天津市河西区2013年中考数学一模试题(解析版)-新人教版.doc

2013年天津市河西区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）
1．（3分）（2009•天津）2sin30°的值等于（　　）

A．
1
B．

C．

D．
2

考点：
特殊角的三角函数值．
分析：
sin30°=，代入计算即可．
解答：
解：2sin30°=2×=1．
故选A．
点评：
解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．

2．（3分）（2013•河西区一模）下列标志中，可以看作是中心对称图形的有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
中心对称图形．
分析：
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行解答．
解答：
解：第一个图形，第三个图形，都是中心对称图形，
故选：B．
点评：
此题主要考查了中心对称图形的概念：关键是中心对称图形要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．（3分）（2013•河西区一模）据《2012中国可持续发展战略报告》提出，中国发展中的人口压力依然巨大，按2011年提高后的贫困标准（农村居民家庭人均纯收入2300元人民币/年），中国还有128000000的贫困人口，将128000000用科学记数法表示应为（　　）

A．
128×105
B．
12.8×105
C．
1.28×108
D．
0.128×109

考点：
科学记数法—表示较大的数．
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：128000000用科学记数法表示应为1.28×108．
故选C．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（2013•河西区一模）估计的值在（　　）

A．
5到6之间
B．
6到7之间
C．
7到8之间
D．
8到9之间

考点：
估算无理数的大小
专题：
计算题．
分析：
由于64＜77＜81，然后根据算术平方根的定义得到8＜＜9．
解答：
解：∵64＜77＜81，
∴8＜＜9．
故选D．
点评：
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．

5．（3分）（2012•长沙）甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是（　　）

A．
＜
B．
＞
C．
=
D．
不能确定

考点：
方差．
分析：
方差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定．根据方差的意义判断．
解答：
解：根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小，
∵甲的成绩比乙的成绩稳定，
∴有：S甲2＜S乙2．
故选A．
点评：
本题考查了方差的意义，方差反映的是数据的稳定情况，方差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定；反之，表示数据越不稳定．

6．（3分）（2013•河西区一模）下列命题中真命题是（　　）

A．
任意两个等边三角形必相似

B．
对角线相等的四边形是矩形

C．
以40°角为内角的两个等腰三角形必相似

D．
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

考点：
命题与定理．
分析：
根据相似三角形的判定、矩形和平行四边形的判定即可作出判断．
解答：
解：A，正确；
B，错误，等腰梯形的对角线相等，但不是矩形；
C，错误，没有说明这个40度角是顶角还是底角；
D，错误，等腰梯形也满足此条件，但不是平行四边形．
故选A．
点评：
本题考查了特殊四边形的判定和全等三角形的判定和性质．

7．（3分）（2007•临沂）如图是一个用于防震的L形的包装用泡沫塑料，当俯视它时看到的图形形状是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
简单组合体的三视图．
分析：
找到从上面看所得到的图形即可．
解答：
解：从上面看可得到两个左右相邻的矩形，故选B．
点评：
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

8．（3分）（2013•河西区一模）△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（﹣1，2），则△ABC的面积为（　　）

A．
10
B．
20
C．
12
D．
6

考点：
三角形的面积；坐标与图形性质．
分析：
根据点A、B的坐标求出AB的长度并得到AB∥y轴，再求出点C到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
解答：
解：如图，∵A（4，1），B（4，5），C（﹣1，2），
∴AB=5﹣1=4，AB∥y轴，点C到AB的距离为4﹣（﹣1）=5，
∴△ABC的面积=×4×5=10．
故选A．

点评：
本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，根据点A、B的横坐标相同求出AB的长度并得到AB∥y轴是解题的关键，作出图形更形象直观．

9．（3分）（2013•河西区一模）将抛物线y=2x2向上平移5个单位，再向右平移3个单位，所得到的新抛物线的解析式为（　　）

A．
y=2（x﹣5）2+3
B．
y=2（x+5）2+3
C．
y=2（x﹣3）2+5
D．
y=2（x+3）2+5

考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式形式写出即可．
解答：
解：∵抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），
∴向上平移5个单位，向右平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（3，5），
∴新抛物线的解析式为=2（x﹣3）2+5．
故选C．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的变化确定抛物线的解析式可以使求解更加简单．

10．（3分）（2013•河西区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
动点问题的函数图象；相似三角形的应用．
专题：
动点型．
分析：
分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
解答：
解：当点Q在AC上时，y=×AP×PQ=×x×=x2；
当点Q在BC上时，如下图所示，

∵AP=x，AB=5，
∴BP=5﹣x，又cosB=，
∵△ABC∽QBP，
∴PQ=BP=
∴S△APQ=AP•PQ=x•=﹣x2+x，
∴该函数图象前半部分是抛物线开口朝上，后半部分也为抛物线开口抽下．
故选C．
点评：
本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2013•河西区一模）计算：a﹣2•a3=　a　．

考点：
同底数幂的乘法；负整数指数幂．
分析：
利用同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，进行计算即可．
解答：
解：a﹣2•a3=a﹣2+3=a．
故答案为：a．
点评：
此题主要考查了同底数幂的乘法计算，关键是熟练掌握计算法则．

12．（3分）（2013•河西区一模）化简的结果是　a﹣b　．

考点：
分式的加减法．
专题：
计算题．
分析：
由于分母相同，直接相减，因式分解后通分即可．
解答：
解：原式===a﹣b．
故答案为a﹣b．
点评：
本题考查了分式的加减，熟悉因式分解是解题的关键．

13．（3分）（2013•河西区一模）如图所示，A、B、C为⊙O上点，A点坐标（﹣1，﹣1），B点坐标（1，﹣1），则∠ACB的度数为　45°　．

考点：
圆周角定理；坐标与图形性质；等腰直角三角形．
专题：
探究型．
分析：
先根据A、B两点的坐标求出∠AOB的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
解答：
解：∵A点坐标（﹣1，﹣1），B点坐标（1，﹣1），
∴∠AOD=∠BOD=45°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°，
∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，
∴∠ACB=∠AOB=×90°=45°．
故答案为：45°．

点评：
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

14．（3分）（2013•河西区一模）正比例函数y=x与反比例函数y=有一个交点的纵坐标是2，当﹣3＜x＜﹣1时，反比例函数y的取值范围是　﹣4＜x＜﹣　．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
求出交点坐标，求出反比例函数的解析式，把x=﹣3，x=﹣1代入反比例函数的解析式求出对应的y值，即可得出答案．
解答：
解：把y=2代入y=x得：x=2，
即两函数的一个交点的坐标是（2，2），
把点的坐标代入y=得：k=4，
即反比例函数的解析式是y=，
把x=﹣3代入反比例函数的解析式得：y=﹣，
把x=﹣1代入反比例函数的解析式得：y=﹣4，
∵k=4＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴当﹣3＜x＜﹣1时，反比例函数y的取值范围是﹣4＜y＜﹣，
故答案为：﹣4＜y＜﹣．
点评：
本题考查了用待定系数法求出反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质的应用，关键是求出反比例函数的解析式．

15．（3分）（2011•天津）同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为　　．

考点：
列表法与树状图法．
专题：
计算题．
分析：
首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．
解答：
解：列表得：
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
∴一共有36种等可能的结果，
两个骰子的点数相同的有6种情况，
∴两个骰子的点数相同的概率为：=．
故答案为：．
点评：
此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

16．（3分）（2011•南京）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（ 0°＜α＜180°），则∠α=　90°　．

考点：
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：
压轴题．
分析：
首先作出旋转中心，根据多边形的性质即可求解．
解答：
解：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠AOB=90°，
故α=90°．
故答案是：90°．

点评：
本题主要考查了旋转的性质，以及正多边形的性质，正确理解正多边形的性质以及旋转角是解题的关键．

17．（3分）（2013•河西区一模）如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，则∠F=　134　度．

考点：
平行线的性质．
专题：
计算题．
分析：
通过分析条件可知，连接AD，构造四边形ABCD，利用内角和求出∠BAD+∠ADC=146°，再利用四边形ADEF中的内角和关系求出∠F=134°．
解答：
解：连接AD，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
又∵∠C=124°，
∴∠BAD+∠ADC=360°﹣124°﹣90°=146°，
∵CD∥AF，
∴∠CDA=∠DAF，
在四边形ADEF中，
∵∠ADE+∠DAF=360°﹣∠C﹣∠B=360°﹣（124°﹣90°）=146，
∠DAF+∠EDA+∠F+∠E=360°，
∴∠F+∠E=214°，
又∵∠E=80°，
∴∠F=134°．
故答案为134°．

点评：
本题主要考查了平行线的性质得四边形的内角和是360度．解题关键是构造四边形利用已知条件结合四边形内角和求解．

18．（3分）（2013•河西区一模）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段PB与大段AP的长度之比等于大段AP与全段AB的长度之比，此时线段AP叫做线段AB、PB的比例中项，这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．
那么，一条线段的黄金分割点的个数是　2个　；
如图，已知线段AB，要求利用尺规作图的方法，在图中作出线段AB的一个黄金分割点，并简要说明作法（不要求证明）　过点B作BD⊥AB，使BD=AB，连接AD，在AD上截取DE=DB，在线段AB上截取AP=AE，则点P是线段AB的一个黄金分割点　．

考点：
黄金分割．
分析：
根据黄金分割点的概念，则一条线段的黄金分割点有2个；
过点B作BD⊥AB，使BD=AB，连接AD，在AD上截取DE=DB，在线段AB上截取AP=AE，则点P是线段AB的一个黄金分割点．
解答：
解：一条线段的黄金分割点有2个；

如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．

故答案为2个；过点B作BD⊥AB，使BD=AB，连接AD，在AD上截取DE=DB，在线段AB上截取AP=AE，则点P是线段AB的一个黄金分割点．
点评：
本题考查了黄金分割点的定义及作法，难度中等．

三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程））
19．（6分）（2013•河西区一模）解下列不等式组，并把其解集在所给的数轴上表示出来．
．

考点：
解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
分析：
求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
解答：
解：，
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≥2，
∴不等式组的解集为：x≥2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
点评：
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．

20．（8分）（2013•河西区一模）直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．
（Ⅰ）线段AB的长度为　10　；
（Ⅱ）△B′OM的周长为　12　；
（Ⅲ）求点M的坐标．

考点：
一次函数综合题．
分析：
（Ⅰ）首先求出直线与坐标轴交点坐标，进而得出BO，AO的长，再利用勾股定理求出AB的长；
（Ⅱ）根据翻折变换的性质得出BM=B′M，AB=AB′=10，进而求出△B′OM的周长为：MB′+MO+OB′；
（Ⅲ）根据勾股定理直接求出MO的长，即可得出答案．
解答：
解：（Ⅰ）∵直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴y=0时，x=6，则A点坐标为：（6，0），
x=0时，y=8，则B点坐标为：（0，8）；
∴BO=8，AO=6，
∴AB==10；

（Ⅱ）∵将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，
∴BM=B′M，AB=AB′=10，
∴B′M+OM=BO=8，
OB′=AB′﹣OA=10﹣6=4，
∴△B′OM的周长为：MB′+MO+OB′=8+4=12；

（Ⅲ）设MO=x，则MB=MB′=8﹣x，
在Rt△OMB′中，
OM2+OB′2=B′M2，
∴x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3，
故M点坐标为：（0，3）．
故答案为：10；12．
点评：
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用和一次函数与坐标轴交点求法等知识，根据已知得出A，B两点坐标以及利用翻折变换的性质得出BM=B′M，AB=AB′是解题关键．

21．（8分）（2011•南通）某中学学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）参加调查的学生共有　300　人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形的圆心角为　36　度；
（2）将条形图补充完整；
（3）若该校有2000名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有　800　人．

考点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
专题：
压轴题．
分析：
（1）本题需根据喜欢乒乓球的人数和所占的百分比即可求出参加调查的学生总数，用360°乘以喜欢“其他球类”的学生所占的百分比即可得出圆心角的度数．
（2）本题需先求出喜欢足球的学生人数即可将条形图补充完整．
（3）本题需先求出喜欢“篮球”的学生所占的百分比即可得出该校喜欢“篮球”的学生人数．
解答：
解：（1）参加调查的学生共有60÷20%=300人
表示“其他球类”的扇形的圆心角为：360×=36°

（2）如图．

（3）喜欢“篮球”的学生共有：
2000×=800（人）
故答案为：300，36°，800

点评：
本题主要考查了条形图和扇形图，在解题时要注意灵活应用条形图和扇形图之间的关系是本题的关键．

22．（8分）（2012•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AD=8cm，求BE的长．
（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．

考点：
切线的判定；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：
几何综合题．
分析：
（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用射影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE；
（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形．
解答：
解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，
∵点B在圆上，
∴BF是⊙O的切线；

（2）如图1，连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵DE⊥AB
∴AD2=AE•AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，
AE=6.4cm，
∴BE=AB﹣AE=3.6cm；

（3）连接BC．
四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：
∵四边形CBFD为平行四边形，
∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆心O），如图2，
在△OBC和△ODA中，
∵，
∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），
∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，
∴四边形ACBD是正方形．

点评：
本题综合考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

23．（8分）（2012•珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：）

考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：
压轴题；探究型．
分析：
设OC=x，在Rt△AOC中，由于∠ACO=45°，故OA=x，在Rt△BOC中，由于∠BCO=30°，故OB=OC•tan30°=x，再根据AB=OA﹣OB=2即可得出结论．
解答：
解：设OC=x，
在Rt△AOC中，
∵∠ACO=45°，
∴OA=OC=x，
在Rt△BOC中，
∵∠BCO=30°，
∴OB=OC•tan30°=x，
∵AB=OA﹣OB=x﹣x=2，解得x=3+≈3+1.73=4.73≈5米，
∴OC=5米．
答：C处到树干DO的距离CO为5米．
点评：
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，先设出OC的长，利用锐角三角函数的定义及直角三角形的性质用x表示出OA、OB的长是解答此题的关键．

24．（8分）（2013•河西区一模）如图，线段AB，CD分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量y1（升）、y2（升）关于行驶时间x（小时）的函数图象．
（1）分别求y1、y2关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果两车同时从相距300千米的甲、乙两地出发，相向而行，匀速行驶，已知轿车的行驶速度比客车的行驶速度快30千米/小时，且当两车在途中相遇时，它们油箱中所剩余的油量恰好相等，求两车的行驶速度．

考点：
一次函数的应用．
分析：
（1）直接运用待定系数法就可以求出y1、y2关于x的函数解析式；
（2）设客车的速度为xkm/时，则小轿车的速度为（x+30）km/时，先根据相遇问题表示出相遇时间，再由图象可以求出客车和小轿车每小时的耗油量，再根据剩余的油相等建立方程求出其解就可以了．
解答：
解：（1）设线段AB，CD的解析式分别为y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，由图象得
，，
解得：，，
∴y1=﹣15x+60（0≤x≤4），
y2=﹣30x+90（0≤x≤3）
（2）设客车的速度为xkm/时，则小轿车的速度为（x+30）km/时，
所以两车的相遇时间为：，
轿车每小时的耗油量为60÷4=15升，
客车每小时耗油量为90÷3=30升．
∵相遇时，它们油箱中所剩余的油量恰好相等，
∴90﹣30×=60﹣15×，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，
轿车的速度为：60+30=90千米/时．
答：客车60千米/小时，轿车90千米/小时．
点评：
本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，相遇问题的解法的运用，解答本题时先表示出两车相遇的时间利用剩余的油量相等建立分式方程是关键，分式方程要检验是解答的必要过程，学生容易忘记．

25．（10分）（2013•河西区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上（点E与A、C都不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B都不重合）．
（Ⅰ）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE=x，△AEF的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

考点：
一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式；解直角三角形．
分析：
（Ⅰ）根据AE=x得到AF，然后表示出DF，利用三角形的面积列出两个变量之间的关系式即可；
（Ⅱ）根据EF平分三角形ABC的面积列出有关x的一元二次方程，解得有意义即可判定存在．
解答：
解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5
∴三角形ABC的周长为12，又因EF平方三角形ABC的周长，
∴AE+AF=6，而AE=x，
∴AF=6﹣x
过点F作FD⊥AC于D
则
∴
∴DF=
所以y=AE•DF=x•=﹣x2+x（0＜x＜3）

（Ⅱ）这样的EF存在，
S△ABC=BC•AC=×4×3=6
∵EF平分△ABC的面积，
所以﹣x2+x=3
解得：x=
∵0＜x＜3
∴x取
∴6﹣x=＜5
符合题意，所以这样的EF存在，此时AE=．
点评：
本题考查了一元二次方程的应用及根据实际问题列出二次函数关系式，解题的关键是根据已知条件表示出有关的线段的长．

26．（10分）（2013•河西区一模）如图1，抛物线y=x2+x﹣4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C．
（1）求点A的坐标；
（2）当b=0时（如图2），求△ABE与△ACE的面积．
（3）当b＞﹣4时，△ABE与△ACE的面积大小关系如何？为什么？
（4）是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由．

考点：
二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质．
专题：
计算题．
分析：
（1）将x=0，代入抛物线的解析式即可；
（2）当b=0时，直线为y=x，解由y=x和y=x2+x﹣4组成的方程组即可求出B、C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出面积；
（3）当b＞﹣4时，△ABE与△ACE的面积相等，理由是解由直线和抛物线组成的方程组，即可求出交点的坐标，作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，根据点的坐标得到△ABE和△ACE是同底的两个三角形，即可得出答案；
（4）存在这样的b，根据全等三角形的判定证△BEF≌△CEG，推出BE=CE，根据直角三角形的性质，当OE=CE时，△OBC为直角三角形，代入即可求出b的值．
解答：
解：（1）将x=0，代入抛物线的解析式得：y=﹣4，
得点A的坐标为（0，﹣4），
答：点A的坐标为（0，﹣4）．

（2）当b=0时，直线为y=x，
由，
解得，，
∴B、C的坐标分别为B（﹣2，﹣2），C（2，2），
，，
答：△ABE的面积是4，△ACE的面积是4．

（3）当b＞﹣4时，S△ABE=S△ACE，
理由是：由，
解得，，
∴B、C的坐标分别为：
B（﹣，﹣+b），C（，+b），
作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，
则，
而△ABE和△ACE是同底的两个三角形，
∴S△ABE=S△ACE．答：当b＞﹣4时，△ABE与△ACE的面积大小关系是相等．

（4）存在这样的b，
∵BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，
∴△BEF≌△CEG，
∴BE=CE，
即E为BC的中点，
所以当OE=CE时，△OBC为直角三角形，
∵B（﹣，﹣+b），E（0，b），
∴GE=EF=|﹣（+b）+b|==CG
GE=GC=，
∴，而OE=|b|，
∴，
解得b1=4，b2=﹣2，
∴当b=4或﹣2时，△OBC为直角三角形，
答：存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形，b的值是4或﹣2．

点评：
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性强．

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