一个含指数项超混沌系统的动力学分析及仿真_张付臣.pdf

（）年 第 卷 第 期 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）；重庆市自然科学基金面上项目（）；重庆市教委科技项目（，）；重庆市社会经济与应用统计重点实验室项目（）；重庆工商大学科技项目（）；重庆工商大学研究生创新项目（）作者简介：张付臣，男，博士，教授，主要从事混沌动力系统研究，：；通信作者 周雯静，女，硕士研究生，主要从事混沌系统稳定性研究，：。本文引用格式：张付臣，周雯静 一个含指数项超混沌系统的动力学分析及仿真 重庆理工大学学报（自然科学），（）：，（），（）：（）一个含指数项超混沌系统的动力学分析及仿真张付臣，周雯静（重庆工商大学 数学与统计学院 经济社会应用统计重庆市重点实验室，重庆）摘 要：基于四维超混沌系统，通过数值仿真和理论分析研究了一类含有指数项的四维超混沌系统的动力学行为，包括这类系统的耗散性及其维数、截面、指数、初值敏感性、分岔图等性质，揭示了四维超混沌系统的分岔和混沌现象。研究结果表明：此混沌系统具有广阔的应用潜力，可用于数据安全保护和信息加密。关 键 词：超混沌；指数项；分岔；稳定性；指数中图分类号：；文献标识码：文章编号：（）引言超混沌系统是非线性系统中的一个重要分支，它与普通的混沌系统相比具有更大的复杂性，因而引起了广大学者的广泛关注。超混沌系统具有易于实现、对初始条件的敏感性强、设计电路简单等特点，使得它在现代电子信息领域有着广泛的应用。目前，已经提出了很多具有超混沌特性的新型非线性混沌系统，这些系统已经被成功应用于许多实际工程领域。但是由于超混沌系统复杂的动力学特性和高增益性能，它也为研究非线性系统提供了一个新的思路。在过去的几年里，已有很多关于四维超混沌系统动力学行为的研究，且由于数字信息系统的复杂性，超混沌系统越来越受到关注，因此对超混沌系统进行研究也有着重要意义。研究了一类含有指数项新的四维超混沌系统动力学行为，首先 通 过 对 其 指 数 和 截面仿真测试，确定了该新四维系统为超混沌系统，具有高度复杂的动力学行为，然后对该系统进行基本的平衡点稳定性分析及耗散性分析，通过 数值仿真，研究该系统随着参数 的变化而发生的分岔现象。新混沌系统及其分析 混沌模型 年，苏敏等在 混沌系统基础上，研究了一类含有指数项的新三维混沌系统，其数学模型为：?（）?|（）为了发现更多的新混沌系统，并且不断发现新的混沌现象。在该三维混沌系统（）的基础上增加一个微分项，并耦合到第二个方程中，得到了一个新的四维混沌系统，其状态方程如下：?（）?|（）在系统（）中，为引入的新状态变量，、为系统的参数，当 ，时，系统呈现超混沌状态。从系统的初始值（，）开始，图 展示了系统（）中各变量随时间的变化趋势；图 展示了三维混沌吸引子的特征。图 系统的每个变量随时间演化图图 三维混沌吸引子特征 耗散性根据专著，系统（）的耗散度为：?（）（）（）（）当 ，时，所以系统（）是耗散的，且当时间趋近于无穷大时，系统（）以指数速度 将运动轨迹收敛到称为吸引子的不变集中，新系统（）存在混沌吸引子。指数和维数取参数 ，利用数值计算，得到系统（）的 指数为：，其曲线如图 所示。维数为：此时 指数大于零的有 个，且该系统的 维数呈现出正分数，这说明该系统处于一种复杂的超混沌状态，具有丰富的动力学特性。图 指数曲线 截面图选取参数 ，绘制系统（）的 截面图，如图 所示。图 ，的 截面图 由图 所示，无论是、相平面还是 相平面的 截面图，上面都分布着一片密密麻麻、杂乱无章的点，且由上面分析可知，该新系统有 个正的 指数，故该新系统为超混沌状态。平衡点及其稳定性令系统（）右边向量场等于，则 （）|（）当 ，时，系统（）只有一个平衡点：（，）在平衡点 处的雅可比矩阵为：|令 ，得到特征根为：，可以知道特征根中包括了 个负实根、一个正实根和一个零根，由劳斯胡尔维茨稳定性理论的判别法可知，平衡点 是不稳定的平衡点。敏感性分析取参数 ，选初值（），（），（），（），当初值每个变量都加上 、时，利用 对变量、进行仿真，得到图。由图 可以看出，该混沌系统在初值变量、发生 、微小变化后都有较为明显的变化，则说明该混沌系统具有初值敏感的特性。图 系统初值敏感性仿真结果张付臣，等：一个含指数项超混沌系统的动力学分析及仿真 参数对混沌系统运动状态的影响固定 ，初值取（，）时，令 ，在保持初始状态的情况下，使用 进行仿真模拟，得到了新混沌系统随系统参数 变化的分岔图和 指数谱的模拟结果，如图、图 所示。图 系统变量 随参数 变化的分岔图图 参数 变化时系统的 指数谱由图 和图 可得，当 ，时，此时，系统处于混沌状态。当 时，混沌吸引子不同平面的相位图，如图 所示。当 ，时，由于，此时，系统吸引子处于超混沌状态。当 时，混沌吸引子不同平面的相位图，如图 所示。当 ，时，由于 ，此时，系统吸引子处于混沌状态。当 时，混沌吸引子不同平面的相位图，如图 所示。当，时，由于 ，此时，系统吸引子处于超混沌状态。当 时，混沌吸引子不同平面的相位图，如图 所示。图 参数 时，混沌吸引子相位图图 参数 时，超混沌吸引子相位图图 参数 时，混沌吸引子相位图图 参数 时，超混沌吸引子相位图 综上所述：当 ，时，系统处于混沌状态；当 ，时，系统为超混沌状态状态；当 ，时，系统为混沌状态；当，时，系统为超混沌状态。调节系统参数 的值，可以控制系统在混沌状态和超混沌状态之间变换。结论根据 混沌动力系统理论构建了一个新的四维超混沌系统，对系统耗散性分析，印证了新系统混沌吸引子的存在。通过 仿真模拟，发现新四维超混沌系统存在 个正的 指数，即为超混沌系统，通过 截面图证明了新四维混沌系统处于超混沌状态，令系统（）中的右端向量场等于零，可得到该系统只存在一个平衡点，且该平衡点为不稳定的平衡点。通过 模拟 指数谱、分岔图等，表明该四维系统具有丰富的超混沌特性，随着参数变量 的变化，可以控制该系统在混沌状态和超混沌状态之间变换。参考文献：张付臣，舒永录，姚宪忠 磁盘发电机系统的动力学研究及其在混沌同步中的应用 应用数学学报，（）：王艳玲，雷腾飞，张艳萍，等 一类新四维混沌系统的动力学分析 邵阳学院学报（自然科学版），（）：张娜，王光义，吴泽炎，等 一种新的四维混沌系统及其数字实现 杭州电子科技大学学报（自然科学版），（）：舒永录，张付臣，杨洪亮 一个新的多维超混沌系统及其性质研究 四川大学学报（自然科学版），（）：苏敏，雷腾飞，曹凤，等 一类含有指数项新混沌系统的动力学分析与仿真 嘉应学院学报，（）：洪玲玲，杨启贵 新四维超混沌系统的复杂动力学研究 广西师范大学学报（自然科学版），（）：黄迎久 一个新四维超混沌系统及其在图像加密中的应用 内蒙古科技大学学报，（）：，：，（）：程春蕊，雷腾飞，毛北行 新四维超混沌系统自适应滑模同步 西北师范大学学报（自然科学版），（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：张付臣，等：一个含指数项超混沌系统的动力学分析及仿真 ，（）：，（）：，：陈关荣，吕金虎 系统族的动力学分析、控制与同步 北京：科学出版社，（，）：，：；（责任编辑 辛 亮）