1、专题四 立体几何专项训练一、选择题1如图，点E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，则过点E且与直线AB、B1C1都相交的直线的条数是A0B1C2D无数条2P是正三棱锥PABC的侧棱PC上一点（侧棱端点除外），则APB的大小满足（ ）A B C D 3.一个广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其在水平面上的投影是一个长半轴为5m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是（ ）A 100m2 B 100 m2 C 100 m2 D100 m2.4正四棱锥的底面边长为x，侧棱长为y，则的取值范围是（ ）A B C D5.长方体的各顶点都在半径为R的球面上，则该长方体的最大体积是 AB
2、C D6.在水平横梁上A、B两点各挂长为50cm的细线AM，BN，|AB|=60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行于横梁，木条中点为O，若木条绕其中点O水平方向旋转，则木条比原来升高了 A10cmB5cmCD7正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1DA的距离与点P到点M的距离的平方差等于1，则点P的轨迹是（ ）A抛物线 B双曲线 C直线 D以上都不对8如图，已知正方体上、下底面中心分别为，将正方体绕直线旋转一周，其中由线段旋转所得图形是（ ）二、填空题9在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为平行四
3、边形，PA=a，AB2PA，ABC60，则D到平面PBC的距离为_10设是异面直线，点A、B在上运动，点C、D在上运动，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点. 给出下列命题：四面体ABCD的体积是常数；四边形EFGH的面积是常数；可能与平面AEC都成900；四边形EFGH是菱形.其中正确命题的序号是_.11如图，正四棱锥VABCD的侧棱长与底边长相等，点E是棱VA的中点，点O是底面中心，则异面直线EO与BC所成的角是_12有一个正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为，现在要用一张正方形的包装纸将它完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠）那么包装纸的最小边长应为_ 三、解答题13.在边长为a的
4、正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如左图若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如右图则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值14.直三棱柱中，为棱的中点（1）求异面直线与所成的角；（2）求平面与平面所成的角的大小15.四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=求证：PD平面ABCD求异面直线PB与AC所成的角求二面角APBD的大小在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径求四棱锥外接球的半径16.如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，是棱的中点（1）求证：；（2）求点到平
5、面的距离；（3）求二面角的大小专题四立体几何专项训练参考答案一、选择题DABB DABD8显然在旋转过程中，线段上任意一点到轴的距离为定值.设线段的中点为M，线段的中点为O，则OM是异面直线和的公垂线段.设N是线段上任意一点，N在轴上的射影为P，我们只需研究在静止状态下线段MN与PN的函数关系即可.如图，以正方体的中心O为原点建立空间直角坐标系，不失一般性，设点N在线段MC1上.设正方体边长为2，则由异面直线和所成角为450知，故在RtOPN中，由得：，即与满足双曲线关系，故选D.二、填空题9a; 10; 11;12三、解答题13.解析：设容器的高为x则容器底面正三角形的边长为, . 当且仅当
6、 .故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为14.解法一：（1）连结交于点，取中点，连结，则直线与所成的角就是异面直线与所成的角设，则 ， 中，直三棱柱中，则，异面直线与所成的角为（2）直三棱柱中，平面 则又，则， 于是平面 又平面，平面平面故平面与平面所成的角为900.解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，于是，异面直线与所成的角为（2），. 则平面 平面平面，故平面与平面所成的角为900.15.解析：（1）要证PD平面ABCD，只需证PD垂直于平面ABCD内的两条相交线，而所给已知量都是数，故可考虑勾股定理的逆定理PD=a，AD=a，PA= PD2+DA2=PA2同理
7、PDA=90即PDDA，PDDCAODC=D PD平面ABCD从图形的特殊性，应先考虑PB与AC是否垂直，若不垂直然后再转化连结BD，ABCD是正方形 BDACPD平面ABCD PDACPDBD=D AC平面PDBPB平面PDB ACPBPB与AC所成的角为90由于AC平面PBD，所以用垂线法作出二面角的平面角设ACBD=O，过A作AEPB于E，连OE AO平面PBD OEPB AEO为二面角 APBD的平面角PD平面ABCD，ADAB PAAB 在RtPDB中， 在RtPAB中， 在RtAOE中， AEO=60， 二面角APBD的大小为60当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到
8、各个面的距离均相等，联想到用体积法求解.设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R 球的最大半径为（）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五的距离均为半径，只要找出球心的位置即可，在RtPDB中，斜边PB的中点为F，则PF=FB=FD不要证明FA=FC=FP即可设PB的中点为F,在RtPDB中：FP=FB=FD,在RtPAB中：FA=FP=FB,在RtPBC中：FP=FB=FC,FP=FB=FA=FC=FD,故F为四棱锥外接球的球心,FP为外接球的半径FP=, 四棱锥外接球的半径为【说明】本题主要
9、考查棱锥的性质以及内切外接的相关知识点;“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，例如本例中球内切于四棱锥中时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到五个面的距离相等;求体积或运用体和解决问题时，经常使用等积变形，即把一个几何体割补成其它几个几何体的和或差. （4）立体几何的推理必须做到言必有据，论证严密.16.解析：本题考查多面体中的线面关系，求二面角，求点到平面的距离：考查多面体中的线面关系，求点到平面的距离、二面角.证明：连接，是正方形，又，平面，又，平面，（2）解：在平面中，过点作，垂足为，连接，又
10、过点作，垂足为，则为点到平面的距离，在中，有，在中，点到平面的距离为解法2：用等体积法，设点到平面的距离为， 在中，为直角三角形，由得， ，点到平面的距离为（3）解：取线段的中点，连接，则，再取线段的中点，连接，是二面角的平面角，在中， ，取线段的中点，连接，则，在中，由余弦定理知，二面角的大小为空间向量解法：（1）证明：用基向量法 设，即， （2）解：构建空间直角坐标系，运用向量的坐标运算以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角系则，设平面的一个法向量为， ，令，则，得，求点到平面的距离（3）解：设平面的一个法向量为 ， ，令，则，得又设平面的一个法向量为， ，令，则，得，二面角的大小为或者，的中点的坐标为， ，二面角的大小为用心 爱心 专心
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