下集列连通分支及其对连通性的刻画_唐照勇.pdf

文章编号：（）下集列连通分支及其对连通性的刻画唐照勇，姜广浩（扬州大学 广陵学院，江苏 扬州 ；淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 ）摘要：为研究偏序集的连通性，本文通过定义偏序集的下集列，进而给出下集列连通分支的概念。以下集列连通分支为工具刻画了偏序集以及子偏序集的连通性。指出连通关系是一个等价关系，而一个类的本质就是一个下集列连通分支。揭示了下集列连通分支的特征是一个连通分支并。还证明了偏序集可唯一地分解为一些连通分支的不交并。最后探究了连通性在保序同构映射下仍然具有连通性。关键词：偏序集；下集列；下集列连通分支；连通；保序同构映射中图分类号：文献标识码：引言偏序集刻画了事物的顺序特征，连通性是偏序集理论重要研究内容。年，方捷在文献 第八章中阐述了序连通概念，即任意两个元素间可以找到有限多个元素，使得这些元素间是依次可比地。在 年和 年，唐照勇等在文献、中也研究了偏序集的连通性，不过构造的集列中每个步集（除了第一个步集外）既是上升集，也是下降集。在此基础上，本文以下集列为工具，构造下集列连通分支来刻画偏序集的连通性。提供刻画偏序集连通性的新方法及新形式，由此得到许多良好的结论。由此可知，刻画偏序集连通性的途径可以是多样地。预备知识本文会用到序理论中一些基本概念，而这些概念都是大家熟知地，如偏序集、子偏序集、上升集（上集）、下降集（下集）、格、保序同构映射等，故不再列举这些定义。引理设（，）是偏序集，是的非空子集。则是上升（下降）集当且仅当（）其中，。引理设（，）是偏序集，是的非空子集。则有（）（）（）；（）（）（）推论设（，）是偏序集，是的非空子集。若，则有第 卷第期 模糊系统与数学 ，年月 ，收稿日期：；修订日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；淮北师范大学自然科学结余经费资助项目（科研纵向项目）（）作者简介：唐照勇（），男，安徽肥西人，讲师，研究方向：序结构理论，拓扑学，理论；姜广浩（通讯作者）（），男，江苏沛县人，教授，研究方向：拓扑学，理论。；引理设，是偏序集，：是一个保序同构映射当且仅当下面的条件成立：（）是满射；（）（，）（）（）。下集列与下集列连通分支定义（下集列）设（，）是偏序集，。按以下步骤操作：（）记；（）记；（）记；（）记；（）记；（）记；（）记；（）记；无限进行下去，将得到的这些集合有顺序的排成一列、类似于数列，这些按顺序排列的集合我们称为由元素生成的集列，记作。称第个集合为集列的第个步集。注意到第二个步集是一个下降集，故又称此集列 是由元素生成的下集列。易知下集列的每一个偶数步集都是下降集，除第一个步集外，每一个奇数步集都是上升集，并且有（，）成立。定义（下集列连通分支）设（，）是偏序集，是下集列。记，则称 为元素的下集列连通分支。定理设（，）是偏序集，。的充要条件是存在有限个元素，使得 （）或 （）证明因为等价于，使得。记，下面分类讨论。（）当是一个奇数时。易知等价于，使得。同理等价于，使得。如此进行下去，便得到有限个元素，使得 （）当是一个偶数。类似可证，存在有限个元素，使得模糊系统与数学 年 注定理结论中式（）和式（）是可以相互转化的。例如当是一个偶数时，结论（）的形式：也可以写成结论（）的形式：因而无论采用哪种形式来说都不影响定理的正确性。注这些有限个元素，。这由定理的证明过程比较容易知道。刻画连通性下面将利用下集列连通分支来刻画偏序集的连通性。定义（连通）设（，）是偏序集，。若存在一个下集列连通分支，使得，则称和是连通的，记作。也就是说属于同一个下集列连通分支的两个元素是连通的。定理设（，）是偏序集，。若，则。证明假设，则存在，使得 且。任取，下证。依据定理必要条件可知，存在有限个元素，使得 存在有限个元素，使得 存在有限个元素，使得 将这些元素合起来便有个元素使得（相同元素重复计算）在依据定理充分条件可知，故。同理可证，所以上述连通关系构成了偏序集元素间的一个关系，而且这个关系是一个等价关系。定理偏序集的连通关系是一个等价关系。证明设（，）是偏序集，。（）显然关系满足反身性：因为，故；（）关系满足对称性：假设，由连通定义知存在一个下集列连通分支，使得，故；（）关系满足传递性：假设，。由连通定义知存在下集列连通分支，使得，从而，故。所以，即。由近世代数知识可知，一个等价关系必然形成一个分类。必须指出的是上述下集列连通分支就第期唐照勇，姜广浩：下集列连通分支及其对连通性的刻画是分类中的一个类。即有如下结论。定理设（，）是偏序集。若，则（其中 是一个类）。证明设类。（）下证，有。由知，存在一个下集列连通分支，使得，。则，故，。由的任意性可知，。（）另一方面，显然有，。由连通定义知，即。由的任意性可知，。综上可知。此定理揭示了由连通关系产生的类具体的构造，即每一个类都是一个下集列连通分支。这样就不难得到下述定理。定理设（，）是偏序集，。当且仅当。由定理，定理立马可得下述定理。定理设（，）是偏序集，。当且仅当存在在有限个元素，使得 连通子集定义设（，）是偏序集（，）的非空子偏序集。称是的连通子集，如果中任意两个元素在（，）上都是连通的，否则称为不连通子集。特别地，若是连通的，则称偏序集（，）是连通偏序集；若是不连通的，则称偏序集（，）是不连通偏序集。值得注意的是，子偏序集上的连通概念，也是在子偏序集上相应的定义下集列、步集、下集列连通分支等概念基础上的，在这里就不赘述了。定理设（，）是偏序集，。则下集列连通分支 是的连通子集。证明设，即。下证和在子偏序集（，）上也是连通的。由定理必要条件可知，存在有限个元素，使得 由注知（，），再依据定理充分条件知在子偏序集（，）上，之间也是连通的。所以下集列连通分支是的连通子集。由定理和定理可知推论下集列连通分支 是含元的最大连通子集。定理格都是连通偏序集。由此定理可知，格的下集列连通分支只有一个，就是格本身。事实上，任何一个连通偏序集的下集列连通分支都只有一个，就是其本身，反之亦然。下例指出一个事实，偏序集中的两个元素在此偏序集中是连通的，但是在子偏序集中可能是不连通的；反过来，如果两个元素在子偏序集中连通，必然在偏序集中连通。例设（，）是偏序集，其 图如图所示。模糊系统与数学 年图（，）图（，）易得；，；，；，故下集列连通分支，所以（，）是一个连通偏序集。但是子偏序集（，）是不连通的，其中，因为元素和在（，）是不连通的，如图所示。定理设（，）是偏序集，则可以唯一分解为一些下集列连通分支的不交并。证明一方面，取，有，即对于中每个元素，都存在某一个下集列连通分支使得该元素属于这个下集列连通分支；另一方面，设，则由定理可知，即每个元素不能同时属于两个不同的下集列连通分支，也就是说只能属于一个下集列连通分支。综上可知，对于中每个元素有且只能属于一个下集列连通分支。故 定义设是偏序集（，）的非空子集。若，则称是分支并。即分支并既是上升集又是下降集。下述定理揭示了下集列连通分支应该满足的特征。定理设是偏序集（，）的非空子集。则是的下集列连通分支当且仅当既是分支并又是连通子集，简称连通的分支并。证明必要性：设，不妨令，则是的下集列连通分支。由定理可知是连通子集。下证是分支并。设，。则，使得。于是必有（）由此可知是下降集。同理可证是上升集，所以是分支并。必要性得证。充分性：设是一个连通的分支并，。则有，以此类推下去知对任意，都有，从而，即下集列连通分支。下证。反证法：假设，则存在元，使得，但，从而与在偏序集（，）上不连通。但这不可能地，因为是连通子集，所以与在子偏序集（，）上是连通地，进而在偏序集（，）上连通，矛盾，则假设不成立，所以。即是下集列连通分支，充分性得证。定理在保序同构映射下，连通子集的像（原像）也是连通子集。证明一方面，设：是一个保序同构映射。其中是偏序集（，）的非空连通子集，下证像（）是偏序集（，）的连通子集。任取，（），则有唯一元，使得（），（）。由定理可得存在有限个元素第期唐照勇，姜广浩：下集列连通分支及其对连通性的刻画，（，）使得 依据引理知在（）中必存在唯一一些元素（），（），（），（），（）使得（）（）（）（）（）（）（）从而与在（）上连通，故（）是连通子集。另一方面，若设是偏序集（，）的非空连通子集，类似证明可得原像（）是偏序集（，）的连通子集。不难验证在保序同构映射下，上升集的像（原像）也是上升集，下降集的像（原像）也是下降集。再由定理和定理可推得下列结论。推论在保序同构映射下，下集列连通分支的像（原像）也是下集列连通分支。参考文献：唐照勇，陈瑞娟偏序集的连通性和连通分支模糊系统与数学，（）：徐罗山，唐照勇偏序集的内蕴拓扑连通性高校应用数学学报辑，（）：唐照勇，姜广浩偏序集上的强集及其应用模糊系统与数学，（）：方捷格论导引北京：高等教育出版社，郑崇友，樊磊，崔宏斌 与连续格北京：首都师范大学出版社，熊金城点集拓扑讲义（第四版）北京：高等教育出版社，杨子胥近世代数版北京：高等教育出版社，（，；，）：，：；模糊系统与数学 年