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课时知能训练
一、选择题
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( )
A. B.
C.或 D.或
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60° C．45° D．30°
3．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．△ABC的形状不确定
图3－7－2
4．(2011·天津高考)如图3－7－2所示，△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为( )
A. B.
C. D.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a与b大小不能确定
二、填空题
6．(2011·北京高考)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，则a＝________.
7．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________.
8．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若a＝2，A＝，则△ABC面积的最大值为________．
三、解答题
9．(2011·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin(A＋)＝2cos A，求A的值；
(2)若cos A＝，b＝3c，求sin C的值．
10．(2012·济南调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
11．(2011·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acos A＝ccos B＋bcos C.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝1，cos B＋cos C＝，求边c的值．
答案及解析
1．【解析】 由余弦定理，cos B＝，
由a2＋c2－b2＝ac，∴cos B＝，
又0＜B＜π，∴B＝.
【答案】 A
2．【解析】 S△ABC＝×3×4sin C＝3，∴sin C＝.
∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°.
【答案】 B
3．【解析】 由sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，
得a∶b∶c＝5∶11∶13，
不妨令a＝5，b＝11，c＝13.
∵c2＝169，a2＋b2＝52＋112＝146，∴c2＞a2＋b2，
根据余弦定理，易知△ABC为钝角三角形．
【答案】 C
4．【解析】 设AB＝a，∴AD＝a，BD＝a，BC＝2BD＝a，
cos A＝＝＝，
∴sin A＝＝.
由正弦定理知sin C＝·sin A＝×＝.
【答案】 D
5．【解析】 ∵∠C＝120°，c＝a，
∴由余弦定理，(a)2＝a2＋b2－2abcos 120°，
因此ab＝a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，
∴a－b＞0，故a＞b.
【答案】 A
6．【解析】 由正弦定理，＝，得a＝＝.
【答案】
7．【解析】 在△ABC中，A＋B＋C＝π，且A＋C＝2B，
∴3B＝π，B＝，
由正弦定理，＝，∴sin A＝＝.
【答案】
8．【解析】 由余弦定理知，22＝b2＋c2－bc，即b2＋c2＝bc＋4，
∴2bc≤bc＋4，∴bc≤4，
∴△ABC的面积S＝bcsin ＝bc≤.
【答案】
9．【解】 (1)由题设知sin Acos ＋cos Asin ＝2cos A，
从而sin A＝cos A，
∴cos A≠0，tan A＝，
又0＜A＜π，所以A＝.
(2)由cos A＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccos A，
得a2＝b2－c2.
故△ABC是直角三角形，且B＝.
所以sin C＝cos A＝.
10．【解】 (1)由cos 2C＝－，得1－2sin2C＝－，
∴sin2C＝，又0＜C＜π，∴sin C＝.
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，
由正弦定理＝，得c＝4.
由cos 2C＝2cos2C－1＝－及0＜C＜π，
得cos C＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2±b－12＝0，
解得b＝或2.
所以b＝，c＝4或b＝2，c＝4.
11．【解】 (1)由3acos A＝c·cos B＋b·cos C及正弦定理，得3sin Acos A＝sin C·cos B＋sin B·cos C＝sin(B＋C)，
∵B＋C＝π－A，且sin A≠0，
∴3cos A·sin A＝sin A，则cos A＝.
(2)由cos A＝得sin A＝，
则cos B＝－cos(A＋C)＝－cos C＋sin C，
代入cos B＋cos C＝，得cos C＋sin C＝，
从而得sin(C＋φ)＝1，
其中sin φ＝，cos φ＝，0＜φ＜，
则C＋φ＝，于是sin C＝.
由正弦定理得c＝＝.
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