“图形变换”凸显“核心素养”——2023年温州市中考数学填空压轴题评析.pdf

“图形变换”凸显“核心素养”2 0 2 3年温州市中考数学填空压轴题评析浙江省温州市第十二中学 朱 光 (邮编:3 2 5 0 0 0)1 试题呈现图1(温州中考第1 6题)图1是4 4方格绘成的七巧板图案,每个小方格的边长为2,现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2),过左侧的三个端点作圆,并在圆内 右 侧 部 分 留 出 矩 形图2C D E F作为题字区域(点A,E,D,B在圆上,点C,F在A B上),形成一幅装饰画,则圆的半径为.若点A,N,M在同一直线上,A BPN,D E=6E F,则题字区域的面积为.2 试题评价2.1 问题设计新颖,聚焦核心知识本题用七巧板图案巧妙构筑了一个数学问题,它融合等腰直角三角形、平行四边形、正方形、相似三角形、圆等基本图形,图形变换自然.第(1)问起点较低,运用了垂径定理、勾股定理和方程思想等核心知识和方法.同时第(1)问为第(2)问做铺垫,两问联系紧密,梯度自然、合理.2.2 猜想和推理的有效结合七巧板由一些特殊几何图形构成,圆和拼成的“房子”具有很多的对称关系,易于学生在直观中发现等量关系.由图形易产生猜想:圆心是否在中间横线上?点A和点B是否在“房子”的上下水平延长线上?点N是否为圆心?猜想是解题的基础,没有猜想的引领,推理往往会迷失方向,同时猜想必须要经过推理论证.本题充分体现猜想验证思想.2.3 在解决问题中凸显核心素养 义务教育数学课程标准(2 0 2 2年版)指出,进一步加强综合与实践,以解决实际问题为重点.本题在解决问题的过程中,凸显了对数学抽象、几何直观、数学运算、推理能力、数学建模等核心素养的考查,展现了丰富的文化内涵和数学应用价值.3 解法展示首先分析图形的特点:七巧板是由特殊几何图形构成的,根据已知小方格的边长为2,各边和各角都是可求的.我们应抓住图形变换后不变的量,并充分利用图形的对称性等特征,求出所有相关的可求的边和角.3.1 求圆的半径分析 要求圆的半径,先要确定圆心.圆心必在弦的中垂线上.思路1 勾股定理+方程思想图3解法1 如图3,连结GH,易证GH=2=G Q,因为过左侧的三个点Q,K,L确定一个圆.QH=HL=4,又NKQ L,所以圆心O在KN上,连接O Q,设设O Q=r.则OH=r-KH=r-2,在R t OHQ中,因为OH2+QH2=Q O2,所以(r-2)2+42=r2,解得:r=5.思路2 相似+方程思想图4解法2 如图4,连结K L,做K L的中垂线交KN于点O,交K L于点U,因为NKQ L,且QH=HL=4,所以点O为圆心.因为KH=2,由勾股定理得K L=25,所以KU=5.易证KHLKU O,所以K OKU=K LKH=5,所以半46中学数学教学2 0 2 4年第1期径K O=5.3.2 求面积分析 在求得半径的基础上,对“点A,N,M在同一直线上”这一关键条件进行深度分析.如图5,可知AN S=AMP,通过先猜后验AN=MN,求得O S是关键.思路1 利用相似(或三角函数)+勾股定理图5解法1 如图5,连结O E,O A,延长O N交A B于点S,交E D于点T.连接AM,因为A BPN,所以A BO T,所以A S=S B.因为点A,N,M在同一直线 上,所 以AN S=AMP,所以t a n AN S=t a n AMP=2,所以A S=2N S.设N S=a,则A S=2a,因为KN=2+4=6,所以O N=6-5=1,在R t A O S中,A O2=O S2+A S2,即52=(1+a)2+(2a)2,解得:a=2或a=-1 25(舍去).所以O S=3.因为D E=6E F,设E F=S T=x,则E T=12D E=62x,在R t O E T中O E2=O T2+T E2,即52=(3+x)2+(62x)2,整理得5x2+1 2x-3 2=0,即(x+4)(5x-8)=0,解得:x=85或x=-4(舍去),所以题字区域的面积为6x2=6 42 56.思路2 利用图形的对称性图6解法2 如图6,连结MR,交KN于点W.易证点Q,W,P在同一直线上.连结AM,如图7,在矩形MP-NW中,设WP与MN交于点U,连接O U,由解法1知图7OW=O N=1,由三线合一得WU O=NU O,所以点O到WP与MN的距离相等,即QW与AN所在弦的弦心距相等,从而得半弦也相等,易证QW=AN=25=MN,又因为AN S=AMP,所以R t AN SR tNMP,得N S=MP=2,后面同解法1.图8解法3 如图8,连结MB,由解法2得QW=AN=25=MN,又因为A S=B S,所以N S是AMB的中位线,所以N SMB,因为N SA B,所以MBA B,故点P在MB上,易得得N S=MP=2,后面同解法1.图9解法4 由解法3知MBA B,易知点L,M,B三 点 共 线,如 图9,连 结Q A,因为Q LA B,所以Q L B=B=9 0,因为A,Q,L,B由四点共圆,所以L Q A=9 0,且所以四边形A Q L B为矩形,所以A B=Q L.又因为O SA B,K SQ L,所以O S=OH=3,后面同解法1.4 小结本题解答思路丰富,还有很多解法不一一呈现.值得注意的是,有不少学生在求解第二空的过程中默认了L,P,B三点共线,或者默认点A在“房子”的上边所在的直线上.这是不严谨的,这样明显降低了求解的难度,存在运气成分.事实上,L,P,B三点共线与条件点A,N,M在同一直线上和已知线段的长度是密切相关的.(收稿日期:2 0 2 3-1 0-2 0)562 0 2 4年第1期中学数学教学