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离心率的取值范围的求法
舒云水
求椭圆、双曲线的离心率的取值范围，是高考的一个热点，也是一个难点，难在关于 、、 的不等式的建立，下面从三个方面谈不等式的建立
一、 根据已知条件建立不等式
例1 已知、分别是双曲线，的左右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于、两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围　　　﹒
解析：由已知条件易求，，由于为锐角三角形，故只需为锐角即可，则有，整理得：，所以，两边同时除以得：，求得：，又，故﹒
点评：根据为锐角知，通过＝１建立、、的不等式，本题不等式的建立思路比较明确自然，难度不大﹒
二、 根据相关线段的取值范围建立不等式
例2 已知双曲线，的左、右焦点分别为（－ｃ，﹒若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是　　　﹒
解析：依题意及正弦定理得，因此点位于双曲线的右支上，且点不与共线，所以有，即﹒
又，得，即﹒
又，故﹒
点评：本题难度比较大，不等式的建立比较隐蔽，利用隐含条件建立不等式是解决本题的关键
三、 根据变量，的取值范围建立不等式
例3. 椭圆的两个焦点为（－ｃ，，是椭圆上一点，满足，则离心率的取值范围是 .
解析：设点的坐标为，则，﹒由，得，即﹒ （※）
又由点在椭圆上得，代入（※）得，所以﹒
∵，∴，即，，解得，又∵，∴﹒
点评：根据已知条件得出等量关系，再根据变量的取值范围建立不等式是解决本题的两个关键点﹒