE∥平面PAD

图2-2-3
【思维启迪】题目中给定中点时，可以利用中位线构造平行，再利用平行四边形对边平行在平面PAD中找到与CE平行的直线。
证明：作PA中点M，连接ME,MD，
∵E是PB的中点，∴MEAB,
∵AB∥CD,AB=2CD，∴MECD,
∴四边形MECD为平行四边形，
∴CE∥MD
∵MD平面PAD,CE平面PAD
∴CE∥平面PAD
【练习1】判断下列命题是否正确：
(1) 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；
(2) 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行；
(3) 平行于同一条直线的两个平面平行；
(4) 平行于同一平面的两个平面平行。

【练习2】如图2-2-2在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE.

图2-2-2

【练习3】如图2-2-4，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M,N分别是BC和A1B1的中点.
求证：MN∥平面AA1C1C.

图2-2-4

方法总结———证明线线平行的方法
（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半；
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底边和的一半；
（2）△ABC中，若，则△ADE∽△ABC,∠ADE=∠ABC,
则DE∥BC;若则即
△ADE∽△ABC,∠ADE=∠ACD, 则DE∥BC。上述性质可简述为若三角形对应边成比例，则可以得到相应的平行。
（3）平行四边形对边平行。
（4）平行于同一直线的两直线平行。

能力提升
如图2-2-4，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB,BB1的中点.
求证：BC1∥平面A1CD.