第八章第九节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知椭圆＋＝1的长轴的左、右端点分别为A、B，在椭圆上有一个异于点A、B的动点P，若直线PA的斜率kPA＝，则直线PB的斜率kPB为(　　)
A.　　　　　　　　　　　B.
C．－ D．－
解析：设点P(x1，y1)(x1≠±2)，
则kPA＝，kPB＝，
∵kPA·kPB＝·＝＝＝－，
∴kPB＝－＝－×2＝－.
答案：D
2．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)

A．y2＝x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝3x
解析：分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x.
答案：D
3．(2010·烟台二模)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是(　　)
A．(0，) B．(，)
C．(，) D．(，)
解析：由抛物线与双曲线有相同的焦点可得＝c＝，再由AF⊥x轴可得，在双曲线中|AF|＝，在抛物线中|AF|＝p，故又有＝p＝2c＝2，即b4＝4a2(a2＋b2)⇒b4－4a2b2－4a4＝0，解得＝2＋2>3＝tan2(或＝2－2<0舍去)，故l的倾斜角所在的区间可能是(，)．
答案：D
4．(2010·东北三校)已知曲线C1的方程为x2－＝1(x≥0，y≥0)，圆C2的方程为(x－3)2＋y2＝1，斜率为k(k>0)的直线l与圆C2相切，切点为A，直线l与曲线C1相交于点B，|AB|＝，则直线AB的斜率为(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：设B(a，b)，则由题意可得
解得则直线AB的方程为y＝k(x－1)，故＝1，∴k＝，或k＝－(舍去)．
答案：A
5．已知椭圆＋＝1，若在此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y＝4x＋m对称，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－，) B．(－，)
C．(－，) D．(－，)
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)，kAB＝＝－，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y,3x＋4y＝12　①，3x＋4y＝12　②，①②两式相减得3(x－x)＋4(y－y)＝0，即y1＋y2＝3(x1＋x2)，即y＝3x，与y＝4x＋m联立得x＝－m，y＝－3m，而M(x，y)在椭圆的内部，则＋<1，即－<m<.
答案：B
6．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5.弦长|AB|＝4×≤.
答案：C
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．(2010·龙岩模拟)已知曲线－＝1与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为________．
解析：设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
由题意得，则(b－a)x2＋2ax－a－ab＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2，
根据·＝0，得x1x2＋y1y2＝0，
即1－(x1＋x2)＋2x1x2＝0，
因此1＋＋2×＝0，
化简得＝2，即－＝2.
答案：2
8．已知以坐标原点为顶点的抛物线C，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，所以可设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．
将直线方程和抛物线方程联立，得：x2－ax＝0，解得x1＝0，x2＝a，故AB中点的横坐标为x0＝(x1＋x2)＝a，由题意得a＝2，解得a＝4.所以该抛物线的方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
9．当x>1时，直线y＝ax－a恒在抛物线y＝x2的下方，则a的取值范围是________．
解析：由题可知，联立，整理可得x2－ax＋a＝0，当Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4，此时直线与抛物线相切，因为直线横过定点(1,0)，结合图形可知当a∈(－∞，4)，x>1时直线y＝ax－a恒在抛物线y＝x2的下方．
答案：(－∞，4)
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点在直线l：x＝1上，离心率e＝.设P、Q为椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，点R(，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)试证：对于所有满足条件的P、Q，恒有|RP|＝|RQ|.
解：(1)椭圆的一个焦点在直线l：x＝1上，所以c＝1.
又因为离心率e＝，即＝，所以a＝2，从而b2＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)证明：设T(1，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(，y0)，＝(x2－x1，y2－y1)，
·＝(x2－x1)＋y0(y2－y1)．
又因为P、Q都在椭圆＋＝1上，
所以＋＝1，＋＝1，两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
因为点T是PQ的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2y0，
于是(x1－x2)＋y0(y1－y2)＝0，
所以(x1－x2)＋y0(y1－y2)＝0，
即·＝0，所以RT⊥PQ，即RT是线段PQ的垂直平分线，所以恒有|RP|＝|RQ|.
11．(2011·宜春三校联考)已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4，l1，l2是过点P(0,2)且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求l1的斜率k的取值范围；
(3)求·的取值范围．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由得，
∴椭圆方程为＋＝1
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为零
∵l1∶y＝kx＋2，∴l2∶y＝－x＋2.
由消去y并化简整理，
得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0
根据题意，Δ＝(16k)2－16(3＋4k2)>0，解得k2>.
同理得(－)2>，k2<4，
∴<k2<4，k∈(－2，－)∪(，2)
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)
那么x1＋x2＝－，∴x0＝＝－
y0＝kx0＋2＝，∴M(－，)，
同理得N(，)，
即N(，)
∴·＝－·＋·＝
－
∵<k2<4，∴2≤k2＋<
∴－≤－<－
即·的取值范围是[－，－)．
12．(2010·江南十校)如图，过圆x2＋y2＝4与x轴的两个交点A、B，作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD于C、D两点，设AD、BC的交点为R.
(1)求动点R的轨迹E的方程；
(2)过曲线E的右焦点F作直线l交曲线E于M、N两点，交y轴于P点，且记＝λ1，＝λ2，求证：λ1＋λ2为定值．

解：(1)设点H的坐标为(x0，y0)，则x＋y＝4.
由题意可知y0≠0，且以H为切点的圆的切线的斜率为：－，
故切线方程为：y－y0＝－(x－x0)，
展开得x0x＋y0y＝x＋y＝4.
即以H为切点的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝4，
∵A(－2,0)，B(2,0)，将x＝±2代入上述方程可得点C，D的坐标分别为C(－2，)，D(2，)，
则lAD：＝　①，及lBC：＝　②.
将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为：
x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.
(2)由(1)知轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F(，0)．
(ⅰ)当直线l的斜率为0时，M、N、P三点在x轴上，不妨设M(2,0)，N(－2,0)，且P(0,0)．此时有|PM|＝2，|MF|＝2－，|PN|＝2，|NF|＝2＋，
所以λ1＋λ2＝－－＝－－＝－8.
(ⅱ)当直线l的斜率不为0时，设直线MN的方程是：
x＝my＋(m≠0)，
则点P的坐标为(0，－)．且设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x可得：
(m2＋4)y2＋2my－1＝0.
则y1＋y2＝，y1y2＝，
λ1＋λ2＝＋＝－2－(＋)＝－2－·＝－2－·＝－8(定值)．