2015清华大学自主招生试题(含答案).doc

2015清华大学自主招生
一、 选择题
1.设复数z=cos+isin，则=（        ）
(A)0 (B)1 (C) (D)
2.设数列为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+q>k+l”是“”的( )条件
(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要
3.设A、B是抛物线y=上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB,则( )
(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥2
(C)直线AB过抛物线y=的焦点 (D)O到直线AB的距离小于等于1
4.设函数的定义域为(-1,1)，且满足：①>0,x∈(-1,0)；②+=，x、y∈(-1,1)，则为
(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数
5.如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)−kx有（        ）
(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点
6.△ABC的三边分别为、b、c．若c=2，∠C=，且sinC+sin(B−A)−2sin2A=0,则有（    ）
(A)b=2 (B)△ABC的周长为2+2 (C)△ABC的面积为(D)△ABC的外接圆半径为
7.设函数，则（        ）
(A)有极小值，但无最小值 (B) 有极大值，但无最大值
(C)若方程=b恰有一个实根，则b> (D)若方程=b恰有三个不同实根，则0<b<
8.已知A={(x,y)∣}，B={(x,y)∣，已知A∩B={(),()}，则（        ）
(A)0<<2 (B)
(C)=，=b (D)=
9.已知非负实数x,y,z满足+2z=3，则5x+4y+3z的最小值为（        ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
10.设数列{}的前n项和为，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得=，则（        ）
（A）{}可能为等差数列 （B）{}可能为等比数列
（C）{}的任意一项均可写成{}的两项之差(D)对任意正整数n，总存在正整数m，使得=
11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（      ）
(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁
12.长方体ABCD−中，AB=2，AD=A=1，则A到平面BD的距离为（     ）
(A) (B) (C) (D)
13.设不等式组所表示的区域为D，其面积为S，则（        ）
(A)若S=4，则k的值唯一 (B)若S=，则k的值有2个
(C)若D为三角形，则0<k≤ (D)若D为五边形，则k>4
14.△ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则=（        ）
(A)0 (B)−15 (C)− (D)−
15.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A−B)=0.2，则（         ）
(A)P(A)=0.4 (B)P(B−A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.9
16.过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（        ）
(A)最小值为 (B)最小值为 (C)最大值为 (D最大值为
17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（        ）
(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种
18.已知存在实数r，使得圆周上恰好有n个整点，则n可以等于（        ）
(A)4 (B)6 (C)8 (D)12
19.设复数z满足2|z|≤|z−1|，则（        ）
(A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为 (C)z的虚部的最大值为 (D)z的实部的最大值为
20.设m,n是大于零的实数，=(mcosα,msinα)，=(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量=(,),=(,)，记θ=α−β，则（        ）
(A)·= (B)= (C) (D)
21.设数列{}满足：=6，，则（        ）
(A)∀n∈N∗,< (B)∀n∈N∗,≠2015
(C)∃n∈N∗,为完全平方数 (D)∃n∈N∗, 为完全立方数
22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（        ）
（A）ρ= （B）ρ= （C）ρ= （D）ρ=
23.设函数，则（        ）
（A）≤ (B)||≤5|x| (C)曲线y=存在对称轴 (D)曲线y=存在对称中心
24.△ABC的三边分别为,b,c，若△ABC为锐角三角形，则（        ）
(A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C) (D)
25.设函数的定义域是(−1,1)，若==1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（  ）
(A)>0，x∈(−δ,δ) (B)在(−δ,δ)上单调递增
(C)>1，x∈(0,δ) (D)>1，x∈(−δ,0)
26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y轴上的任意n个不同的点(k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点,，使得|sin∠AB−sin∠AB|≤，则n的最小值为（   ）
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
27.设非负实数x,y满足2x+y=1，则x+的（    ）
(A)最小值为 (B)最小值为 (C)最大值为1 (D)最大值为
28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（        ）
(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（        ）
(A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个
30.设曲线L的方程为=0，则（        ）
(A)L是轴对称图形 (B)L是中心对称图形
(C)L⊂{(x,y)∣≤1} (D)L⊂{(x,y)∣−≤y≤}
##Answer##
1.【解析】 ===
=-
=-
==1，选B
2.【简解】 =[(p+q)-(k+l)]d，与公差d的符号有关，选D
3.【解析】设A(),B(),==0
答案(A),==≥=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥2≥2,正确；答案(C),直线AB的斜率为== 方程为y-=()(x-),焦点(0,)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB：()x-y+1=0的距离d=≤1，正确。选ABD
4.【解析】x=y=0=0,y=-x,为奇函数，(A)正确；0，(B)错误；，-=+=>0>↓,(C)正确；=-tan满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C
5.【简解】将直线平移知：斜率为k的直线，与曲线y=至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故有三个极大值点，两个极小值点。选BC
6.【解析】2R==R=,D正确；
又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAcosA=0或sinB=2sinAA=或b=2; A=时，b=, =,周长为2+，面积为；b=2时，==,B=,同样有周长为2+，面积为。选BCD
7.【简解】=(x+3)(x-1),, ，作出其大致图象，如图

选BD
8.【解析】已知即半径相等的两圆⊙O:与⊙C:交于相异的两点、。0<|OC|<2|r|0<<4,(A)错；四边形OC是菱形对角线OC与垂直且平分，(B)(C)正确；=，(D)正确。
总之，选BCD
9.【解析】关于z的方程有非负实数解，z=-1+2≥0,
d=5x+4y+3z=5x+4y+6-3,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,],r∈[0,]
d=r(5cosθ+4sinθ)+6-3=rsin(θ+arctan)+6-3
≥4r+6-3=2(2r+3)-3,设=（2,3），=(r,)
d≥2-3=2cos()-3=2cos()-3,作图知

()最大值是与夹角，此时d≥2-3=3。选C
10.【解析】答案(A)，常数列0,0,0,...满足要求；答案(B),公比q=1时因n≠,结论假，q≠1时，常数，也不可能；答案(C),=,满足要求；答案(D),==，并非对所有数列成立。选AC
11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D
12.等体积法，选B
13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD围成的面积图形

k>0时，S单调增，梯形ABC面积为>4，故S=4只有一解，(A)正确；△AB、△D的面积分别为、1,都比大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为的直线，(B)正确；k<0时，围成的仍然是三角形，(C)错误；围成五边形，斜率大于直线PC的斜率4，(D)正确。选ABD
14.【简解】取AB的中点D,则=OA×AB×cos(π-∠OAB)=-AB×(OA×cos∠OAB)=-,同理 =，，原式= .选D
15.【简解】设P(AB)=x，则P(A)=0.2+x，根据P(AB)=P(A)P(B)有x=(0.2+x)×0.5x=0.2;P(A)=0.4，(A)正确；P(B-A)=0.5-0.2=0.3,(B)正确；P(AB)=0.2，(C)正确；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D)错误。选ABC
16.【解析】设△ABC的重心为G,面积为1，过点G的直线与三角形边AB、AC分别相交于D、E，AD=xAB,AE=yAC,则有AB×ACsinA=1,如图

特别的x,y∈{0,1}时，DE为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为1
当x,y∈(0,1)时，△ADE面积S=AD×AEsinA=xAB×yACsinA=xy,D、G、E三点共线存在实数λ，使得=λ()=(1-λ)+λ=(1-λ)x+λy,又= + ，消去λ得到=3，因≥2≥S≥,等号成立当且仅当x=y=DE∥BC,故S最小值为，1-S的最大值为；故两面积比值有最小值，最大值。选BD
17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A，从A逆时针方向的点依次记为(k=1,2,3,…,7),顺时针方向的顶点依次记为(k=1,2,3,…,7)，△要构成以A为钝角的钝角三角形，则n+m≤7，有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C
18.【简解】正数点关于x轴、y轴对称，故一定是4的倍数。选ACD
19.【简解】设x=x+yi(x,y∈R),代入化简得到，表示以(-,0)为圆心，以为半径的圆及其内部，根据图形，选ACD
20. 【解析】·是一个数值，不是向量，(A)错；
=+==,(B)正确；
=+=m+n-2cos= m+n-2cos≥2(1-cos)=,(C)正确；
同理(D)正确
选BCD
21.【简解】,迭乘得到=(n+2)(n+1)n；n(n+2)<,(A)正确；2015=5×13×31，不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数，(C)(D)错误。选AB
22.【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1，表示直线；(B)为ρ=表示椭圆；(C)为ρ=表示椭圆；(D)为ρ=表示双曲线。选BC
23.【解析】≤g(x)=≥0,=0,(A)正确；≤5|x||sinπx|≤||.作图象知成立,(B)正确；x=是其一条对称轴，(C)正确；不可能为常数，故(D)错误。选ABC
24.【简解】A+B>A>-BsinA>sin(-B)=cosB,tanA>tan(-B)=cotB,(A)(B)正确；锐角三角形，一定有，(C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1时，满足锐角三角形条件，但<1，(D)错误。总之，选ABC
25.【解析】根据导数定义，对任意ε>0,存在δ>0,当|x|<δ时，|-1|<εx(1-ε)+1<<x(1+ε)+1，对ε取值可知(A)(C)正确；=1>0，知在0附近存在区间，>0,(B)正确；对于函数y=x+1，(D)不正确。总之，选ABC
26.【解析】将所有的|sin∠AB−sin∠AB|，按从小到大排序，共有个，其中最小者不大于，最大为2，于是≥2,n的最小值为4.选B
27.【解析】设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,].2x+y=1r=,x+=rcosθ+r=,记作T；去分母得到Tsinθ+(2T-1)cosθ=1,sin(θ+arctan )=1≤，解得T≥,等号成立当且仅当θ+arctan=θ+arctan=，(A)正确；当θ=0时T=2，θ=时T=1，最大值为2，(C)正确。选AC
28.【简解】黑球先放好，放白球，选A
29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有种方法，如选了123；在确定不重复用的数字，有种方法，如选3；对数字3安排有种方法，余下的对数字1安排有种方法，剩下的两位安排2；有=900.选C
30.【简解】解方程得到 ，易知它关于两坐标轴及原点都对称，(A)(B)正确；=≤1有-≤x≤条件，但已知中无此条件，故(C)错误；设2x=tanθ,θ∈(- , ),=-+secθ-,当secθ=2时，=，-≤y≤,(D)正确。选ABD
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