沈阳工业大学概率论题卡答案.pdf

严谨 求实 勤奋 创新随机事件,概率定义11写出下列随机试验的样本空间S（1）同时掷两枚骰子，记录两枚骰子的点数之和；（2）某篮球运动员投篮时，连续 5 次都命中，观察其投篮次数；（3）观察某医院一天内前来就诊的人数；（4）在长为l的线段上任取一点，该点将线段分成两段，观察两线段的长度；（5）观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于1T，最高气温不高于2T）。(1)12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2=S；(2)10,9,8,7,6,5?，=S；(3),3,2,1,0?=S；(4),0,0),(lyxyxyxS=+=；(5),(21TyxTyxS=，x表示最低气温，y表示最高气温；2 设CBA,是某个随机试验中的三个事件，试用CBA,的运算关系表示下列各事件。（1）恰有A发生CBA（2）三个事件都发生ABC（3）A与B都发生，而C不发生CAB（4）A发生，且B与C至少有一个发生)(CBA（5）CBA,中至少有一个发生CBA（6）CBA,中至少有两个事件发生ACBCAB（7）CBA,中恰有一个事件发生CBACBACBA+（8）CBA,中恰有两个事件发生CBABCACAB+（9）CBA,中三个事件都不发生CBA（10）CBA,中不多于一个事件发生CACBBA或CBACBACBACBA；3设样本空间20=xx，事件15.0=xxA6.18.0=xxB具体写出下列事件：（1）AB18.0=xxAB（2）BA8.05.0=xxBA（3）BA28.05.00=xxxxBA（4）BA26.15.00=xxxxBA4设BA,是两个事件，,4.0)(=AP7.0)(=BAP，当BA,互不相容时，求)(BP。解：当BA,互不相容时，0)(=ABP)()()()(ABPAPBAPBP=0.7-0.4=0.3严谨 求实 勤奋 创新随机事件,概率定义25A、B为两事件，计算下列各题：（1）设4.0)(=AP，3.0)(=BP，6.0)(=BAP，求)(BAP；解：由)()()()(ABPBPAPBAP+=得)()()()(BAPBPAPABP+=0.4+0.3-0.6=0.1)()()(ABPAPBAP=0.4-0.1=0.3（2）设8.0)(=AP，4.0)(=BAP，求)(ABP；解：由4.0)()(=ABPAP得4.0)(=ABP)(1)(ABPABP=1-0.4=0.6（3）设),()(BAPABP=且,4.0)(=AP求)(BP。解：)(1)()(BAPBAPBAP=)()()(1BAPBPAP+由),()(BAPABP=得,1)()(=+BPAP6.0)(1)(=APBP6设,51)(,31)(,21)(=CPBPAP,151)(,201)(,101)(=ACPBCPABP301)(=ABCP，试求()CBAPCBAP),(及()CBAP。解：()(1)(CBAPCBAPCBAP=)()()(1CPBPAP)()()()(ABCPBCPACPABP+=2033012011511015131211=+)()()()()(ABCPBCPACPCPCBAP+=60730120115151=+()()()(CBAPCPBAPCBAP+=)()()(CBAPCPBAP+=)()()(1CBAPCPBAP+=2076075110131211=+7设CBA,是三个随机事件，已知()()()41=CPBPAP，()81=ACP，()0)(=BCPABP，求CBA,中至少有一个发生的概率。解：由()0)(=BCPABP得()0=ABCPCBA,中至少有一个发生的概率)()()()(CBPAPCBAP+=)()()()(ABCPBCPACPABP+=8581414141=+严谨 求实 勤奋 创新古典概型31已知在10件产品中有2件次品，在其中任取两次，每次任取一件，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两件都是正品。452891078=（2）两件都是次品。45191012=（3）一件是正品，一件是次品。45169108291028=+（4）第二次取出的是次品。5191029=2掷一颗均匀的骰子两次，求前后两次出现的点数之和为3，6，9的概率各是多少？解：样本空间为)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6()6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5()6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4()6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3()6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2()6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(样本空间包含3666=个基本事件点数之和为3的概率1813621=p点数之和为6的概率3652=p点数之和为9的概率913643=p3一批产品共40件，其中有3件次品，现从中任取3件，求下列事件的概率：（1）三件中恰有1件次品。34023713CCC（2）三件中恰有2件次品。34013723CCC（3）三件全是次品。34033CC（4）三件全是正品340337CC（5）三件中至少有1件次品3403371CC4从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个，组成一个三位数，求所得三位数为偶数的概率。21456345361325=AAAp严谨 求实 勤奋 创新条件概率及乘法定理41已知6.0)(=AP，4.0)(=BP，5.0)(=BAP，求)(BAP。解：由5.0)(=BAP，得5.0)(=BAP=)(BAP)()()(BAPBPAP+=)()()(1ABBPBPAP+=)()()()(1ABPBPBPAP+=)()()(1BPBAPAP+=4.05.06.01+=0.62已知()(),3/1,4/1=ABPAP()2/1=BAP，求()BAP。解：121)()()(=APABPABP由()()(BPABPBAP=得6121121)()()(=BAPABPBP()()()(ABPBPAPBAP+=311216141=+3已知7.0)(=AP，4.0)(=BP，5.0)(=BAp，求)(BBAP。解：由5.0)(=BAp，得5.0)()(=ABPAP2.0)(=ABP)(BBAP=)()(BPBBAP=214.02.0)()(=BPABP4据以往资料表明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律：若用A表示事件“孩子得病”；用B表示事件“母亲得病”；用C表示事件“父亲得病”，则有,4.0)(,5.0)(,6.0)(=ABCPABPAP求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为)()()()(APABPABCPCABP=)()()(-1 APABPABCP=6.05.06.0=0.185设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率是多少。解：设A表示“某种动物能活到20岁”B表示“某种动物能活到25岁”则AB，BBA=所求概率为218.04.0)()()(=APABPABP6已知市场上出售的灯泡中，由甲厂生产的占70%，乙厂生产的占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%。今从市场上买了一个灯泡，求（1）是甲厂生产的合格品的概率；（2）是乙厂生产的不合格品的概率？解：设A表示“买到的灯泡是甲厂产品”B表示“买到的灯泡是合格品”由题意知95.0)(,7.0)(=ABPAP8.0)(,3.0)(=ABPBP（1）AB表示“买到甲厂生产的合格品”665.095.07.0)()()(=APABPABP（2）BA表示“买到乙厂生产的不合格品”)()(1)()()(APABPAPABPBAP=06.03.0)8.01(=严谨 求实 勤奋 创新全概率公式及贝叶斯公式，独立性57某人决定去甲、乙、丙三国之一旅游。注意到这三国此季节内下雨的概率分别为213221及，他去这三国的概率分别为41，2141，请据此信息计算他旅游遇上雨天的概率是多少？解：设1B=“去甲国”；2B=“去乙国”3B=“去丙国”；A=“遇上雨天”依题意21)(,41)(,41)(321=BPBPBP21)(1=BAP，32)(2=BAP，21)(3=BAP则)()()(31=iiiBPBAPAP2413212141324121=+=8一医生对某种疾病能正确诊断的概率为0.3，当诊断正确时，他能治愈的概率为0.8，若未被确诊，病人痊愈的概率为0.1，现任选一病人，已知他痊愈，问他是被医生确诊的概率是多少？解：设B表示“诊断正确”A表示“病人痊愈”依题意7.0)(,3.0)(=BPBP1.0)(,8.0)(=BAPBAP则)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP+=77.07.01.03.08.03.08.0+9仪器中有三个元件，它们损坏的概率都是0.1，并且损坏与否相互独立。当一个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.25；当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.6；当三个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.95；当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障。求仪器发生故障的概率。解：设)3,2,1,0(=iBi表示“有i个元件损坏”A表示“仪器发生故障”依题意729.0)1.01()(30=BP243.0)1.01(1.0)(2131=CBP027.0)1.01(1.0)(2232=CBP001.01.0)(33=BP0)(0=BAP25.0)(1=BAP，6.0)(2=BAP，95.0)(3=BAP则)()()(30=iiiBPBAPAP=0.2430.25+0.0270.6+0.0010.95=0.077910 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“+”和“”。由于通讯系统受到干扰，收报台收到信号时，“+”被误收作“”的概率为0.2,而“”被误收作“+”的概率为0.1,求收报台收到信号“+”时，发报台确是发出信号“+”的概率。解：设1B表示“发报台发出信号+”2B表示“发报台发出信号”A表示“收报台收到信号+”依题意6.0)(,8.0)(11=BPBAP4.0)(,1.0)(22=BPBAP)()()()()()()(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP+=13124.01.06.08.06.08.0=+严谨 求实 勤奋 创新全概率公式及贝叶斯公式，独立性611设男女两性人口之比为51：49，男性中的5%是色盲患者，女性中的2.5%是色盲患者。今从人群中随机地抽取一人，恰好是色盲患者，求此人为男性的概率。解：设1B表示“抽取到男人”；2B表示“抽取到女人”；A表示“色盲患者”依题意,%5)(1=BAP10051)(1=BP,%5.2)(2=BAP10049)(2=BP)()()()()()()(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP+=151102%49%5.2%51%5%51%5=+12某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”和“冒失的”，统计资料表明，上述3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.3。如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”客户的概率是多少？解：设1B=“谨慎的保险人”；2B=“一般的保险人”3B=“冒失的保险人”；A=“保险人出了事故”依题意%30)(,%50)(,%20)(321=BPBPBP3.0)(,15.0)(,05.0)(221=BAPBAPBAP=31111)()()()()(iiiBPBAPBPBAPABP=057.03.0%3015.0%5005.0%2005.0%20+13设两两相互独立的三事件，B,A和C满足条件：()()()21=CPBPAP，,ABC=且已知()169=CBAP，求()AP。解：)()()()(CBPAPCBAP+=)()()()(ABCPBCPACPABP+依题意)()(3)(3169APAPAP=即2)(3)(3169APAP=03)(16)(162=+APAP解得41)(=AP43)(=AP（不合题意，舍去）14设B,A是任意两个事件，其中A的概率不等于和，证明：()()ABPABP=是事件A与B相互独立的充分必要条件。“”由()()ABPABP=得)()()()(APABPAPABP=即)(1)()()()(APABPBPAPABP=)()()()()()()(ABPAPBPAPAPABPABP=得)()()(BPAPABP=，A与B相互独立。“”A与B相互独立,则A与B相互独立.)()()(BPAPABP=，)()()(BPAPBAP=()()()(BPAPABPABP=()()()(BPAPBAPABP=故()()ABPABP=严谨 求实 勤奋 创新全概率公式及贝叶斯公式，独立性715有两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。求：(1)这两颗花籽都能发芽的概率；(2)至少有一颗能发芽的概率；(3)恰有一颗能发芽的概率。解：A表示“第一颗种子发芽”B表示“第二颗种子发芽”（1）A与B相互独立)()()(BPAPABP=0.80.9=0.72（2）)()()()(ABPBPAPBAP+=0.8+0.9-0.72=0.98（3）A与B、A与B相互独立)()(BAPBAP+=)()()()(BPAPBPAP+=0.80.1+0.20.9=0.2616甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次，他们击中目标的概率分别为0.7，0.8和0.9，求目标被击中的概率。解：甲、乙、丙三人至少有一人击中目标，则目标就被集中。甲、乙、丙三人向同一目标射击是相互独立的，则三人都未击中目标的概率为006.0)9.01)(8.01)(7.01(=则甲、乙、丙三人至少有一人击中目标的概率为994.0006.01=即目标被击中的概率为0.994。17设有两门高射炮对同一来犯的敌机进行射击，每门炮击中敌机的概率都是0.6，两门炮同时发射，问敌机被击中的概率是多少？又若要求以不小于99%的把握击中来犯的敌机，问至少需配置多少门高射炮？解：1A表示“第一门炮击中目标”2A表示“第二门炮击中目标”两门炮同时发射，敌机被击中的概率为)()()()(212121AAPAPAPAAP+=0.6+0.0.6-0.60.6=0.84设至少需配置n门高射炮则%99)6.01(1n01.0)4.0(n026.53979.024.0lg01.0lg=n所以至少需配置6门高射炮。18设有4个独立工作的元件1,2,3,4。它们的可靠性分别为4321,pppp，按如图方式连接，求系统的可靠性。解：设系统的可靠性为p4321,AAAA分别表示四个元件正常工作则)(4321AAAAPp=)(41321AAAAAP=)()()(432141321AAAAPAAPAAAP+=432141321ppppppppp+=严谨 求实 勤奋 创新随机变量81一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率；32259.01.0C（2）至少有3个设备被使用的概率；55544523351.09.01.09.01.0CCC+（3）至多有2个设备被使用的概率；322541155059.01.09.01.09.0CCC+（4）至少有1个设备被使用的概率。50059.01.01C2设随机变量X服从泊松分布，并且已知21=XPXP，求4=XP。解：设)(X由21=XPXP得!2!12=ee解得2=；0=（不合题意，舍）22432!424=eeXP3设离散型随机变量X的分布律为?,3,2,1,21=kkXPk求(1),6,4,2?=XP；(2)3XP.解：,6,4,2?=XP=?[phone]=3141-141=3XP=?[phone]=4121-1213=4一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最小号码，试写出随机变量X的分布律。5设随机变量X的分布律为aaaapXk281321012,求常数a。解：12813=+aaaa解得81=aX123kp106103101X123kp3524CC3523CC351C严谨 求实 勤奋 创新随机变量96设随机变量X的分布律为402030102101.pXk,求X的分布函数。解：)(xXPxF=axaxeCxfx求：（1）系数C解：由1)(=+dxxf得1=+axdxeC1=+axeC，aeC=（2）11+aXaP=+=111)(aaxaaadxeedxxf=11+=aaxaaaxaeedxee)1(+=aaaeee=e18设随机变量X的分布函数为xBAxFarctan)(+=，求常数BA,及X概率密度。解：由1)(,0)(=+=FF得=+=1202BABA解得1,21=BA)1(11)()(22xxBxFxf+=+=9设随机变量X的概率密度函数为XP，试确定常数ba,并计算.2141XP，得85)(121=+dxbax即85238=+ba，亦即543=+ba由，解得211=ba，。+=其它01021)(xxxf.2141XP=327)21(2141=+dxx严谨 求实 勤奋 创新随机变量1010设随机变量X在（-2，4）上服从均匀分布，（1）写出X的概率密度函数。=其它04261)(xxf(2)求X的分布函数；=xdxxfxF)()(+=41426220)(xxxxxF(3)计算35.2 XP；=35.212161dx(4)方程03222=+XXaa有实根的概率。0)32(442+XXP0322=XXP13+=XPXP=[phone]dxdx11 设随机变量X服从参数为3的指数分布，求：1XP及32=00031)(3xxexfx31131311=edxeXPx，1323323132=eedxeXPx。12已知随机变量X的概率密度函数为()+=x,Aexfx试求：（）常数A解：+=dxxf)(1dxAedxAexx+=00=AAAeAeAxx200=+=+解得21=A（）10 XP=101021)(dxedxxfx=）（1121e（）X的分布函数0 x时=xdxxfxF)()(xxxedxe2121=0 x时=xdxxfxF)()(dxedxexxx+=002121 xxxee002121+=xxee=+=21112121=0211021)(xexexFxx严谨 求实 勤奋 创新随机变量1113设连续型随机变量X的分布函数为+=000)(22xxbeaxFx试求：(1)常数a和b；解：由0)(lim0=xFx，得0=+ba由1)(=+F，得1=a解得1,1=ba(2)X的概率密度函数。=000)()(22xxxexFxfx(3)16ln4ln=其它,01000,1000)(2xxxf现有一大批这种电子管（设各电子管损坏与否相互独立），从中任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：321000150015002=+dxxXP至少有2只寿命大于1500小时的概率是41155015)31()32()31()32(1CCp=24323231031155=15设随机变量X的概率密度为=其他0102)(xxxf，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件21X出现的次数，求2=YP。解：412)(2121021=xdxdxxfXP2=YP649)43()41(3223=C16测量某目标距离时，发生随机误差)40,20(2NX（单位：米）,试求：（1）误差绝对值不超过30米的概率。解：303030=XPXP4020304020402030=XP=)25.1()25.0(=)25.1(1)25.0(+=4931.08944.015987.0=+（2）三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率。3003)4931.01()4931.0(1=Cp=35069.0186975.0严谨 求实 勤奋 创新随机变量1217.设随机变量),2,3(2NX试求：（1）104,42XPXP；42 XP23423232=XP383.01)21(2)21()21(=104XP，3XP；212=XPXP232232321=XP6977.0)5.2()5.0(1=5.03=XP(3)确定常数c，使得cXPcXP=由cXPcXP=得1cXPcXP=21=cXP3=c18设随机变量),2(2NX并且3.042=XP，求0XP。解：由3.042=XP得3.024222=XP即3.0)0()2(=由5.0)0(=，得8.0)2(=0XP)2(202=XP2.08.01)2(1=19.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。解，设考生的外语成绩用X表示则),72(2NX96196=XPXP7296721=XP)24(1=由%3.2)24(1=，得977.0)24(=查表得224=，得12=8460 XP1272841272127260=XP1)1(2)1()1(=0.6826严谨 求实 勤奋 创新随机变量的函数分布131设随机变量X的分布律为1.04.02.03.02320kpX求21)2(=XY和)2cos(2=XY的分布律。2)2(X0224kp0.20.70.1)2cos(X-11kp0.70.32设随机变量X的概率密度函数为y时，)(22yYPyFY=lnlnyXPyXPyePX=00021)(2ln22yyeyyfyY(3)当0y时，0)(3=yFY0y时，)(33yYPyFY=2yXyPyXP=)()(yFyFXX=求导，得yyfyyfyfXXY21)(21)()(3+=于是有=00021)(22yyeyyfyY严谨 求实 勤奋 创新随机变量的函数分布13严谨 求实 勤奋 创新二维随机变量141在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。现定义随机变量YX,如下：=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,0X=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,0Y试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律（用表格来表示）（1）（2）2设随机变量),(YX的分布函数为+=其它。,00,0,2221),(yxyxFyxyx求53,21YXP。解：53,21YXP)3,1()3,2()5,1()5,2(FFFF+=65175222212221+=43153222212221+128322226547=+=3设随机变量),(YX的概率密度为=其它。,0,42,20),6(),(yxyxkyxf（1）确定常数k；解：由+=-1),(dxdyyxf得+=20-1)6(dyyxkdx=201)6212(dxxk18=k，解得81=k（2）求3,1YXP；3,1+=1,01,)1(),(222222yxyxyxAyxf求(1)系数A；解：由+=-1),(dxdyyxf得=20101)1(dAd1)3121(2=A解得3=A(2),(YX落在4122+yx内的概率。+=4122),(),(yxdxdyyxfGYXP=20210)1(3dd21)24181(23=5已知随机变量X和Y的联合概率密度为()=+其它）,000,2,2(yxeyxfyx（1）求分布函数()y,xF；（2）XYP。解：=yxdyyxfdxyxF),(),(=其他00,0)1)(1(2yxeeyx（2）XYP=xydxdyyxf),(+=00)2(2xyxdyedx+=02)1(2dxeexx31321=6二维随机变量),(YX的分布律为XY12310.010.020.0720.030.060.2130.060.120.42（1）求X与Y的边缘分布律；（2）X与Y是否相互独立。由,jijiyYPxXPyYxXP=3,2,13,2,1=ji；知，X与Y是相互独立的。7如果二维随机变量),(YX的分布律为311819161)3,2()2,2()1,2()3,1()2,1()1,1(),(ijpYX问,取什么值时，YX,才能相互独立？由独立性有91)91(31=+，得92=181)181(31=+，得91=严谨 求实 勤奋 创新二维随机变量168设二维随机变量),(YX的概率密度为=.,0,0,10),2(8.4),(其它xyxxyyxf求边缘概率密度。+=dyyxfxfX),()(=其他010)2(8.40 xdyxyx=其他010)2(4.22xxx+=dxyxfyfY),()(=其他010)2(8.41ydxxyy+=其他010)34(4.22yyyy9设二维随机变量),(YX的概率密度为+=2222222,0,1),(RyxRyxRyxf试求边缘概率密度。+=dyyxfxfX),()(=+RxRxRxRRxRxdyRxRxR020122222222+=dxyxfyfY),()(=+RyRyRyRRyRydxRyRyR02012222222210 设随机变量),(YX在三角形区域G上服从均匀分布，这里G由x轴、y轴及直线12=+yx所围成。试求：（1）),(YX的联合概率密度；=其他0),(4),(Gyxyxf（2）),(YX的边缘概率密度；+=dyyxfxfX),()(=其他02104210 xdyx=其他0210)21(4xx+=dxyxfyfY),()(=其他0104210ydxy=其他010)1(2xy（3）X与Y是否相互独立？=其他010,210)1)(21(8)()(yxyxyfxfYX由于)()(),(yfxfyxfYX所以X与Y不是否相互独立的严谨 求实 勤奋 创新二维随机变量1711设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为=.0,0,0,21)(2yyeyfyY（1）求X和Y的联合概率密度；解：=其他0)1,0(1)(xxfX=其他00),1,0(21)()(),(2yxeyfxfyxfyYX（2）设含有a的二次方程为022=+YXaa，求a有实根的概率。04422YXPYXP=1002221xydyedx=10022dxexy=102)1(2dxex=10221dxex=10222121dxex)0()1(21=)5.08413.0(21=)21(3413.0=12随机变量),(YX的概率密度函数为=其他,00,40,4),(xyxxyAyxf求(1)系数A；解：由+=-1),(dxdyyxf得=40014xxydyAdx，=40124dxxxA138=A，解得83=A=其他00,40323),(xyxxyyxf(2),(YX的边缘概率密度；X与Y是否相互独立？+=dyyxfxfX),()(=其他其他04063304032320 xxxxydyx+=dxyxfyfY),()(=其他02032342yxydxy=其它020)28(3234yyyX与Y不是否相互独立的。（3）求1XP。=1)()1(1dxxfFXPXX641643102=dxx严谨 求实 勤奋 创新二维随机变量的函数分布181设二维随机变量),(YX的分布律为XY0123400.100.050.010.020.0110.040.060.020.030.0420.130.080.010.050.0330.080.110.050.060.02试求(1)YXZ+=的分布律；(2)YXW=2的分布律；(3),maxYXM=的分布律；(4),minYXN=的分布律；2设随机变量),(YX的概率密度为=00020)(zzdxezxz=00020zzdxeezxz=000)1(2zzeezz=.,00,)(2其它zeezfzz3设随机变量YX,相互独立，且具有相同的分布，它们的概率密度为=.,01,)(1其它xexfx求YXZ+=概率密度。解：+=dxxzfxfzfYXZ)()()(=20211)(11zzdxeezxzx=202112zzdxezz=其它02)2(2zzez严谨 求实 勤奋 创新二维随机变量的函数分布194设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为=.,0,10,1)(其它xxfX=.,0,0,)(其它yeyfyY求随机变量YXZ+=2的概率密度。解：2)(zYXPzZPzFZ+=+=zyxdxdyyxf2),(=+zyxYXdxdyyfxf2)()(=2200010202020zdyedxzdyedxzxzyzxzy=2)(21120)1(212002zeezezzzzz)()(zFzfZZ=.t,t,e.)t(ft.0001010今检验了5个装置，其观测值为,21TT,5T?与T同分布且相互独立。试求：（1）()20521T,T,TmaxP?；=()20,max1521TTTP?20,20,201521=TTTP?51201=TP5201.01.01=dtet52001.01.01=dtet52)1(1=e（2）()5521T,T,TminP?。=()5,min1521TTTP?5,5,51521=TTTP?5151=TP551.01.01+=dtet52001.01.01=dtet5.255.01)(1=ee严谨 求实 勤奋 创新数字特征201设随机变量X的分布律为4.01.03.02.02102kpX求()()()5322+XE,XE,XE。()5.04.021.012.0)2(=+=XE()5.24.021.012.0)2(222=+=XE()5.1255.235)(35322=+=+=+XEXE2盒中有5个球，其中有3白2黑，从中随机抽取两个球，求“抽得的白球数”X的数学期望。()2.110321061=+=XE3设随机变量X的分布律为?,2,1,0,!=kkABkXPk若已知3)(=XE，求常数BA,。解：()BkkkkABekABkABkXE=10)!1(!即3=BABe由1!0=kkkAB，得1=BAe由，解得3,3=BeA4 某种奖券销售单位为提高大众购买奖券的兴趣，采用当众开奖的办法，每张奖券面值1元，每500万张设若干奖项如下：奖别数量/元奖品价值/元特等奖11500一等奖10500二等奖10070三等奖10003纪念奖100000.5试计算每购买一张奖券平均能得多少奖金。()5000000100035000000100005.0+=XE1000043500000011500500000010500500000010070=+5设随机变量X的概率密度为+=其它,0,10,)(2xbxaxf且53)(=XE，试求ba,的值。+=+102)()()(dxbxaxdxxxfXE即5342=+ba由1)(=+dxxf，得13=+ba由，解得56,53=ba严谨 求实 勤奋 创新数字特征216已知随机变量X在（1,5）上服从均匀分布,试求()()XeEXEXE,sin,1ln2。解：=其它,0,51,41)(xxf15ln54141ln414ln0)(1ln)1(ln515151+=+=+dxxxxxdxxdxxfxXE21)22sin4(8122cos1414sin)(sin51515122=xdxxdxxXE)(41414)(55151eeedxeeExxX=7将n只球（1n号）随机地放进n只盒子（1n号）中去，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。记X为总的配对数，求)(XE。解：引进随机变量),2,1(niXi?=号盒子号球放入第第号盒子号球没放入第第iiiiiX10则nXXXX+=?21nXPnnXPii1110=，nXEi1)(=)()()()(21nXEXEXEXE+=?1111=+=nnn?8设X表示20次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为6.0，求2X的数学期望。解：)6.0,20(bX126.020)(=XE8.44.06.020)(=XD8.148)()()(22=+=XDXEXE9设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知()()121=XXE，求参数。解：=)(,)()(XDXEX，()()23(212+=XXEXXE222)(3)()(2)(3)(222+=+=+=XEXDXEXEXE由1222=+，解得1=10 设 随 机 变 量YX,相 互 独 立，且)30,720(2NX，)25,640(2NY，求YXZYXZ=+=21,2的分布。解：2225)(640)(30)(720)(=YDYEXDXE，211654225)()(4)(2080)()(2)(=+=+=YDXDZDYEXEZE)65,2080(21NZ1525)()()(80)()()(22=+=YDXDZDYEXEZE)1525,80(2NZ严谨 求实 勤奋 创新数字特征2211设随机变量X的概率密度为+=nnnnfPA解得250n2设随机变量X服从参数为的泊松分布，试用切比雪夫不等式证明：120 XP。证明：=)()()(XDXEX，20=XPXP21=XP即120=iiiiXPXP)()(1920)()(1161161161161161=iiiiiiiiiiXDXEXDXEXP2119.07881.01)8.0(1=4设总体),12(2NX，随机抽取一容量为25的样本，求样本均值X大于12.5的概率。（1）已知2=；解：)252,12(2NX5.1215.12=XPXP)25.1(152125.1252121=XP1056.08944.01=（2）未知，但已知样本方差57.52=S。)1(ntnSX2557.5125.122557.5125.12=XPXP059.12557.512=XP15.0=（查表得）5设1021,XXX?是总体)3.0,0(2N的一个样本，求=1012.44.1iiXP)3.0,0(2NXi，)1,0(3.0NXi)10(3.021012=iiX3.044.1)3.0(44.1210110122=iiiiXPXP1.016)3.0(1012=iiXP（查表得）严谨 求实 勤奋 创新假设检验291设总体X的概率密度为=其它00)(6)(3xxxxfnXXX，?21是取自总体X的简单随机样本。（1）求的矩估计量；=+03)(6)()(dxxxxdxxxfXE)43(6)(64330323=dxxx2=令X=2解得的矩估计量为X2=（2）求的期望)(E；=22)(2)2()(XEXEE（3）求的方差)(D。=+03222)(6)()(dxxxxdxxfxXE)54(6)(65430433=dxxx1032=222201)()()(=XEXEXD=niiniiXDnXnDXDD121)(4)1(4)2()(222512014nnn=2.设总体X具有概率密度函数()nXXX,21?为来自总体X的简单随机样本，nxxx,21?是相应的样本观察值，求的矩估计量和最大似然估计量。解：（1）+=101)()(dxxxdxxxfXE110+=dxx令X=+1解得的矩估计量为2)1(XX=（2）似然函数为=niininixxL1111)()(=+=niixnL1ln)1(ln2)(ln=+=niixndLd1ln2112)(ln令0)(ln=dLd解得的最大似然估计值为21)ln(=niixn的最大似然估计量为21)ln(=niiXn严谨 求实 勤奋 创新假设检验303设nXXX,21?是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的最大似然估计量和矩估计量，并判断求得的估计量是否是无偏估计量。=exxXPixii!似然函数为=niixnniixxeexLii11!)(!)(=+=+=niiniiniixxxnxnLi111!ln)(!ln)(ln=+=niixndLd11)(ln令0)(ln=dLd解得的最大似然估计值为xxnnii=11的最大似然估计量为XXnnii=11=+=)(1)(1)1()()(11?nXEnXnEXEEniinii所以X是的无偏估计量4设总体X的分布函数为()=1,01,11,xxxx