二次函数整章教案.doc

二次函数
教学目标
1、经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。
2、会用二次函数的定义解决简单的问题。
教学难点
会用二次函数的定义解决简单的问题
教学过程
（一）情境导入
y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100 . s= -a²+30a .
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c的函数叫做x的二次函数.
(二)实践与探索1
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t²

(5)y=(x+3)²-x² (6)v=10πr² (7) y=x²+x³+25 (8)y=2²+2x

2、圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm².
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少？

3、已知二次函数 ，当x=1时，y=0，当x=4时，y=-21，求b,c的值。
（三）实践与探索2、已知函数
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
（2）k为何值时，y是x的二次函数？
2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？
3、设人民币一年教育储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
（四）小结与作业
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.

二次函数的图像和性质（1）
教学目标
1、会用列表描点法画二次函数的图像；
2、理解与二次函数的有关概念（抛物线、对称轴、顶点等 ），体会研究问题的数学途径和方法。
教学难点
会画二次函数的图像和理解相关概念是本节课的教学重点也是难点；对二次函数研究的途径和方法的体悟也是本节课的难点
教学过程
自学自检
1.一次函数的图像是一条 ，反比例函数的图像叫做 线.
2.一次函数经过点（0， ）、
（ ，0）、（2， ）、（ ，-2）.
在下列平面直角坐标系中画出它的图像：

3.形如 的函数叫做二次函数.
4.当= 时，函数为二次函数.
5.某超市1月份的营业额为100万元,2、3月份营业额的月平均增长率为，求第一季度
营业额（万元）与的函数关系式是 .

课堂助学
一、 自主探索：
1.画二次函数的图像：
⑴列表：

…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…

…

…

⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成一条平滑的曲线：
2.观察图像:
⑴这条曲线叫做 线.
⑵它是 对称图形，有 条对称轴，对称轴是 .
⑶它与对称轴的交点叫做 ，顶点坐标是（ ），
顶点是最 点.当= 时，y有最 值是 .
⑷该图像开口向 ；在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
⑸图象与轴有 个交点，交点坐标是（ ）.
3.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像：①②

…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…

…

…

…

…
观察图像指出它们的共同点和不同点：
⑴共同点： .
⑵①的图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值. 在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
⑶②图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
⑷ 的图像与 的图像关于 成 对称.

二、探究归纳：
1.二次函数的图像是一条 ，它关于 对称；顶点坐标是 ，
说明当= 时，有最值是 .
2.当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
3.当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
三、典型例题：
例1、已知=是的二次函数.
⑴当取何值时，该二次函数的图像开口向上？

⑵在上述条件下：①当= 时，= .
②当=8时，= .
③当-2<<3时,求y的取值范围是 .
④当4<<1时,求x的取值范围是 .

二次函数的图像与性质（2）
教学目标
探索与函数图像之间的关系
教学难点
探索与函数图像之间的关系，寻找此类图像变化的规律。
教学过程
（一）操作探究：
在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．
解 列表．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x2
…

y=2x2+2

描点、连线，画出这两个函数的图象，如下图所示．

探索 ： 观察这两个函数，它们的开口
方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？
你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？
（二）例题分析
例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．
．

回顾与反思
1、抛物线是由抛物线向 方向平移 个 单位得到的．
2、抛物线和抛物线分别是由抛物线向 、向 平
移 个单位得到的．
3、如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？

例2．一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．试着说出一些该函数的其他性质。

回顾与反思 ： （a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性

（三）巩固练习：
1． 抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
2． 函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
3． 若二次函数的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？

二次函数的图像与性质（3）
教学目标
1．能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。
2．经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
教学难点
理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系。
教学过程
一、提出问题
1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－2的图象，并回答：
(1)两条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y＝ (x－3)2的图象与二次函数y＝x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?
二、分析问题，解决问题
问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?
(画出二次函数y＝ (x－3)2和二次函数y＝x2的图象，并加以观察)
问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－3)2的图象吗?
教学要点
1．让学生完成下表填空。
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2

y＝ (x－3)2

2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。
问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?
教学要点
1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝x2

y＝ (x－3)2

2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝ (x－3)2与y＝x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝ (x一3)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移3个单位得到的，它的对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，0)。
问题4：你可以由函数y＝x2的性质，得到函数y＝ (x－3)2的性质吗?
教学要点
1.教师引导学生回顾二次函数y＝x2的性质，并观察二次函数y＝ (x－3)2的图象；
2．让学生完成以下填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。
三、做一做
问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝ (x＋3)2与函数y＝x2的图象，并比较它们的联系和区别吗?
教学要点
1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
2．请两位同学上台板演，教师讲评；
3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝ (x＋3)2与函数y＝x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝ (x＋3)2的图象可以看作是将函数y＝x2的图象向左平移3个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，0)。
问题6；你能由函数y＝x2的性质，得到函数y＝ (x＋3)2的性质吗?
教学要点
让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜－3时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－3时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一3时，函数取得最小值，最小值y＝0。
问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2图象与函数y＝－x2的图象有何关系?
(函数y＝－(x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移2个单位得到的。)
问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
(函数y＝－(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0))。
问题9：你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗?
教学要点
让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。
四、课堂练习：　
1、抛物线y=3(x+2)2的开口方向　　　　、对称轴　　　　　顶点坐标　　　　
2、抛物线y = - 2(x-3)2的开口向 ，对称轴是 ,顶点坐标　
3、抛物线y=-(x+2)2图象性质：
当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；
当x 时，函数取得最 值，最 y= ．
4、函数y=2(x-3)2的下列性质，其中正确的 ( )
A、 y随x的增大而减小； B、 y随x的增大而增大；
C、当x<3时，y随x的增大而增大；当x>3时，y随x的增大而减小；
D、当x<3时，y随x的增大而减小；当x>3时，y随 x的增大而增大。
5、要从抛物线y=(x-3)2得到y=x2的图象，则抛物线y=(x-3)2必须（ ）
A、向上平移3个单位 B、向下平移3个单位 C、向左平移3个单位 D、向右平移3个单位
6、抛物线y=2(x-3)2向右平移4个单位得到抛物线________。顶点坐标从　　____移到_________
五、小结：
1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别?
2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗?
3．谈谈本节课的收获和体会。

二次函数的图像和性质（4）
教学目标
1．能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；
2．会利用对称性画出二次函数的图象.
3．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得教学数学的经验，感受成功的体验．
教学难点
能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；会利用对称性画出二次函数的图象。
教学过程
[新课引入]
我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？
[例题精讲]
例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
解

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．
由对称性列表：
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…

…
-10
0
6
8
6
0
-10
…
描点、连线，
回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到．
（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
探索 对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．
例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．
解 ，
则抛物线的顶点坐标是．当顶点在x轴上时，有 ，
解得 ． 当顶点在y轴上时，有 ，解得 或．
所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是 –2，4，8．
[课堂小结]
在用公式法求出抛物线顶点的横坐标，如何求顶点的纵坐标？有两种方法：一是通过顶点纵坐标的公式，二是把求出的顶点的横坐标代入解析式
，两种方法可根据具体情况灵活选择，尽量是计算简化。

用待定系数法确定二次函数表达式
教学目标
1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求二次函数表达式的方法；
2．能灵活的根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化；
3．从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．
教学重点 会用待定系数法求二次函数的表达式．
教学难点 会选用适当方法求二次函数的表达式．
教学过程
知识回顾
1．二次函数关系式有哪几种表达方式？
2．还记得我们是怎样求一次函数和反比例函数的表达式吗？
活动一
由一般式确定二次函数的表达式．
例1　已知二次函数的图像经过点,求的值．
例2　已知二次函数的图像经过点和,求的值．
例3 已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的表达式．
方法总结
例4 对比三个例题的区别和联系，你能总结用一般式确定二次函数表达式的方法吗？

活动二
由顶点式确定二次函数的表达式．
例5 已知抛物线的顶点为，与y轴交点为，求抛物线的表达式．
课堂练习
根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的解析式：
1．已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的表达式．
2．已知二次函数的图像经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的表达式．
拓展延伸：如图所示，已知抛物线的对称轴是过（3，0）的直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这个抛物线的表达式．

课堂小结
你学到哪些二次函数表达式的求法？

二次函数与一元二次方程（1）
教学目标
1．会把一元二次方程ax2＋bx＋c=0问题转化为相应的二次函数y=ax2＋bx＋c的相关问题。
2．能根据二次函数的图像与x轴的位置关系判断相应的一元二次方程的根的情况，能根据一元二次方程的根的情况判断相应的二次函数图像与x轴的交点个数。
教学难点
应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．
教学过程
一、实例讲解：
打高尔夫球时 ，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）满足二次函数 ：y= -5x2+20x
这个球飞行的水平距离最远是多少米？你有几种求解方法?与同伴进行交流.

二、探究：
在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
归纳:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

三、分析例题：
例1求二次函数y=x2－3x+2与x轴的交点A、B的坐标。

例2抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x轴下方的条件是（ ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
例3已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公共点，求k的取值范围.

例4二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b有一个公共点（即相切），求出b的值.

例5有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 ．

四、随堂练习：
1、方程 的根是 ；则函数 的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 ．
2、方程的根是 ；则函数 的图象与x轴的交点有 个，其坐标是
3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ）

二次函数的应用（1）
教学目标：
1.会运用二次函数的有关知识求实际问题中的最大值或最小值；
2.能根据具体问题中的数量关系，用相关的二次函数知识解决实际问题
教学重点：运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值
教学难点：如何根据实际情况把现实生活中的相关问题转化为二次函数问题
教学程序设计：
一、 情境创设
情境一：
用16m长的篱笆围成矩形的养兔场饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围最大？
情境二：
如图，矩形养兔场的一面靠墙（墙有足够长），另外三面所围的竹篱笆的总长度是16米.
应如何修建，能使养兔场面积最大？

二、探索活动：
在情境一中，
（1）如何使小兔的活动范围最大？
（2）如何建立题目中养兔场的面积与矩形边长的数量关系？
（3）你会求养兔场面积的最大值吗？
（4）用二次函数求实际问题的最值一般要经历哪些步骤？
活动二：
在情境二中，墙有足够长起着怎样的作用？

探索的图象及其性质。
1．讨论的图象及性质。
2．运用配方法，找一找的顶点坐标公式和对称轴。
3．讨论的图象性质
例1：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100～150 稻田.预计原360亩稻田今年每亩收益440元，已知每新增稻田1亩，今年每亩的收益减少2元.
试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？
三、例题教学
解：设该种粮大户今年多承租x亩稻田，总收益为y元.
则y＝440×360＋(440－2x)·x＝－2x2＋440x＋158400＝－2(x－110)2＋182600，
∵－2＜0，
∴当x＝110时，y有最大值为182600
即该种粮要多种110亩水稻，才能使今年的总收益最大，最大收益为182600元.
例2：某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？
解：设提高x个档次.则利润y＝(8＋2x)(60－3x) ＝－6x2＋96x＋480＝－6(x－8)2＋864
∵－6＜0，∴当x＝8时，y有最大值为864. 即生产第九个档次的产品利润最大
师生共同总结.
一般步骤：
1.理解问题；
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系；
3.用数学的方式表示出它们之间的关系；
4.做数学求解；
5.检验结果的合理性
四、课堂小结
本节课学到了什么？
本节课主要教学如何用二次函数来解决生活中出现的一些最优化的问题，如求最好、最近、最多等.解决此类问题的关键在于把现实问题转化为数学中的二次函数，也就是根据题意写出正确的函数关系式，然后运用配方法或者公式法来解出函数的最大值或最小值

二次函数的应用（2）
教学目标：
1.能根据揭示实际问题中数量变化关系的图象特征，用相关的二次函数知识解决实际问题；
2.会用二次函数的相关知识解决现实生活中一些有关抛物线的问题
教学重点：运用二次函数的相关知识解决现实生活中一些有关抛物线的问题
教学难点：揭示实际问题中数量变化关系的图象特征
教学程序设计：
二、 情境创设
打高尔夫球时 ，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）满足二次函数：y＝－5x2＋20x.
（1）这个球飞行的水平距离最远是多少米？
（2）这个球飞行的最大高度是多少米？

二、探索活动
活动：
（1）如何求这个球飞行时最远的水平距离？
（2）如何求出飞行路线与x轴的两个交点坐标呢？
（3）如何求这个球飞行的最大高度？
（4）如何求出抛物线的顶点坐标？
三、例题教学
例1：某喷灌设备的喷头B高出地面1.2m，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y=a（x-4）2+2.求水流落地点D与喷头底部A的距离（精确到0.1m）

例2：如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．

设计意图：例1与例2是两个基本的二次函数的图象问题.例1相对简单，关键是确定二次函数的解析式，并求出二次函数的图象上某点的坐标去解决；而例2有所深化，要综合分析题意后思考解决.
四、课堂小结
本节课学到了什么？
本节课主要探索由“形（函数图象）”到“数（函数关系式）”的实际问题，如喷泉、喷灌等喷出的抛物线形水流及体育运动中一些呈抛物线状的运动轨迹等.
确定这些“隐性”函数图象对应的函数关系式，并进行有效调控，可以使有关实际问题获得理想的解决.