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一个不等式问题的解题思考
江苏省上冈高级中学 吉国军（224731）
问题：若存在实数，使得不等式成立，则求实数的取值范围。
解：（放法1）不等式成立，等价于不等式成立，则：ⅰ）当 即时，不合题意，舍去；ⅱ）当时，成立，所以，所以；ⅲ）当时，，所以，无解。
综上所述：所求实数的取值范围为。
（方法2）不等式成立，等价于不等式成立，则令，当时，是关于的一元一次函数，所以不等式有解就是，即，所以，实数的取值范围为。
变式1：若对于任意实数，使得不等式总成立，则求实数的取值范围。
解：不等式恒成立，等价于不等式恒成立，则令，当时，是关于的一元一次函数，所以不等式有解就是，所以，实数的取值范围为。
评注：高中数学复习时，经常遇到不等式恒成立的问题，我们经常用变量分离的方法解决，不等式恒成立就是要变量大于函数的最大值，而当不等式有解时，只要变量大于函数的最小值；反之，不等式恒成立就是要变量小于函数的最小值，而当不等式有解时，只要变量小于函数的最大值。另外，对于不等式的解的问题，我们经常通过函数图象与坐标轴的位置关系解决（如方法2），就是函数与方程（不等式）的思想。
变式2：若存在实数，使得不等式成立，则求实数的取值范围。
解：不等式成立，等价于不等式成立，则：即时，不等式不成立，又，所以，，所以，ⅰ）当时，，；ⅱ）当时，，；综上所述：所求实数的取值范围为。
变式3：已知函数是奇函数，且时，，对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。
分析：本题可以用上述变量分离的方法解决，也可以通过二次函数讨论，还可以通过函数图象（数形结合）等方法解决。这里笔者介绍一中比较容易的解决方法，通过函数性质，简化解题。
解：由题意可得：函数在定义域上是单调递增函数，并且，所以等价于，所以，所以，，要使不等式恒成立，就是要，所以，所求实数的范围为。

这类题型的意义再点一点。

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