白屋顶计划数学建模.doc

参赛队号 # 1655
第五届“认证杯”数学中国
数学建模网络挑战赛
承 诺 书

我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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我们的参赛队号为：1655
参赛队员 (签名) ：
队员1：黄飞畅

队员2：苏漫芬

队员3：高素扬

参赛队教练员 (签名)： 王辉坚

参赛队伍组别：专科组

第五届“认证杯”数学中国
数学建模网络挑战赛
编 号 专 用 页

参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：

1655

竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：

竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

2012年第五届“认证杯”数学中国
数学建模网络挑战赛

题 目 ：白屋顶计划
关 键 词 热岛效应 白屋顶计划 拟合 日照量 温度 节能
环保 层次分析法 线性规划
摘 要：

随着世界性城市化 、工业化进程的加快 ，热岛效应越来越明显，热岛的强度也越来越大，极大地影响着城市生态环境和城市居民的日常生活，引起了各国政府的高度重视和广泛关注 。鉴于此，本文通过收集相关资料，利用综合评价与预测的方法讨论了白色屋顶计划的优劣性，我们将重点讨论以下三方面的问题：问题一，采用拟合的方法得出日照量与温度之间的关系图；问题二，采用层次分析法得出白色屋顶减少日照量的效果；问题三，对通过搭建白屋顶，减小对阳光的吸收率，从而使城市的气温降低，进而达到节能和环保的效果进行评估。利用所建立的模型，可得知建造白屋顶的材料成本和降低温度分别是主要的节能因子和环保因子，更重要的是，利用我们的模型可以对“白屋顶计划”对降低城市热岛效应所起到的作用进行综合评价。

参赛密码
（由组委会填写）
参赛队号 1655

所选题目 B

一、问题重述
夏天的城市气温往往格外炎热，这被称为热岛效应。有专家提出，将城市建筑的屋顶漆成白色，减小对阳光的吸收率，可以使城市的气温降低，进而达到节能和环保的效果。包括美国能源部长、诺贝尔物理学奖获得者朱棣文在内的一些专家都对这个方案表示支持，但同时也有一些反对意见。请你建立合理的数学模型，评估“白屋顶计划”对降低城市热岛效应起到的作用。鉴于此，本文通过收集相关资料，利用综合评价与预测的方法讨论了白色屋顶计划的优劣性，我们将重点讨论以下三方面的问题：
问题一：探讨日照量与温度之间的关系
问题二：“白屋顶计划”对减少阳光吸收率的作用
问题三：综合评价“白屋顶计划”在环保，节能方面的效果
二、符号说明及名词定义
x
北京年平均日照量变化率
y
北京年平均温度
X1
白色屋顶能将空调费用降低20%
X2
白色屋顶比深色屋顶的材料成本要低15%
X3
用电量比去年同期少了10%
X4
白色屋顶可使一座建筑节能20%
X5
白色屋顶能使温度降低24%
Z
白屋顶计划
表1
三、模型假设
（1）所收集到的官方数据有效；
（2）静风或微风，天气晴朗少云或无云；
（3）大气层结构、气压场稳定，气压梯度小；
（4）无自动对流上升运动
四、问题分析
4.1 分析问题1
对问题1进行分析可知，温度的变化受到多种因素的影响，比如城市中汽车二氧化碳的排放量、城市中绿化面积量等影响，但最重要的是日照量。当然，每个因素并不是孤立存在的，切一个因素要受到其他因素的影响。所以许多因素都处于动态变化之中，它们对空气中温度的影响是相当模糊的，这表明了温度系统具有明显的灰色性。整个系统包含了许多因素，而且各因素间的相互关联、相互发展的，故就影响温度最重要的因子——日照量来预测评估日照量和温度之间的关系。查找了1960-2008年的日照量的数值（见附录图5）和1960-2008年的年平均气温（见附录图6），通过拟合的方法预算出1993-2000年中每个年份的值，进而预测北京城市1990-2000年日照量与温度之间的关系。

4.2分析问题2
“白屋顶”计划对阳光的吸收率的作用主要体现在建立了白屋顶后，屋内的温度会发生什么变化，即就是把问题“白屋顶”对阳光吸收率问题转化为研究有没有建立白屋顶屋内温度的对比问题。例如，房子的温度已高达摄氏华氏46度。但是建立白屋顶后，即使室外超过38度的时候，室内却仍不到27度。这就是白屋顶的作用，也就是白屋顶对阳光有着比较好的吸收率。专家还表示白屋顶不仅节能，还能降温。而屋顶降温的原理很简单：白色物体比深色物体吸热少。据《纽约时报》消息表明，在炎炎的夏日，白色屋顶能将空调费用降低20%。能源消耗的减少意味着二氧化碳排放量的降低，同时，由于材质不同，白色屋顶比深色的成本要低15%。而且电量比去年同期少了10%。获得诺贝尔物理学奖的朱棣文认为屋顶降温可以在20年内减少240亿吨二氧化碳排放。据《纽约时报》报道，白色屋顶在热带地区已经有几百年的历史了。20世纪中叶之前没有空调，南佛罗里达的人们普遍使用白色或者奶油色的锡屋顶。随着空调而来的是深色屋顶，其主要成分是沥青。这些材料会吸收90%的太阳能热量，而白色屋顶只吸收10-15%。资料还显示：瓦片和沥青的使用年限一般是20到25年。阿克巴瑞表示，如果每年全美有5％的屋顶更新换代，那么20年内美国将实现全部使用降温屋顶。又《环境研究快报》本周在线发表了美国宇航局和哥伦比亚大学地球研究所的节能研究人员长期对纽约市白色屋顶材料的性能研究结果。
白色屋顶和深色屋顶温度对比

图1
该油漆成本只要50美分每平方英尺，而专业的合成材料大约需要15-28美元每平方英尺。加芬博士说“毫无疑问，我们需要增加地球的反照率以应对气候变化，一些科学家正在考虑修补与地球的大气层做到这一点，不过我们可以从一些更容易的方法入手--比如白色的屋顶。”综上所述，我们可以得出白屋顶对阳光的反射率有着重要的作用，也就是说“白屋顶”计划在一定程度上可以减少吸收率，进而达到降温的作用。
4.3 结合分析，建立如下层次结构
白色屋顶影响因素
环保因素
节能因素
降低温度
空调费用降低
降低成本
建筑节能
降低用电量

图2
五、模型建立与求解
5.1问题一的模型
通过分析相关数据，以时间为自变量日照时数变化率为决策变量建立模型，接着用拟合的方法得出平均温度与平均日照量变化率之间的图像再而得出“白屋顶计划”对减少阳光吸收率的作用。
5.1.1求解模型
由图二北京1960-2008年的年平均气温，求得1993-2000年的年平均气温分别为：11.487 ，11.526 ，11.565 ，11.604 ，11.643 ，11.682 ，11.721，11.760，
2001-2003年的年平均温度为：11.779 ，11.838 ，11.877
由图一 北京1960-2000年之间的日照时数变化率，如下图表用拟合的方法用matlab算法（见附录1）求得1993-2000年日照时数变化率与年份之间的图像，进而求出日照时数变化率的值分别为：
3.3523 ，3.3480 ，3.3438 ，3.3395 ，3.3353 ，3.3310 ，3.3268 ，3.3225，

图3

3、由1、2就可以列出1993-2000年平均温度

1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
年平均温度 （）

11.487

11.526

11.565

11.604

11.643

11.682

11.721

11.760
年平均日照量变化率（%）

3.3523

3.3480

3.3438

3.3395

3.3353

3.3310

3.3268

3.3225

表2
通过拟合的方法得出平均温度与平均日照量变化率之间的图像：

图4
由上图可知温度与日照量变化率近似成反比。
5.1.2问题3的求解
针对问题三对环保因素的1个指标和节能因素的4个指标进行分析从而求出环保因子和节能因子
环保因素A
X5
节能因素B
X1
X2
X3
X4
X5
1
X1
1
4/3
2
1

X2
3/4
1
3/2
1

X3
1/2
2/3
1
1/2

X4
1
1
2
1
表3
通过计算得最大特征值R（A）=1，RI(A)=0<0.1，R（B）=4，RI(B)=0<0.1。
所以认为构建的判断矩阵 A，B都具有满意一致性。故A，B的特征向量分别为W（A）=[1]，W(B)=[0,4,0,0]为权值向量。因此建造白屋顶的材料成本和降低温度分别是主要的节能因子和环保因子。

六、模型检验
模型一中将2001-2003年日照时数变化率的三个已知值：3.3183 ，3.3140，3.3098与同年拟合图像中日照时数变化率的值进行比较，验证该模拟结果是合理的。
七、模型评价
本文基于采用拟合的方法得出日照量与温度之间的关系图，采用层次分析法得出白色屋顶减少日照量的效果，层次分析法得知建造白屋顶材料的成本和气温降低分别是主要的节能因子和环保因子。同时，建立一个模糊数学综合评判模型用综合评价法对“白屋顶计划”对降低城市热岛效应起到的作用进行综合评价。1993-2000年的北京市气温及日照量变化率的实例分析，表明了模型的适用性。温度与日照量变化率近似成反比，“白屋顶”计划在一定程度上可以减少吸收率。建造白屋顶的材料成本和降低温度分别是主要的节能因子和环保因子。
所以，“白屋顶”计划在一定程度上可以减少吸收率，进而达到降温的作用。但是该模型是在天气晴朗少云或无云的条件下建立起来的，日常生活中云量是一直变化的，因此，还要对云量进行考虑，建出更优的模型。
八、参考文献
[ 1 ]郑祚芳，北京1960—2008年气候变暖及极端气候指数变化特征， ，2012年4月15日
[ 2 ] 鲍雅芳，美科学家发现城市热岛效应对全球变暖影响不大，

附录
图5（参考文献[ 1 ]）：

图6：

1）拟合程序
x=[1960 1970 1980 1990];
y=[4.605 1.43 4.11 3.57];
p1=polyfit(x,y,1);
p2=polyfit(x,y,2);
p3=polyfit(x,y,3);
disp('一次拟合曲线'),p1
disp('二次拟合曲线'),p2
disp('三次拟合曲线'),p3
x1=1993:2008;
y1=polyval(p1,x1);
y2=polyval(p2,x1);
y3=polyval(p3,x1);
plot(x,y,'rp',x1,y1,'--',x1,y2,'k-.',x1,y3);
legend('拟合点','一次拟合点','二次拟合点','三次拟合点')
x1960=[1960 1970 1980 1990];
y1960=[4.605 1.43 4.11 3.57];
a=polyfit(x1960,y1960,1);
y(1993:1:2000)=polyval(a,(1993:1:2000))

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