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专题四 立体几何专项训练
一、选择题
1．如图，点E是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1的中点，则过点E且与直线AB、B1C1都相交的直线的条数是
A．0 B．1
C．2 D．无数条
2．P是正三棱锥P—ABC的侧棱PC上一点（侧棱端点除外），则∠APB的大小满足（ ）
A． B．
C． D．
3.一个广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其在水平面上的投影是一个长半轴为5m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是（ ）
A． 100m2 B． 100 m2 C． 100 m2 D．100 m2.
4．正四棱锥的底面边长为x，侧棱长为y，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.长方体的各顶点都在半径为R的球面上，则该长方体的最大体积是
A． B．
C． D．
6.在水平横梁上A、B两点各挂长为50cm的细线AM，BN，|AB|=60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行于横梁，木条中点为O，若木条绕其中点O水平方向旋转，则木条比原来升高了
A．10cm B．5cm
C． D．
7．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1DA的距离与点P到点M的距离的平方差等于1，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．直线 D． 以上都不对
8．如图，已知正方体上、下底面中心分别为，将正方体绕直线旋转一周，其中由线段旋转所得图形是（ ）
二、填空题
9．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，PA=a，AB＝2PA，ÐABC＝60°，则D到平面PBC的距离为________________．
10．设是异面直线，点A、B在上运动，，点C、D在上运动，，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点. 给出下列命题：①四面体ABCD的体积是常数；②四边形EFGH的面积是常数；③可能与平面AEC都成900；④四边形EFGH是菱形.其中正确命题的序号是__________.
11．如图，正四棱锥V—ABCD的侧棱长与底边长相等，点E是棱VA的中点，点O是底面中心，则异面直线EO与BC所成的角是________________
12．有一个正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为，现在要用一张正方形的包装纸将它完全包住．（不能裁剪纸，但可以折叠）那么包装纸的最小边长应为__________________．
三、解答题
13.在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如左图．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如右图．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．
14.直三棱柱中，，，为棱的中点．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求平面与平面所成的角的大小．
15.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=
⑴求证：PD⊥平面ABCD
⑵求异面直线PB与AC所成的角
⑶求二面角A－PB－D的大小
⑷在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径
⑸求四棱锥外接球的半径
16.如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，，，是棱的中点．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的大小．
专题四立体几何专项训练参考答案
一、选择题
DABB DABD
8．显然在旋转过程中，线段上任意一点到轴的距离为定值.设线段的中点为M，线段的中点为O，则OM是异面直线和的公垂线段.设N是线段上任意一点，N在轴上的射影为P，我们只需研究在静止状态下线段MN与PN的函数关系即可.如图，以正方体的中心O为原点建立空间直角坐标系，不失一般性，设点N在线段MC1上.设正方体边长为2，，，则由异面直线和所成角为450知，故在Rt△OPN中，由得：，
即与满足双曲线关系，故选D.
二、填空题
9．a; 10．①②④; 11．;12．
三、解答题
13.解析：设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,
.
当且仅当 .
故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为
14.解法一：（1）连结交于点，取中点，连结，则∥．
∴直线与所成的角就是异面直线与所成的角．
设，则 ，．
．中，，，
直三棱柱中，，则．
．，
异面直线与所成的角为．
（2）直三棱柱中，，平面． 则．
又，，，则， 于是．
平面． 又平面，平面平面．故平面与平面所成的角为900.
解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
于是．
，
异面直线与所成的角为．
（2），.
则．平面． 平面平面，
故平面与平面所成的角为900.
15.解析：（1）要证PD⊥平面ABCD，只需证PD垂直于平面ABCD内的两条相交线，而所给已知量都是数，故可考虑勾股定理的逆定理
∵PD=a，AD=a，PA= ∴PD2+DA2=PA2
同理∴∠PDA=90°即PD⊥DA，PD⊥DC
∵AO∩DC=D ∴PD⊥平面ABCD
⑵从图形的特殊性，应先考虑PB与AC是否垂直，若不垂直然后再转化
连结BD，∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC
∵PD⊥平面ABCD ∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D ∴AC⊥平面PDB
∵PBÌ平面PDB ∴AC⊥PB
∴PB与AC所成的角为90°
⑶由于AC⊥平面PBD，所以用垂线法作出二面角的平面角
设AC∩BD=O，过A作AE⊥PB于E，连OE
∵AO⊥平面PBD ∴OE⊥PB
∴∠AEO为二面角 A－PB－D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB ∴PA⊥AB
在Rt△PDB中，
在Rt△PAB中，∵，∴
在Rt△AOE中，
∴∠AEO=60°， ∴二面角A－PB－D的大小为60°
⑷当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积法求解.设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R
∵
∴球的最大半径为（）
⑸四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五的距离均为半径，只要找出球心的位置即可，在Rt△PDB中，斜边PB的中点为F，则PF=FB=FD不要证明FA=FC=FP即可
设PB的中点为F,∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD,在Rt△PAB中：FA=FP=FB,在Rt△PBC中：FP=FB=FC,∴FP=FB=FA=FC=FD,故F为四棱锥外接球的球心,FP为外接球的半径
∵FP=,∴ ∴四棱锥外接球的半径为
【说明】⑴本题主要考查棱锥的性质以及内切外接的相关知识点;
⑵“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，例如本例中球内切于四棱锥中时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到五个面的距离相等;
⑶求体积或运用体和解决问题时，经常使用等积变形，即把一个几何体割补成其它几个几何体的和或差.
（4）立体几何的推理必须做到言必有据，论证严密.
16.解析：本题考查多面体中的线面关系，求二面角，求点到平面的距离：考查多面体中的线面关系，求点到平面的距离、二面角.
证明：连接，是正方形，∴，
又，
∴平面，∴，又，∴平面，∴
（2）解：在平面中，过点作，垂足为，连接，又过点作，垂足为，则为点到平面的距离，在中，有，∴，
在中，，点到平面的距离为．
解法2：用等体积法，设点到平面的距离为，
在中，为直角三角形，由得，∴ ，∴点到平面的距离为．
（3）解：取线段的中点，连接，则，，∴，再取线段的中点，连接，∴，∴，∴是二面角的平面角，在中， ，，取线段的中点，连接，则，在中，，∴，由余弦定理知，∴二面角的大小为．
空间向量解法：
（1）证明：用基向量法． 设，，，，，，，，
∴，∴，∴，，∴，∴，即， ∴
（2）解：构建空间直角坐标系，运用向量的坐标运算．
以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角系．则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，∵， ∴，，
∴，令，则，，得．
，求点到平面的距离
（3）解：设平面的一个法向量为．
∵， ∴，，令，则，，得．又设平面的一个法向量为∵，
∴∴，令，则，，得．
，∴二面角的大小为．
或者，的中点的坐标为，，， ，∴，
∴二面角的大小为．
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