巧借图形特征妙解解析几何.doc

巧借图形特征，妙解解析几何
湖北襄阳五中 曹标平 王洪涛 441057
解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科.在这种研究方法的冲击下，可能同学会产生一个误区，现在只需要用代数方法解决几何问题，我们在初中研究的平面几何知识在此无用武之地了.这个误区的形成，源于这些同学尝到了解析法的甜头.其实，解析法也不是“万能”的，若能充分把握解析几何学中形的几何特征,注意挖掘隐蔽条件,灵活运用平面几何知识,对于拓宽解题思路,减少运算量,将会起到非常重要的作用.
几何特征一：中点
例1：已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线与x轴垂直，设P是椭圆上异于A,B的任意一点，x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线于点M，N为MB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆的位置关系.
分析：注意到点P为HQ的中点，P的轨迹方程已知，很容易求出Q点的轨迹即是以坐标原点为圆心，2为半径的圆，由此可分析知与全等，由此可求解.
解：设，，
，，即点在以AB为直径的圆上，,
而NO为中线，即,,,
又,点在以AB为直径的圆上，，故≌，
,即.与以AB为直径的圆相切.
点评：本题考察了直线、与圆和椭圆的位置关系.充分利用点P为HQ的中点，通过求出Q点的轨迹，以此为出发点，利用三角形全等解题，大大简化了计算.另外，中点可与中位线联系在一起，有些题可以以中位线为突破口求解 .
练习1：如图2，设椭圆方程为，PQ是过左焦点F且与x轴不垂直的弦.若在左准线上存在点R,使△PQR为正三角形,则椭圆离心率e的取值范围是 .
几何特征二：角平分线
例2：（2010全国1）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为D.
（1） 证明点F在直线BD上;
（2） 设,求的内切圆的方程.
分析：第一问，注意到点K即是抛物线的准线与x轴的交点，要证点F在直线BD上，只需证，结合抛物线定义和相似三角形可求解；第二问，注意到KF即是的平分线，所以的内切圆的圆心一定在x轴上，利用角平分线定理可求解.
解：（1）点K即是抛物线的准线与x轴的交点，作抛物线的准线于M，x轴于点E，连接AD交x轴于点H.

由抛物线定义知：AM=AF,BN=BF
,
而和都是直角三角形，.
又A、D关于x轴对称，
,，故点 F在直线BD上.
(2)设，,设直线的方程为：，与抛物线联立，消去x得：,则有

，不妨设，
则,
设I为的内切圆的圆心，由于,则I一定在x轴上.
由角平分线定理有，，
，圆I的圆心为.
的内切圆的半径
的内切圆的方程为.
点评：此题第二问的几何特征是KF始终是的平分线，利用角平分线定理可简化计算.
练习2：如图4，给出定点A（a,0）(a>0)和直线,B是直线上的动点，的平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a的关系.
几何特征三：特殊角
例3：（2012江苏一模）若实数a，b，c成等差数列，点P(-1,0)在动直线上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是 .
分析：因为a，b，c成等差数列，故动直线为，恒过定点，不管直线如何转动，总有，所以点M在以PQ为直径的圆周上，由此可求解.
解：点M在以PQ为直径的圆周上，所以圆心为，半径为，所以线段MN长度的最大值为.
点评: 若用传统的解析法，计算量非常大.此题的几何特征是始终保持着，直角对直径，以此为突破口大大简化了计算.
练习3：如图5，已知点A,B是单位圆O上的两点，且满足,点P是平面上的一动点，且满足，则的最大值为 .
几何特征四：圆的切割线
例4：已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2,点P在直线上.当取最大值时，的值为 .
分析：依题意过、、三点的圆的圆心在y轴上，直线与该圆相交或相切，直线与该圆相交比相切时，半径应偏大（可根据半径、弦心距和半弦的关系论证），因而圆心的位置应偏上，故相交时弧所对的圆心角比相切时它所对的圆心角小，因此，弧所对的圆周角即在直线与圆相切时取得最大值。确定了直线与圆的位置关系，即可利用三角形相似求的值.
解：取最大值时，直线与过、、三点的圆相切，如图6所示，连接,,设直线与x轴的交点.
（弦切角定理），
相似于，，
又（切线长定理），，又，
，.
点评：由上述分析与解答过程，同学们不难发现，若不全面而准确地利用平面几何知识，本题断是难题.
练习4：已知y轴上两个点,试在x轴的正半轴上求一点P，使最大.
通过以上几个例题，同学们会发现并不是所有的解析几何题都适合用代数的方法求解，如果在解题过程中发现利用常规的代数法来解题遇到困难时，不妨静下心来充分挖掘题中隐含的几何特征，结合平面几何知识来求解解析几何或许能收到意想不到的效果.
练习题答案：
练习1..提示：辅助线如图2所示，为直角梯形的中位线，结合椭圆第二定义和可求解.
练习2.所求的轨迹方程为
当时，轨迹方程为，方程表示椭圆的一个弧段；
当时，轨迹方程为，方程表示抛物线的一个弧段；
当时，轨迹方程为，方程表示双曲线的一个弧段.
练习3. 2.提示：点P,A,O,B四点共圆，的最大值即△AOB外接圆的直径，利用正弦定理可求解.
练习4.

作者简介：
曹标平：男，华中师范大学硕士研究生，现任湖北襄阳五中高三数学教师
联系电话：[phone]
Email:caobiaoping@
地址：湖北省襄阳市高新区邓城大道66号 邮编：441057
王洪涛：男，华中师范大学硕士研究生，现任湖北襄阳五中高三数学教师