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由角平分线引出的线段关系
一.过三角形一边的两个顶点分别作两个内角的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边相截，则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和。
已知：如图1，、的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于D，交AC于E，求证：

图1
证明：BF平分，BE//BC

同理可证

即
二. 过三角形两个外角（或一个内角与一个外角）的平分线的交点作平行截线，三条截线段的关系又怎么样？请看以下例证。
例1. 已知：如图2，D是的外角，的平分线AD、CD的交点，过D作EF//AC，交BA的延长线于E，交BC的延长线于F。

图2
试指出AE、FC、EF的关系。
分析：AD平分，EF//AC

同理可证。而

例2. 已知，如图3，D是的内角与外角的平分线BD与CD的交点，过D作DE//BC，交AB于E，交AC于F。试确定EF、EB、FC的关系。

图3
分析：BD平分，DE//BC
易证

又，CD平分

而

因此，这道习题的命题可推广为：
过三角形一边的两个顶点分别作两个内角或两个外角（一个内角与一个外角）的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截，则截线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和（或差）。
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