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2.5 纵向沟通 横向联系 激活类比法

勾股定理是古代文明的一个重要标志，吸引了无数仁人志士的探索，因此是证明方法最多的定理，已发表的有近400种，如我国古代赵爽，希腊毕达哥拉斯，意大利达芬奇，美国总统加菲尔德等，他们的证法各具特色. 方法大体上是: 相似、构图、面积法. 那么这条平面几何中著名的定理是否可以在立体几何上找到一个类似的定理呢？
首先我们想一想，在空间有什么几何图形是非常类似平面上的三角形？
你说这不是很容易吗？三角形是边数最少的多边形. 多面体中面数最少是四面体. 四面体就可以看成三角形的推广，应该将四面体与三角形类比.
再想，四面体中什么与直角三角形类似呢？你看直角三角形顶点张出的角度是直角，我们是否可以考虑一个四面体，它的一个顶点，对着其他三边张出的角度都是直角？
非常好！你这样的想法对头了.
如果还没有想到，你可以抬头看看你前面的墙脚，你想像一个平面把墙脚的三个互相垂直的边一截，就可以得到这个特殊的四面体了. 或者，你可以拿一块长方体的橡皮泥，就在它的一角斜切，就可以得到一个很形象的四面体，不妨叫做“直角四面体”（如图）.
直角三角形在空间类似的形体找到了，再回头看直角三角形的性质“勾股定理”是怎样的性质？是有关直角三角形边缘的性质.
如果能推广这定理到“直角四面体”，这定理也将是关于它的边缘的性质.
直角三角形的边缘是边长，而四面体的边缘是三角形的面积.
由勾股定理三条边长的数量关系：，可以猜想四面体的四个面的面积关系了. 注意，直角三角形只有两条直角边，而“直角四面体”有3个直角三角形的面.
再进一步想. 是++=吗？
还是++=？
可能吃不准，不要紧，你可以找实际的特殊例子来验算，例如设OA=3，OB=4，OC=2.
好，这下你找到答案了吧，应该是++=.
了不起,你发现了空间的“勾股定理”. 不，应该说现在你真正品尝到类比的味道了.
在数学学习过程中，我们常常遇到类似的问题，如果我们把这些类似进行比较，加以联想的话可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象的性质的方法就是类比法. 类比法不仅是一种以特殊到特殊的推理方法，也是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的发现方法.
波利亚在他的三部名著中反复提到类比推理：“在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中，无不充满了类比. 类比可在不同的水平使用. 人们常常使用含糊不清的、夸大的、不完全或没有完全弄清楚的类比，但类比也可以达到数学精确性的水平. ”
“类比，特别是未完全说清楚的类比可能是含糊的. 例如，比较平面几何与立体几何，我们首先发现平面上的三角形与空间的四面体可作类比，其次三角形与棱锥可作类比. 然而这一对类比都是合理的. 它们各有其价值. 在平面几何与立体几何之间有若干类比关系，而不只一个特殊的类比. ”
“一般化、特殊化和类比往往协同解决数学问题. ”“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”
德国数学家、天文学家开普勒也说过：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的. ”
怎样类比？波利亚告诫我们：“如果把类比推论（猜想）的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的. 但是，忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢的. ”“请牢记，不要忽视含糊的类比. 然而，如果你希望这些类比受人重视的话，你就该设法尽量把它们说清楚. ”“得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强，但是这里类比的质量仍然比数量更为重要. 清晰的类比较模糊的相似更有价值，安排有序的例子比随便收集的情况更能说明问题. ”
运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．设法尽量把它们说清楚. 按寻找类比对象的角度不同，数学中常用的类比形式可分为高维与低维的类比（如空间与平面的类比）、结构上相似的类比、复杂问题及其简化后的类比、数式与图形的类比、有限与无限的类比等等类型. 下面就几种常见类型举例说明.

一．降维类比
将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比. 空间“勾股定理”就是降维类比猜想得到的。
例 如图，过四面体V-ABC的底面内任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，
OC1∥VC，A1,B1,C1分别是所作直线与侧面交点.
求证：++为定值.
证明: 先考虑平面上的类似问题：在△ABC中边AB上任取一点O，作OA1∥AC，交BC于A1，作OB1∥BC，交AC于B1。求证+为定值.
事实上，+=+=1.
再考虑空间的上述问题. 如图，设平面OA1VABC=M,平面OB1VBAC=N，平面OC1VCAB=L，
则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV，得
++=++.
在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，所以
++=++==1.
即证明了++为定值1.
事实上，正如波利亚所说，平面几何与立体几何、三角形与四面体、三角形与棱锥都可以类比：
平面几何
立体几何
长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直
长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直
在平行四边形中,对角线互相平分
在平行六面体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分
在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和
在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和
等腰三角形的一条高通过底边的中点
正棱锥的高通过它的底面多边形的外接圆圆心
圆面积=圆周长与半径之积的
球体积=球面积与半径积的
余弦定理：c2=a2+b2-2ab·cosC
异面直线上两点间的距离公式：=d2+m2+n2±2mn·cos

三角形
四面体
三角形两边之和大于第三边
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边
四面体的中位面的面积等于第四个面面积的,且平行于第四个面
三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心
四面体的四个面的二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体的内切球的球心
三角形的面积为S=底×高
=(a+b+c)r
r为三角形内切圆的半径.
四面体的体积为V=×底面积×高=(S1+S2+S3+S4)r,
S1、S2、S3、S4为四面体四个面的面积，r为内切球的半径.
在Rt△ABC中，斜边是AB，则CB=AB·cosB
在四面体D-ABC中,DA⊥面ABC，若二面角A-BC-D的大小为，则面积S△ABC= S△DBC·cos
在Rt△ABC中，两直角边长为a、b，斜边上的高为h，则
=+
共顶点的三条棱两两垂直的四面体中，若这三条棱的长为a、b、c，这顶点到它所对的面的距离为h，则
=++
正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍
正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍

二．结构类比
波利亚指出：“类比就是一种相似. 相似的对象在某个方而彼此
一致，类比的对象则其相应部分在某些关系上相似. ”某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决.
例 设函数f(x)的定义域关于原点对称,并满足以下三条件:
① 若x1、x2是定义域中的数，则f(x1-x2)=
② 若a>0,则f(a)=1;
③ 当0<x<2a时，f(x)>0.
试猜测：f(x)的奇偶性；f(x)是否为周期函数,若是周期函数,周期是多少?
解：条件①与公式cot(-)=相似.
由条件②，从cot=1，猜想=，这一猜想还满足条件③. 于是，题中的抽象函数“退”归为具体的函数f(x)=cotx，由此猜测：f(x)为奇函数；因为y=cotx的周期为=4×，所以f(x)是周期为4a的周期函数.
证明：令x=x1-x2，因为f(x)的定义域关于原点对称,所以-x=x2-x1，也在定义域内,且
f(-x)=f(x2-x1)==-f(x1-x2)=-f(x)，
故f(x)为奇函数.
由已知条件,可得
f(x+a)====,
f(x+2a)=f[(x+a)+a]====-
f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-=f(x).
所以，f(x)为周期函数，其周期为4a.
事实上，等式与不等式，等差数列与等比数列，椭圆与双曲线等等在结构上都是相似的，都可以类比，例如等差数列与等比数列的性质就可以类比如下：
等差数列{an}
等比数列{an}
公差为d,前n项和为Sn,
公比为q,前n项和Sn.
通项an=am+(n-m)·d,
通项an=am·qn-m.
若m+n=p+q,其中m、n、p、qN*
则am+an=ap+aq.
若m+n=p+q,其中m,n,p,qN*,
则am·an=ap·aq.
若m+n=2p,m,n,pN*,则am+an=2ap.
若m+n=2p,m,n,pN*,则=am·an.
Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列.
Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列
若an>0,d≠0,则a4·a6>a3·a7.
若an>0,q≠1,则a4+a8>a5+a7.
设0<a<b，在a与b间插入p个数，
若这p+2个数成等差数列，则公差 d=.
设0<a<b，在a与b间插入p个数，
若这p+2个数成等比数列，则公比 q=.
若{an}、{bn}都是等差数列，则
{an+bn}还是等差数列.
若{an}、{bn}都是等比数列，则
{anbn}还是等比数列.

三．简化类比
简化类比，也称为降低难度的类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题的解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法. 比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比为低次问题，普遍问题类比为特殊问题等.
例 已知x1，x2，…，xn均为正数.
求证：+ +…+≥++…+.
证明：先降到二元同类问题，已知a>0，b>0，求证:+≥+.
由不等式x+y≥2(x>0,y>0)及a,b都是正数可得：
+≥2=2,
+≥2=2,
所以，+++≥2(+),即+≥+.
再将二元的结论推广到n元:
因为x1,x2,…xn都>0, 所以+≥2，
+≥2，…+≥2.
把上面式子相加得(+)+(+)+…+(+)≥2(++…+).
就是要证明的：++…+≥++…+.
事实上，在研究解题时，对于含“一般性”结论的题目，可采用“退化”的思考方法来探其思路。这是根据“简单是真理的标志”和“以退求进”的策略, 为了求解复杂的数学问题, 而找与它有内在联系的简单类比题来求解, 把简单类比题钻深了, 看透了, 然后再去解复杂问题就容易多了. 可以体会吧，波利亚的名言：“类比是一个伟大的引路人”的含义了吧。
从上面的例子我们可以看到，类比推理的思维过程是：观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论，并且加以证明。
数学知识之间存在着紧密的联系，旧知识是学习新知识的基础，新知识是旧知识的延伸和发展. 运用类比法，展示了知识的获取过程，起了新旧知识的纽带作用，可以促使知识间的纵向沟通；不仅如此，运用类比法，展开丰富的联想，产生迁移，可以加强知识间的横向联系，形成新的观点，使原有知识结构得到补充、改造和逐步完善. 这样，运用类比法，鲜明地形成了清晰、系统的知识网络.
正是：似曾相识燕归来，
纵横交融筑新巢。