轨迹方程的求法（专题复习）.doc

轨 迹 方 程
求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；
例1、某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？
【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.
建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5
∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为
=1 ①
同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为
(x－)2+y2=1 ②
由①、②可解得，∴r=
故所求圆柱的直径为 cm.
◎◎双曲线的两焦点分别是、，其中是抛物线的焦点，两点A（-3，2）、B（1，2）都在该双曲线上．
　 　（1）求点的坐标；　　（2）求点的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．
【解析】（1）由得，焦点（-1，0）．　
（2）因为A、B在双曲线上，
所以，．
①若，则，点的轨迹是线段AB的垂直平分线，且当y＝0时， 与重合；当y＝4时，A、B均在双曲线的虚轴上．
故此时的轨迹方程为x＝-1（y≠0，y≠4）．
②若，则，此时，的轨迹是以A、B为焦点，，，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为，（y≠0，y≠4）　
故的轨迹是直线x＝-1或椭圆，除去两点（-1，0）、（-1，4）
评析：
1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

2．定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
例2、已知ΔABC中，ÐA,ÐB,ÐC所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程
【解析】|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2, ∴椭圆方程为,
又a>b, ∴点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2,
因此点C的轨迹方程是：(─2<x<0)
◎◎一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

【解析】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，
将圆方程分别配方得：，，
当与相切时，有 ①
当与相切时，有 ②
将①②两式的两边分别相加，得，
即 ③
移项再两边分别平方得：
④
两边再平方得：，
整理得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。
◎◎已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，
点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，
以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：
评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
例3、已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
【解析】设点P(x，y)，且设点B(x0，y0) ，则有，∵BP∶PA=1∶2 ，

◎◎双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。
【解析】设点坐标各为，
∴在已知双曲线方程中，∴
∴已知双曲线两焦点为，
∵存在，∴
由三角形重心坐标公式有，即 。 ∵，∴。
已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有
即所求重心的轨迹方程为：。
评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。
四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

例4、设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
【解析】
解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0) ，直线AB的方程为x=my+a
由OM⊥AB，得m=－，由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0
所以y1y2=－4pa, x1x2=
所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2， 所以
故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点
解法二 设OA的方程为，代入y2=4px得
则OB的方程为，代入y2=4px得
∴AB的方程为，过定点，
由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点
解法三 设M(x,y) (x≠0)，OA的方程为， 代入y2=4px得
则OB的方程为，代入y2=4px得
由OM⊥AB，得 ： M既在以OA为直径的圆： ……①上，
又在以OB为直径的圆 ……②上（O点除外），
①+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。
◎◎过点A（－1，0），斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点.若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。
【解析】要求点R的轨迹方程，注意到点R的运动是由直线l的
运动所引起的，因此可以探求点R的横、纵坐标与直线l的斜率
k的关系．然而，点R与直线l并无直接联系．与l有直接联系的
是点P、Q，通过平行四边形将P、Q、R这三点联系起来就成为解
题的关键．
由已知，代入抛物线C：y2=4x的方程，消x得：
∵ 、Q ， ∴
解得，设，M是PQ的中点，则由韦达定理可知：
将其代入直线l的方程，得
∵ 四边形PFQR是平行四边形，∴ 中点也是中点.∴
又∴ ．∴ 点R的轨迹方程为
评析：
1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。
2.用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。
3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。
4.多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。
五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。
例5 、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。
【解析】点A、B在抛物线上，设A（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直OB得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0 ① 又OM的方程为 ②
由①②消去得yA+yB即得， 即得。
所以点M的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。
评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
六、向量法：
例6 、设,为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量,若向量,
,且.
（1）求点的轨迹的方程;
（2）过点(0,3)作直线与曲线交于两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形是矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由。
【解析】（1）由,得,设则动点满足,所以点在椭圆上,且椭圆的.
所以轨迹的方程为.
（2）设直线的斜率为,则直线方程为,联立方程组
消去得:,恒成立,
设,则.
由,所以四边形为平行四边形.若存在直线,使四边形为矩形,则,即
,
解得,所以直线的方程为,此时四边形为矩形
◎◎设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且。
（I）当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；
（II）设是曲线C上的三点，且成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求B点的坐标。
【解析】（1）∵，故P为MN中点， 又∵，P在y轴上，F为（1，0），
故M在x轴的负方向上，设N（x，y）则M（－x，0），P（0，），（x>0），
∴， 又∵，
即 ∴
（II）抛物线C的准线方程是x=－1，由抛物线定义知，，
∵成等差数列，
∴ 又，
故， ∴
∴AD的中垂线为 而AD中点
∴。 即
由， ∴B点坐标为（1，2）或（1，－2）。
巩固练习：
1、方程y=表示的曲线是： （ ）
A、双曲线 B、半圆 C、两条射线 D、抛物线
2、方程[(x－1)2+(y+2)2](x2－y2)=0表示的图形是： （ ）
A、两条相交直线 B、两条直线与点（1，－2）
C、两条平行线 D、四条直线
3、动点p与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p点的轨迹方程是： （ ）
A、x2+y2=1 B、x2+y2=1(x≠±1） C、x2+y2=1(x≠1） D、y=
4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）
A、x2+y2=2(x+y) B、x2+y2=2|x+y| C、x2+y2=2(|x|+|y|) D、x2+y2=2(x－y)
5、动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是：（ ）
A、中心在原点的椭圆 B、中心在（5，0）的椭圆
C、中点在原点的双曲线 D、中心在（5，0）的双曲线
6、已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是 （ ）
A、(x－2)2+y2=4 B、(x－2)2+y2=4(0≤x＜1)
C、(x－1)2+y2=4 D、(x－1)2+y2=4(0≤x＜1)
7、已知M（－2，0），N（2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P的轨迹是： （ ）
A、双曲线 B、双曲线左支 C、一条射线 D、双曲线右支
8、若一动圆与两圆x2+y2=1, x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ）
A、抛物线 B、圆 C、双曲线的一支 D、椭圆
9、点M到F（3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M的轨迹方程是：（ ）
A、y2=12x B、y2=12x(x>0) C、y2=6x D、y2=6x(x>0)
10、已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（ ）
A、x2+y2= B、x2+y2= C、x2+y2=(x<) D、x2+y2=（x<)
11、抛物线过点M（2，－4），且以x轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）
A、(x－2)2+(y+4)2=16 B、(x－2)2+4(y+2)2=16
C、(x－2)2－(y+4)2=16 D、(x－2)2+4(y+4)2=16
12、椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
13、设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 ( )
A. B. C. D.
14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为 ( )

15、已知⊙O：x2+y2=a2, A(－a, 0), B(a, 0), P1, P2为⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP1与直线BP2的交点P的轨迹方程为 （ ）
A、x2+y2=2a2 B、x2+y2=4a2 C、x2－y2=4a2 D、x2－y2=a2
16、动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
17、过原点的动椭圆的一个焦点为F（1，0），长轴长为4，则动椭圆中心的轨迹方程为 。
18、曲线x2+4y2=4关于点M（3，5）对称的曲线方程为 。
19、经过抛物线y2=4x的焦点的弦中点轨迹方程是 。
20、倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 。
21、两条直线ax+y+1=0和x－ay－1=0(a≠±1）的交点的轨迹方程是 。

1、C 2、B 3、B 4、C 5、B 6、B 7、C 8、C
9、A 10、D 11、B 12、A 13、C 14、C 15、D

16、 17、 18、
19、 20、
21、)
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