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约束条件下的平抛运动
安徽省肥东一中 徐骁畅
平抛运动是生活中一种常见的曲线运动，我们常用的处理方法是把其分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。在实际的问题处理时，常常见到的是有约束条件下的平抛运动。对这类问题的处理我们不仅仅要学会平抛运动的一般处理方法，还要能结合实际的约束条件分析其中的物理情景。下面就几种常见的约束条件下的平抛运动实例，来简单的谈谈此类问题的处理方法。
常见的约束条件有：斜面约束、挡板约束、圆周约束等等。
一、斜面约束

例一、一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ）
A、 B、

C、 D、2
分析：对于约束条件下的平抛运动，我们需要从约束条件中找到需要的几何关系，如位移偏角，速度偏角等等。然后通过这些已知的几何关系再进一步由平抛运动的水平竖直运动规律去求解题设的问题。那么对于例一我们需要抓住的是小球落到斜面上时，其速度方向和斜面垂直，进而分析出其落到斜面上时的速度偏角。
C
A
B
P

y
x
v0
vy
解：如图将速度分解在水平和竖直两方向，设速度偏角为位移偏角为。由几何关系有速度偏角为，所以。题问竖直位移和水平位移的比值，即为。由平抛运动的推论任意时刻的速度偏角正切值为位移偏角正切值的两倍。所以有，联立以上关系可得，。故正确选项为B。
原创练习一：如图从倾角为的斜面ABC的顶端C点，以速度水平抛出一小球，小球落在斜面上某点P。则小球在空中的飞行时间t为 ？P点的速度与斜面的夹角为 ？
当然斜面约束下的平抛运动还有其他的处理方法，这里就不再赘述。
二、挡板约束
例二、在网球比赛中，运动员在离开网的距离为d=12m处沿水平方向发球，发球高度为H=2.4m，网高为h=0.9m。求：
（1）若网球恰好擦网而过，求网球的初速度；
（2）若按上述的初速度发球，求该网球落地点到网的距离x。
H

h

v0

分析：这是一个物理情景题，转化为物理模型即是一个有竖直挡板约束下的平抛运动。由题问条件——恰好擦网而过，找出符合条件的平抛轨迹（如图）。取抛出点至网顶端的这段平抛来求解网球的初速度即可。
解：（1）取抛出点到网顶端这段平抛轨迹，有：
联立两式可得
（2）落地点到网的距离
原创练习二、
三、圆周约束
例题三、如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点。已知c点与水平直径的距离为圆半径的一般，求圆的直径。
a
b
d
分析：既然平抛运动是在圆周的约束下发生的，那么我们就要充分的利用圆周的几何特点，去寻找几何关系，这是解决圆周约束下的平抛的关键。
2