资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形一定是矩形
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
D．“用长分别为、12cm、的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则下列叙述正确的是( )
A．abc＜0 B．－3a＋c＜0
C．b2－4ac≥0 D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2＋c
4．如图等边△ABC的边长为4cm，点P，点Q同时从点A出发点，Q沿AC以1cm/s的速度向点C运动，点P沿A﹣B﹣C以2cm/s的速度也向点C运动，直到到达点C时停止运动，若△APQ的面积为S（cm2），点Q的运动时间为t（s），则下列最能反映S与t之间大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形 ②△ABC与△DEF是相似图形
③△ABC与△DEF的周长比为1：2 ④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法中错误的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近
8．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交于点N′，则PN-MN′的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，∠ABC＝68°，则∠A的度数为（ ）.
A．112° B．68° C．65° D．52°
10．在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），对称轴是直线x= -1．则下列结论正确的是（ ）
A．ac＞0 B．b2－4ac＝0 C．a－b＋c＜0 D．当-3＜x＜1时，y＞0
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_________.
12．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，E、F分别为AC、AD上两动点，连接CF、EF，则CF＋EF的最小值为_____．
13．一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援，海警船到达事故船处所需的时间大约为________小时（用根号表示）．
14．二次函数图象与轴交于点，则与图象轴的另一个交点的坐标为__．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB 的延长线上， CD与⊙O相切于点D，若∠CDA=122°，则∠C=_______．
16．已知，是方程的两实数根，则__．
17．已知一组数据：12，10，1，15，6，1．则这组数据的中位数是__．
18．如图，是的直径，弦与弦长度相同，已知，则________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）举世瞩目的港珠澳大桥已于2018年10月24日正式通车，这座大桥是世界上最长的跨海大桥，被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”，车辆经过这座大桥收费站时，从已开放的4个收费通道A、B、C、D中可随机选择其中一个通过．
（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是 ．
（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
20．（6分）如图，请仅用无刻度的直尺画出线段BC的垂直平分线．（不要求写出作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC；
（2）如图②，已知四边形ABCD为矩形，AB、CD与⊙O分别交于点E、F．
21．（6分）把二次函数表达式化为的形式.
22．（8分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（3）已如函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
24．（8分）如图，中，，以为直径作，交于点，交的延长线于点，连接,.
（1）求证：是的中点；
（2）若，求的长.
25．（10分）在不透明的袋中有大小形状和质地等完全相同的个小球，它们分别标有数字，从袋中任意摸出一小球(不放回)，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球．
（1）请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；
（2）规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程的根，则小明贏；如果摸出的两个小球上的数字都不是方程的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．
26．（10分）计算：（1）；
（2）解方程：.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为1m为负数，最大值为1n为正数．将最大值为1n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】解：二次函数y=﹣（x﹣1）1+5的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，
解得：m=﹣1．
当x=n时y取最大值，即1n=﹣（n﹣1）1+5， 解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，
解得：m=﹣1．
当x=1时y取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5， 解得：n=，
或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，
1m=-（n-1）1+5，n=，
∴m=，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=﹣1+=．
2、D
【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.
【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；
C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；
D. “用长分别为、12cm、的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，
故选：D.
【点睛】
此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.
3、B
【解析】解：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；
B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
D．y=ax2+bx+c=，∵ =2，∴原式=，∴向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；
故选B．
4、C
【分析】根据等边三角形的性质可得，然后根据点P的位置分类讨论，分别求出S与t的函数关系式即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠C=60°，AB=BC=AC=4
当点P在AB边运动时，
根据题意可得AP=2t，AQ=t
∴△APQ为直角三角形
S＝AQ×PQ＝AQ×（AP·sinA）＝×t×2t×＝t2，图象为开口向上的抛物线，
当点P在BC边运动时，如下图，
根据题意可得PC=2×4－2t=8－2t，AQ=t
S＝×AQ×PH＝×AQ×（PC·sinC）＝×t×（8﹣2t）×＝t（4﹣t）=-t2+，
图象为开口向下的抛物线；
故选：C．
【点睛】
此题考查的是根据动点判定函数的图象，掌握三角形面积的求法、二次函数的图象及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．
5、C
【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【详解】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键．
6、A
【解析】由题意得,两个相似多边形的一组对应边的比为3:4.5=，
∴它们的相似比为，故选A.
7、C
【分析】根据随机事件的定义可判断A项，根据中心对称图形和必然事件的定义可判断B项，根据概率的定义可判断C项，根据频率与概率的关系可判断D项，进而可得答案．
【详解】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，故本选项说法正确，不符合题意；
B、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，故本选项说法正确，不符合题意；
C、“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上，故本选项说法错误，符合题意；
D、“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件、必然事件、中心对称图形以及频率与概率的关系等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
8、A
【分析】根据正方形的性质可得点O为AC的中点，根据三角形中位线的性质可求出PN的长，由PM⊥BC可得PM//CD，根据点P为OD中点可得点N′为OC中点，即可得出AC=4CN′，根据MN′//AB可得△CMN′∽△CBA，根据相似三角形的性质可求出MN′的长，进而可求出PN-MN′的长.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴OA=OC，AD=AB=4，
∵N是AO的中点，P是OD的中点，
∴PN是△AOD的中位线，
∴PN=AD=2，
∵PM⊥BC，
∴PM//CD//AB，
∴点N′为OC的中点，
∴AC=4CN′，
∵PM//AB，
∴△CMN′∽△CBA，
∴，
∴MN′=1，
∴PN-MN′=2-1=1，
故选：A.
【点睛】
本题考查正方形的性质、三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定定理是解题关键.
9、C
【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由邻补角的定义，可证得∠BAD＝∠DCE．继而求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE＝65°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
10、D
【分析】根据二次函数图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象开口向下，与y轴交于点B（0，3），
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
故A选项错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2－4ac＞0，
故B选项错误；
∵对称轴是直线x= -1，
∴当x= -1时，y＞0，即a－b＋c＞0，
故C选项错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c对称轴是直线x= -1，与x轴交于A（1，0），
∴另一个交点为（-3，0），
∴当-3＜x＜1时，y＞0，
故D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4××1×2=4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为．
【点睛】
此题考查几何概率，解题关键在于掌握运算法则.
12、
【分析】作BM⊥AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF＝CF，根据垂线段最短得出CF＋EF≥BM，即可得出答案．
【详解】作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF＝CF，
根据垂线段最短得出：CF＋EF＝BF＋EF≥BF＋FM＝BM，
即CF＋EF≥BM，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BM，
∴BM＝，
即CF＋EF的最小值是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
13、
【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=（海里），然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=60海里，
∴CD=AC=30海里．
在Rt△CBD中，
∵∠CDB=90°，∠CBD=90°-37°=53°，
∴BC=（海里），
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：20÷40=（小时）．
故答案为．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14、
【分析】确定函数的对称轴为：，即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为：，故另外一个交点的坐标为，
故答案为．
【点睛】
本题考查的是抛物线与轴的交点和函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴是解题的关键．
15、26°
【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODC=90°，即可求得∠ODA=32°，再利用等腰三角形的性质得∠A=32°，然后根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】连接OD，如图，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠ODA=∠CDA-90°=122°-90°=32°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=32°，
∴∠C=180°-∠ADC+∠A=180°-122°-32°=26°．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
16、1
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则可变形为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】是方程的实数根，
，
，
，
，是方程的两实数根，
，，
．
故答案为1．
【点睛】
考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
17、2
【解析】根据这组数据是从大到小排列的，求出最中间的两个数的平均数即可
【详解】解：将数据从小到大重新排列为：6、1、1、10、12、15，
所以这组数据的中位数为 ，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）即可
18、
【分析】连接BD交OC与E，得出，从而得出；再根据弦与弦长度相同得出，即可得出的度数.
【详解】
连接BD交OC与E
是的直径
弦与弦长度相同
故答案为.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，辅助线得出是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、 (1);(2) .
【解析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．
【详解】解答：（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是，
故答案为．
（2）列表如下：
A
B
C
D
A
AA
AB
AC
AD
B
BA
BB
BC
BD
C
CA
CB
CC
CD
D
DA
DB
DC
DD
由表可知，共有16种等可能结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
所以选择不同通道通过的概率为＝．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
20、（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】（1）如图，作直线OA即可，OA即为所求；
（2）连接AF、DE交于点O，连接EC、BH交于点H，连接OH即可．
【详解】解：（1）如图①，作直线OA即可，OA即为所求；
（2）如图②，连接AF、DE交于点O，连接EC、BH交于点H，
连接OH即可，直线OH即为所求．
【点睛】
本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、垂径定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题．
21、
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【详解】解：
=x2-4x+4-4+c
=（x-2）2+c-4，
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
22、（1）；（2）函数图象见解析，性质：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；（3）不等式的解集为或
【分析】（1）根据待定系数法进行求解函数的表达式；
（2）结合（1），将函数的表达式写成分段形式，然后进行画图，进而求解；
（3）结合（2）中的函数图象直接写出不等式的解集．
【详解】解：（1）∵当时，，，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴该函数的图象如图所示：
性质：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）由函数图象可知，写出不等式的解集为或．
【点睛】
本题考查待定系数法求函数的表达式，反比例函数的图象与性质，一元一次不等式与一次函数的关系，学会画函数的图象与运用数形结合的思想是解题的关键．
23、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．
【详解】（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴，∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=AB，
∵OD=AB，
∴BC=OD．
24、（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）根据题意得出，再根据三线合一即可证明；
（2）在中，根据已知可求得，，，再证明，得出，代入数值即可得出CE.
【详解】（1）证明：是的直径，
，
又
是中点.
（2）解：，，
，，
，，
.
,
.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握定理是解题的关键.
25、（1）见解析；（2）公平，理由见解析．
【分析】（1）可以利用树状图表示出所有的可能出现的结果；
（2）分别求得两人赢的概率，判断是否相等即可求解．
【详解】(1)利用树状图表示为：
；
(2)公平；
解方程得：，
根据树状图知，共有12种情况，
小明赢的情况有：3，4和4，3两种，
因而小明赢的概率是：，
小亮赢的情况有：1，2和2，1两种，小亮赢的概率是：
小亮赢的概率是：，
两人赢的机会相等，因而双方公平．
【点睛】
本题主要考查了列表法和树状图法、游戏公平性的判断，一元二次方程的求解．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
26、（1）6；（2）x 1=1,x 2=2
【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及零次幂的相关知识求解即可；
（2）用分解因式的方法求解即可．
【详解】解：（1）原式==4+3-1=6
（2）将原方程因式分解可得：(x-1)(x-2)=0，
即x-1=0或x-2=0
解得，x=1或x=2，
所以方程的解为：,．
【点睛】
本题考查的知识点是实数的运算以及解一元二次方程，掌握负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数值以及解一元二次方程的方法等知识点是解此题的关键．
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