专题三第三讲不等式及综合应用.doc

第三讲　不等式及综合应用

1．已知a>0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a>－>　　　　　　 B.>－>a
C．－>>a D．－>a>
2．设0<b<1＋a，若关于x的不等式(x－b)2>(ax)2的解集中的整数恰有4个，则的取值范围为(　　)
A．(3，4] B．(3，4)
C．(2，3] D．(2，3)
3．某中学生在制作纸模过程中需要A、B两种规格的小卡纸，现有甲，乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A、B两种规格的小卡纸的块数如下表，今需A、B两种规格的小卡纸分别为4、7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m、n(m、n为整数)，则m＋n的最小值为(　　)

A规格
B规格
甲种卡纸
2
1
乙种卡纸
1
3
A.2 B．3
C．4 D．5
4．(2013·太原模拟)设a，b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：()2≤，则p是q成立的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2013·丽水二模)已知所有的点An(n，an)(n∈N*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象上，则a3＋a7与2a5的大小关系是(　　)
A．a3＋a7>2a5
B．a3＋a7<2a5
C．a3＋a7＝2a5
D．a3＋a7与2a5的大小关系与a的值有关
6．(2013·西安质检)已知a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________．
7．(2013·郑州模拟)若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取最小值，则实数a的取值范围是________．
8．(2013·安徽池州期末)已知x，y满足则的取值范围是________．
9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
求：(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．

10．若k∈R，求解关于x的不等式<.

11．(2013·珠海模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1，x2∈R，恒有2f≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)<0的解集为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B＝{x||x＋4|<a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

答案：
1．【解析】选A.由b<－1.可知0<<－<1.又a>0，所以a>－>.故选A.
2．【解析】选A.整理不等式得[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0.因为整数解只有4个，且1＋a>0，可得1－a<0，所以a>1.其解集为(，)．又0<b<1＋a，所以<1，欲使解集中的整数只有4个，则－4≤<－3，所以∈(3，4]．
3.

【解析】选B.由题意知，
则不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，可得目标函数z＝m＋n在点(1，2)处取得最小值3，故选B.
4．【解析】选B.当p成立的时候，q一定成立，但当q成立的时候，p不一定成立，所以p是q的充分不必要条件．
5．【解析】选A.因为所有的点An(n，an)(n∈N*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象上，所以有an＝an，故a3＋a7＝a3＋a7，由基本不等式得：a3＋a7>2＝2a5(因为a>0，a≠1，从而等号不成立)，又2a5＝2a5，故选A.
6．【解析】由已知条件ln(a＋b)＝0得a＋b＝1，又a>0，b>0，＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当即a＝b＝时取“＝”号，所以＋的最小值是4.
【答案】4
7．【解析】画出可行域，得到最优解(3，3)，把z＝ax－y变为y＝ax－z，即研究－z的最大值，当a∈时，y＝ax－z均过(3，3)且截距最大．
【答案】
8．【解析】由题意绘出可行性区域如图所示，

求的取值范围，即求可行域内任一点与点(4，2)连线的斜率k的取值范围，由图象可得k∈.
【答案】
9．【解】∵x>0，y>0，2x＋8y－xy＝0，
(1)xy＝2x＋8y≥2，
∴≥8，∴xy≥64.
故xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1.
又x>0，y>0，
∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)＝10＋＋
≥10＋8＝18.
故x＋y的最小值为18.
10．【解】不等式<可化为<0，
即(x－2)(x－1)(x－k)>0.
当k<1时，x∈(k，1)∪(2，＋∞)；
当k＝1时，x∈(2，＋∞)；
当1<k<2时，x∈(1，k)∪(2，＋∞)；
当k≥2时，x∈(1，2)∪(k，＋∞)．
11．【解】(1)对任意的x1，2∈R，
由f(x1)＋f(x2)－2f＝a(x1－x2)2≥0成立，要使上式恒成立，所以a≥0.
由f(x)＝ax2＋x是二次函数知a≠0，故a>0.
由f(x)＝ax2＋x＝ax<0，
解得A＝.
(2)解得B＝(－a－4，a－4)，
因为集合B是集合A的子集，
所以a－4≤0，且－a－4≥－.
化简得a2＋4a－1≤0，解得0<a≤－2＋.
即a的取值范围是(0，－2＋]．