第4章边界层流动.doc

第四章
1. 常压下温度为20℃的水以5m/s的流速流过一光滑平面表面，试求由层流边界层转变为湍流边界层的临界距离值的范围。
解：
的范围：
由物性数据表查得，常压下20℃水的物性 ，
∴ 的范围为：0.04～0.60m。
2. 流体在圆管中流动时，“流动已经充分发展”的含义是什么？在什么条件下会发生充分发展的层流，又在什么条件下会发生充分发展了的湍流？
答：当流体以均匀一致的流速在圆管中流动时，在管内壁周围形成边界层，且逐渐加厚，在离进口某一距离（Le）处，四周的边界层在管中心汇合，此后便占有管的全部截面，而边界层的厚度也维持不变，这时的流动称为充分发展了的流动。若边界层汇合时，流体的流动为层流，则管内的流动为充分发展了的层流；若边界层汇合时的流体已是湍流，则管内流动为充分发展了的湍流。
在，L＞Le的光滑管条件下，会发生充分发展了的层流；当，L > Le光滑管条件下会发生充分发展了的湍流。
3. 已知二维平面层流流动的速度分布为，，式中c为常数。试证明该速度分布普兰德边界层方程（4-13）的正确解，并以流动参数表示c。
解：由 ，可知
，
∴
满足连续性方程。
依题意，普兰德边界层方程左端为

右端为

若两端相等，则常数c为

4. 常压下温度为30℃的空气以10m/s的流速流过一光滑平板表面，设临界雷诺数，试判断距离平板前缘0.4m及0.8m两处的边界层是层流边界层还是湍流边界层? 求出层流边界层相应点处的边界层厚度。
解：由物性数据表查得，30℃的物性，
＝0.4m处，
为层流边界层

＝0.8m处，
为湍流边界层。
5. 20℃的水以的流速流过一长为3m、宽为1m的平板壁面。试求（1）距平板前缘0.1m位置处沿法向距壁面2mm点的流速、；（2）局部曳力系数及平均曳力系数；（3）流体对平板壁面施加的总曳力。设。
已知水的动力粘度为，密度为。
解：距平板前缘处的雷诺数为：

流动在层流边界层范围之内。
（1）求方向上距壁面2mm处的
已知 ，,由式（4-15）得

查表4-1，当时
=0.6457, =0.625, =0.260
由式（4-25）得

由式（4-26）得

（2）局部曳力系数及平均曳力系数

（3）流体对平板壁面施加的总曳力

6. 20℃的水以1m/s的流速流过宽度为1m的光滑平板表面，试求：
（1）距离平板前缘＝0.15m及＝0.3m两点处的边界层的厚度；
（2）=0～0.3m一段平板表面上的总曳力。
设。
解: 由物性表查得，20℃的水的物性，
（1） ＝0.15m：

为层流边界层，由精确解得

＝0.30m：

为层流边界层。

（2）

7. 空气在20℃情况下，以0.15m/s的速度流经一相距25mm的两平行光滑平板之间。求距离入口多远处两平板上的边界层相汇合。20℃的空气物性为，。
解：暂按层流边界层计算，因汇合点处 ，则由

可得
核算雷诺数
流动为层流，上述计算正确，即。
8. 不可压缩流体稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内速度分布为

式中，为边界层厚度，。试求边界层内y方向速度分布的表达式。
解：

二维稳态层流的连续性方程为
（1）
（2）
将式（2）代入式（1）积分，得

9. 常压下温度为20℃的空气以6m/s的流速流过平板表面，试求临界点处的边界层厚度、局部曳力系数以及在该点处通过单位宽度（b = 1 m）边界层截面的质量流率。
设。
解：由物性数据表查得，20℃的空气的物性，

习题10附图
10. 如本题附图所示，不可压缩粘性流体以层流流过一平板壁面，设平板边界层外的来流速度为，板面上有连续分布的小孔，通过小孔吸气，使流体以速度uys（＝常数）沿小孔从平板壁面流出。试从普兰德边界层方程出发，证明这种吸允壁面的平板边界层的积分动量方程为

证： 普兰德边界层方程为

对于平板壁面，，故
（1）
连续性方程为
（2）
式（1）可写成

即 （3）
将式（2）写成
（4）
式（4）减去式（3）得

将上式各项对变量y从0积分至，积分过程中要用的边界条件为
（常数）；

因此 （5）
式中，左侧第二项积分为

右侧积分为

因此

即

证毕。
11. 20℃的水以2m/s的速度在平板上流动，试求离平板前缘0.2m、离板面垂直距离处的流速。已知运动粘度，。
解： 为层流边界层

12. 20℃、101.3kPa的空气以15m/s的速度在平壁上流动。在Rex＝1.0×105处，试求
（1）边界层厚度；
（2）局部曳力系数与平均曳力系数；
（3）壁面处的速度梯度；
（4）速度分布。
已知 ， 。
解：
∵ , x在层流边界层内。

（1）边界层厚度

（2）局部曳力系数与平均曳力系数

（3）壁面处的速度梯度
由 ，移项得

（4）速度分布

13. 常压下40℃的空气以12m/s的流速流过长度为0.15m、宽度为1m的光滑平板，试求算平板上、下两面总共承受的曳力。设。
解：由物性数据表查得，40℃下空气的物性，

为层流边界层。

14. 某粘性流体以速度稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内流体的剪应力不随方向变化。
（1）试从适当边界条件出发，确定边界层内速度分布的表达式；
（2）试从卡门边界层积分动量方程

出发，确定的表达式。
解：（1）由于边界层内不随y变化，为常数，速度分布为直线。设。边界条件为
（1）；
（2）
由此可得边界层内速度分布为

（2）将边界层积分动量方程写成

则

故有
即
边界条件为 ，积分上式得

15. 设平板层流边界层的速度分布为

式中，是边界层厚度，是无穷远来流速度。试用边界层积分动量方程推导边界层厚度和平板阻力系数的计算式。
解： 边界层积分动量方程为

故有
即
边界条件为 ，积分上式得

16. 某粘性流体以速度稳态流过平板壁面时形成层流边界层，已知在边界层内流体的速度分布可用下式描述

（1）采用适当边界条件，确定上式中的待定系数和，并求速度分布的表达式；
（2）试用边界层积分动量方程推导边界层厚度和平板阻力系数的计算式。

解： （1） 选择如下边界条件
（1）；
（2）；
（3）
代入得

求解得 ；；
故
（2）
先将速度分布代入，求积分号内的项

代入得

移项得
17. 常压下283K的空气以0.5m/s的流速流入内径为20mm的圆管。试利用平板边界层厚度的计算式和公式（4-59）估算进口段长度，并对计算结果进行比较，分析其不同的原因。
解：由物性表查得 ，
为层流
（1）按式（4-59）计算

（2）按平板层流边界层厚度式计算
由 ，当时

二者差别较大。其主要原因是：流体在圆管中流动时，由于流体的连续性，使得边界层外的流速加速，而不是已知保持进口处的速度。因此采用平板边界层的公式计算圆管进口段长度是不合适的。
18. 已知不可压缩流体在一很长的平板壁面上形成的层流边界层中，壁面上的速度梯度为。设流动为稳态，试从普兰德边界层方程出发，证明壁面附近的速度分布可用下式表示

式中，为沿板长方向的压力梯度，y为由壁面算起的距离坐标。
证：对于二维平板边界层，普兰德边界层方程为
（1）
由于板很长，可以认为

由连续性方程

得
在平板壁面上，，因此由上式可知，在边界层内。由此可将式（1）简化为

上式左端是y的函数，右端是x的函数，二者要相等，必须使得
＝常数
上式积分求解，得

由题意，当时，，故

又当时，由壁面不滑脱条件，，故

因此，速度分布为

证毕。

习题19附图
19. 如本题附图所示，不可压缩粘性流体沿半径为的无限长圆柱体表面作两维轴对称稳态流动，在柱面上形成层流边界层。设边界层外的来流速度为常数，不计质量力的影响，试从一般连续性方程和运动方程出发，证明该流动的层流边界层方程为

及
证：如本题附图所示，外部流动沿着z方向，且由于＝常数，故

采用柱坐标系的方程，并考虑到边界层中的流动是二维轴对称，有
，
故相应的动量方程和连续性方程为

再利用“壁面坐标”，，将坐标建立在壁面上，x轴沿着壁面且平行于圆柱体的轴线，y轴垂直于壁面。上述方程可改写为

及
根据边界层内的几何特性，( L为物体的特征尺寸)。显然，经量阶比较有

因此，圆柱体上的轴对称层流边界层方程可简化为

及
20. 不可压缩流体以的速度流入宽为b、高为2 h的矩形通道（），从进口开始形成速度边界层。已知边界层的厚度可近似按 估算，式中x为沿流动方向的距离。试根据上述条件，导出计算流动进口段长度Le的表达式。
解：当（矩形高度的一半）时，边界层在通道的中心汇合，此时的流动距离即为流动进口段长度，故

解得

或
式中
21. 当流体绕过物体运动时，在什么情况下会出现“逆压力梯度” ？是否存在逆压力梯度的条件下，一定会发生边界层分离，为什么？
解：当主流流体和边界层中的流体均处于减速加压状态下时，出现逆压力梯度。
在存在逆向压力梯度条件下，只有当存在停滞点即在该点速度能消耗殆尽，速度为零，压力较上有大时，才出现边界层分离现象。

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