云南各大学量子力学常考知识点及计算题.doc

云南省大学物理量子力学常考知识点及计算题

1．波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间分布的概率会发生什么变化?
解：不变．因为波函数是计算粒子时刻空间各点出现概率的数学量．概率是相对值．则点的概率比值为：

∴ 概率分布不变．
2．假设粒子只在一维空间运动，它的状态可用如下波函数来描写：

式中，E和a分别为确定常数，A为归一化系数，计算归—化的波函数和概率密度。
解：根据波函数的归一化条件，有

得
故归一化波函数为
相应的概率密度

3．求一电子处在宽度为和a=1m的势阱中运动的能级值。把结果同室温(T=300K)下电子的平均平动动能进行比较，可得到什么结论？
解：由电子在势阱中的能级公式得
当时，
当时，
在室温(T=300K)下电子的平均平动动能。
故对宏观问题，电子的量子效应可以忽略。

1．计算下列客体具有动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。
解：（1）具有动能的电子，可以试算一下它的速度：
，所以要考虑相对论效应。
设电子的静能量为，总能量可写为：，用相对论公式：
，可得：

；
（2）对于具有动能的质子，可以试算一下它的速度：
，所以不需要考虑相对论效应。
利用德布罗意波的计算公式即可得出：
。

2．设电子与光子的德布罗意波长均为0.50nm，试求两者的动量只比以及动能之比。
解：动量为 因此电子与光子的动量之比为 ；
电子与光子的动能之比为

3．以速度运动的电子射入场强为的匀强电场中加速，为使电子波长，电子在此场中应该飞行多长的距离？
解：利用能量守恒，有：，考虑到，
有：

，
利用匀强电场公式有：。

4．设电子的位置不确定度为，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为，计算电子能量的不确定度。
解：由不确定关系：，有，
由，可推出：
。

5．氢原子的吸收谱线的谱线宽度为，计算原子处在被激发态上的平均寿命。
解：能量，由于激发能级有一定的宽度，造成谱线也有一定宽度，两者之间的关系为：，由不确定关系，，平均寿命，则：
。

6．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为，式中为粒子角动量的不确定度，为粒子角位置的不确定度。
证明：当粒子做圆周运动时，设半径为，角动量为：，
则其不确定度，而做圆周运动时：，
利用：代入，可得到：。

7．计算一维无限深势阱中基态粒子处在到区间的几率。设粒子的势能分布函数为：
解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在之间运动时，其定态归一化的波函数为：，
概率密度为：
粒子处在到区间的几率：，
如果是基态，，则。

8．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽。
（1）质子的零点能量有多大？
（2）由态跃迁到态时，质子放出多大能量的光子？
解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：
时为零点能量：
（2）由态跃迁到态时，质子放出光子的能量为：

9．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。
证明：设电子轨道的半径为，则电子轨道的周长为，需要证明。
玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：
而电子的德布罗意波长：（∵）
可见电子轨道：，是德布罗意波长的整数倍。

10．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？
答：因为单个的电子是不具有波动的性质的，所以它不是经典意义的波，同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性，而电子却具有这个性质，所以电子也不是经典意义的粒子。

11．图中所示为一有限深势阱，宽为，高为。
（1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件；
（2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能量值的大小。
答：（1）第I区域定态薛定谔方程：
，（），
第II区域定态薛定谔方程：
，（和）；
边界条件：，。
（2）无限深势阱中粒子的能量表述式为，最低能量值，显然与的平方成反比，粒子的自由范围越大，最低能量值越低，应该说粒子在相同宽度的有限深势阱比在无限深势阱中的自由范围大一些，所以粒子在有限深势阱中的最低能量值低一些。