初二下——二次根式练习题目(含答案).doc

八年级下二次根式.......

一．选择题（共3小题）
1．下列各式中，二次根式的个数为（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列式子：①；②；③﹣；④；⑤，是二次根式的有（　　）
A．①③ B．①③⑤ C．①②③ D．①②③⑤
3．下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥，一定是二次根式的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．解答题（共27小题）
4．（2015春•大石桥市校级月考）求下列式子有意义的x的取值范围
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
5．若下列各式有意义，求字母的取值范围．
（1）；
（2）；
（3）．
6．求下列式子有意义的x的取值范围：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）．
7．（2016春•台州校级月考）若x，y是实数，且y=++，求3的值．
8．已知y=++4，求|y﹣2x|﹣﹣的值．
9．已知m、n是实数，且m=++1，求2m﹣3n的值．
10．已知y=++4，求代数式yx的值．
11．设x、y均为实数，且y=+2，求+的值．
12．（2013春•大观区校级期中）已知实数a、b满足，求的值．
13．（2015春•河北月考）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1） （2） （3） （4） （5）．
14．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？把不是最简二次根式的化简成最简二次根式．
①；②；③；④（x＞2）；⑤﹣x；⑥；⑦（b＞0）；⑧；⑨（a＞b＞0）；⑩；⑪；⑫．
15．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）（a＞0）．
16．（2015春•宁城县期末）．
17．（1）
（2）
（3）．
18．化简与计算：
（1）÷；
（2）3a•（﹣）（b≥0）．
19．（1）计算：•（÷）；
（2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值．
20．化简
（1）
（2）
（3）﹣
（4）
（5）．
21．（2012秋•英德市期末）化简：﹣3．
22．（2012春•槐荫区校级期中）化简：
（1）
（2）
（3）．
23．（2016春•萧山区期中）计算：（1）；
（2）．
24．（2016春•高密市校级月考）计算：
（1）+++|﹣|
（2）﹣+（﹣1）3+
（3）．
25．计算：
（1）4+﹣+4
（2）6﹣2﹣3．
26．（2016春•蚌埠期中）计算：
（1）
（2）．
27．（2016春•杭州期中）计算
（1）+﹣
（2）（3+）（3﹣）+（1+）2．
28．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，求坡面AB的长．

29．（2013春•温州期中）如图，一道斜坡的坡比（BC与AC的长度之比）为1：10，AC=12m，求斜边AB的长（结果保留根号）．

30．如图，一铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD，AD=BC，CD=8m，路基的高度DE=6m，斜坡BC的坡比是1：，求路基下底宽AB的长度．

八年级下二次根式.......
参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）
1．下列各式中，二次根式的个数为（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次根式的定义，形如（其中a≥0）的式子就是二次根式．
【解答】解：⑥，x＞1时，无意义，不是二次根式；
二次根式有：①③⑤⑦共4个．
故选C．
【点评】本题考查了二次根式的定义，理解定义是关键．

2．（2016春•鄂城区期中）下列式子：①；②；③﹣；④；⑤，是二次根式的有（　　）
A．①③ B．①③⑤ C．①②③ D．①②③⑤
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【解答】解：是二次根式的有①③⑤；
②中被开方数小于0无意义，④是三次根式．
故选B．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．

3．（2016春•临沭县校级月考）下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥，一定是二次根式的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．
【解答】解：①当a＜0时，不是二次根式；
②当b+1＜0即b＜﹣1时，不是二次根式；
③能满足被开方数为非负数，故本选项正确；
④能满足被开方数为非负数，故本选项正确；
⑤不一定能满足开方数为负数，不一定二次根式，故本选项错误；
⑥=能满足被开方数为非负数，故本选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义，注意判断二次根式的方法：二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2．

二．解答题（共27小题）
4．求下列式子有意义的x的取值范围
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【分析】（1）（2）（3）根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知；
（4）（5）（6）根据二次根式的意义，被开方数是非负数可知．
【解答】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，
解得x＜．
所以x的取值范围是x＜．
（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；
分母x+2≠0，解得x≠﹣2．
所以x的取值范围是x≤3且x≠﹣2．
（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；
分母x﹣2≠0，解得x≠2．
因为大于或等于3的数中不包含2这个数，
所以x的取值范围是x≥3．
（4）根据题意得：﹣x2≥0，
∵x2≥0，
∴x2=0，
解得x=0．
∴x的取值范围是x=0；
（5）根据题意得：2x2+1≥0，
∵x2≥0，
∴2x2+1＞0，
故x的取值范围是任意实数；
（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥；
2x﹣3≤0，解得x≤．
综上，可知x=．
∴x的取值范围是x=．
【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．

5．（2014春•和平区校级月考）若下列各式有意义，求字母的取值范围．
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；
（2）根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解；
（3）根据非负数的性质解答．
【解答】解：（1）由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1；

（2）由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1；

（3）∵a2≥0，
∴a2+3≥3，
∴字母a的取值范围是全体实数．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

6．（2013春•修水县校级月考）求下列式子有意义的x的取值范围：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）．
【分析】分别根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意得，4﹣3a＞0，
解得a＜；

（2）由题意得，3﹣a≥0，
解得a≤3；

（3）由题意得，3﹣a＞0，
解得a＜3；

（4）由题意得，x+2≥0，
解得x≥﹣2；

（5）由非负数的性质，x为一切实数；

（6）由题意得，2x﹣3≥0且3﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
所以，x=．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

7．若x，y是实数，且y=++，求3的值．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出x、y的值，代入代数式计算即可．
【解答】解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，
解得，x=，
则y=，
3=2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．

8．（2015秋•永登县期中）已知y=++4，求|y﹣2x|﹣﹣的值．
【分析】首先根据被开方数是非负数求得x的值，则y的值即可求得，进而代入代数式求值．
【解答】解：∵，
则x=3．
∴x=3，y=4
当x=3，y=4时，原式=|4﹣6|﹣﹣=﹣8．
【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，正确求得x的值是关键．

9．（2015春•蓟县期中）已知m、n是实数，且m=++1，求2m﹣3n的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出m，n的值，进而代入计算即可求解．
【解答】解：∵m=++1，
∴n﹣5≥0且5﹣n≥0，
解得n=5，
∴m=++1=0+0+1=1，
∴2m﹣3n
=2﹣15
=﹣13．
故2m﹣3n的值是﹣13．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

10．已知y=++4，求代数式yx的值．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出算式，求出x、y的值，计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得x=3，
则y=4，
yx=64．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

11．（2015秋•会宁县期中）设x、y均为实数，且y=+2，求+的值．
【分析】根据二次根式的有意义的条件求出x的值，代入已知式子求出y的值，代入计算即可．
【解答】解：由题意得，x2﹣3≥0，3﹣x2≥0，1﹣x＞0，
解得，x=﹣，
则y=2，
+=﹣﹣=﹣．
【点评】本题考查的是二次根式的有意义的条件和二次根式的计算，掌握二次根式的被开方数是非负数的解题的关键．

12．已知实数a、b满足，求的值．
【分析】根据非负数的性质﹣﹣算术平方根列出关于a、b的方程组，通过解该方程组求得a、b的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：由题意可得，
解得，．
当时a=﹣1、b=﹣3时，原式==．
【点评】本题综合考查了非负数的性质﹣﹣算术平方根、解二元一次方程组、二次根式有意义的条件．式子（a≥0）叫二次根式．二次根式的性质是：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．另外，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．

13．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1） （2） （3） （4） （5）．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：（1）=，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．
（2）=，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它不是最简二次根式；
（4）==，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；
（5）==，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

14．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？把不是最简二次根式的化简成最简二次根式．
①；②；③；④（x＞2）；⑤﹣x；⑥；⑦（b＞0）；⑧；⑨（a＞b＞0）；⑩；⑪；⑫．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：②③⑪是最简二次根式，
①原式==9；
④原式==x﹣2；
⑤原式=﹣x=﹣；
⑥原式=；
⑦=|a|；
⑨=（a﹣b）；
⑩=；
⑫==．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

15．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）（a＞0）．
【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断，根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：（1）=；
（2）=；
（3）是最简二次根式；
（4）=4m；
（5）=（a+3）．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的化简，掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．

16． ．
【分析】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．
【解答】解：原式=3×（﹣）×2
=﹣3××2×
=﹣
=﹣×10
=﹣．
【点评】本题考查了分式的乘除混合运算，正确转换成乘法运算是关键．

17．（2014春•赵县期末）（1）
（2）
（3）．
【分析】（1）先将各二次根式化为最简，再运用乘法分配律进行运算，然后再进行二次根式的加减．
（2）运用平方差公式进行计算即可．
（3）直接进行开方运算即可得出答案．
【解答】解：（1）原式=6×（3﹣5﹣2）=18﹣60﹣12，
=6﹣60，
=12﹣60；

（2）原式=﹣，
=18﹣75，
=﹣57；

（3）==．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算，难度不大，注意在运算时公式的运用，更要细心．

18．化简与计算：
（1）÷；
（2）3a•（﹣）（b≥0）．
【分析】（1）利用二次根式除法运算法则求出即可；
（2）利用二次根式乘法运算法则求出即可．
【解答】解：（1）÷=×=；

（2）3a•（﹣）（b≥0）
=3a×（﹣）
=﹣2a
=﹣12ab．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题关键．

19．（2014春•孝义市期末）（1）计算：•（÷）；
（2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法法则求解；
（2）利用算术平方根和一个数的平方等于0求出x，y，再求的值．
【解答】解：（1）•（÷）
=•
=
=
=；
（2）由+（y﹣）2=0，
可知，=0且（y﹣）2=0，
即，
解得．
所以==．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，非负数的性质及算术平方根，解题的关键是利用算术平方根和一个数的平方等于0求解．

20．（2014春•新疆月考）化简
（1）
（2）
（3）﹣
（4）
（5）．
【分析】（1）（2）（3）根据积的算术平方根的性质进行化简即可；
（4）根据商的算术平方根的性质进行化简即可；
（5）分子、父母同乘﹣，化简即可．
【解答】解：（1）=10；

（2）=3；

（3）﹣=﹣xy；

（4）=；

（5）==﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记积与商的算术平方根的性质是解题的关键．

21．化简：﹣3．
【分析】先分母有理化，再算除法，最后算减法．
【解答】解：原式=﹣3
=﹣3
=3﹣3
=0．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化的应用，关键是能正确分母有理化．

22．（2012春•槐荫区校级期中）化简：
（1）
（2）
（3）．
【分析】（1）将二次根式的被开方数转化为32×3的形式；
（2）将被开方数同时乘以5；
（3）先分母有理化，然后计算．
【解答】解：（1）=3；
（2）==；
（3）==．
【点评】本题考查了分母有理化、二次根式的性质与化简．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．

23．计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先乘方、化简二次根式，再合并同类二次根式．
【解答】解：（1）原式=4=；
（2）原式=6﹣2=6．
【点评】二次根式的加减实际就是合并同类二次根式，一般需要先化为最简二次根式，再合并．

24．（2016春•高密市校级月考）计算：
（1）+++|﹣|
（2）﹣+（﹣1）3+
（3）．
【分析】（1）先去绝对值符号，根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法则进行计算即可；
（2）先根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法则进行计算即可；
（3）先把各式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式=0.5++0.7+
=1.9；

（2）原式=0.1﹣﹣+0
=﹣；

（3）原式=4+3﹣2+4
=7+2．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．

25．（2015春•东城区期末）计算：
（1）4+﹣+4
（2）6﹣2﹣3．
【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并求出即可；
（2）首先化简二次根式，进而合并求出即可．
【解答】解：（1）原式=4+3﹣2+4
=7+2；

（2）原式=6﹣﹣
=6﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

26．（2016春•蚌埠期中）计算：
（1）
（2）．
【分析】（1）先对式子进行化简，再合并同类项即可解答本题；
（2）根据平方差公式对式子进行化简，然后再合并同类项即可解答本题．
【解答】解：（1）
=
=5；
（2）
=
=5﹣4﹣3+2
=0．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

27．计算
（1）+﹣
（2）（3+）（3﹣）+（1+）2．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式把原式展开，合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式=2+4=5；
（2）原式=32﹣（）2+1+2+2=9﹣2+3+2=10+2．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，正确把二次根式化简、掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．

28．（2015•梅列区校级质检）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，求坡面AB的长．

【分析】根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长．
【解答】解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，BC=10m，
∴AC=10m，
∴AB==20m．
答：坡面AB的长为20m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，灵活运用勾股定理是解题的关键．

29．如图，一道斜坡的坡比（BC与AC的长度之比）为1：10，AC=12m，求斜边AB的长（结果保留根号）．

【分析】根据坡比（BC与AC的长度之比）为1：10，AC=12m，可求出BC的长度，然后利用勾股定理求出AB的长度即可．
【解答】解：∵坡比（BC与AC的长度之比）为1：10，AC=12m，
∴BC==，
∴AB===．
即斜边AB的长度为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是掌握坡比的定义并根据坡比求出AC的长度．

30．如图，一铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD，AD=BC，CD=8m，路基的高度DE=6m，斜坡BC的坡比是1：，求路基下底宽AB的长度．

【分析】分别过D、C作梯形的高DE、CF，则DE=CF=6m，EF=DC=8m，由斜坡BC的坡比是1：，根据坡比的概念得到CF：BF=1：，可计算出BF，再根据等腰梯形的性质得AE=BF=6m，利用AB=AE+EF+BF计算即可．
【解答】解：分别过D、C作梯形的高DE、CF，如图
∴DE=CF=6m，EF=DC=8m，
∵斜坡BC的坡比是1：，
∴CF：BF=1：，
∴BF=CF=6m，
又∵四边形为等腰梯形，
∴AE=BF=6m，
∴AB=6m+8m+6m=（12+8）m．
故路基下底宽AB的长度为（12+8）m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，等腰梯形的性质．掌握坡比的概念是解题的关键，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．

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