第九章微分方程模型有解答.doc

嗯，很好~快乐就好~如果我的存在只能给你压力，不如放开手让彼此解脱。让我们都能幸福着，在各自的路程快乐

第五章 微分方程模型
建立微积方程模型要对研究对象作具体分析。一般有以下三种方法：1、根据规律建模，2、用微元法建模，3、用模拟法建模。
§5.1 根据规律建模
在数学、力学物理、化学等学科中已有许多经过实践的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射规律，曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率。我们就可以根据相应的规律，列出常微分方程。下面以目标跟踪问题为例介绍。
设位于坐标原点的甲舰向位于轴上点处的乙舰发射导弹，但始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度沿平行于轴的直线行驶，导弹的速度是,求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中?
解：设导弹轨迹为y=y(x)，经过时间t，导弹位于P(x,y),乙舰位于点Q。由于导弹头始终对准乙舰，故此时PQ就是曲线y(x)在点P处的切线，因此，由于，由得
，
又因为弧OP的长度为5|AQ|，即

所以 ，
整理得 ，
并有y(0)=0,，解得

当x=1时，即当乙舰行到处被击中，。

§5.2 微元法建模
微元法建模实际上是寻求一些微元之间的关系式。与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。以容器漏水问题为例。
有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出。小孔横截面为1cm2.开始时的容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里面水面的高度h（水面与小孔中心距离）随时间t变化的规律。
解：由流体力学知识知道，水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算：
，
其中0.62为流量系数，S为孔口横截面积。现S=1cm2.故

另一方面，现在［t,t+］内，水面高度由h降至，则

其中r是时刻t的水面半径。因为
，
所以
，
于是
，
由此得
，
满足.解得

此即容器内水面高度h与时间t之间的函数关系式。

P.S matlab程序
clear
syms r; %定义符号变量 r
y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','x') %求通解
y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','y(0)=y0','x') %求特解

§5.3 模拟近似法建模
在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型。这是因为，这些学科中的一些现象的规律我们还不是很清楚，即使有所了解也并不全面，因此，要用数学模型进行研究只能在不同的假设下去模拟实际的现象。然后再把解得的结果同实际情况作对比。以交通管理问题为例。
在交通十字路口，都会设置红绿灯。为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。对于一些驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远。那么，黄灯应亮多长时间合理呢？、
解：各段时间应该满足以下关系：
黄灯状态应持续的时间=驾驶员反应时间+车通过交叉路口时间+通过刹车距离的时间。
设v0-----表示法定速度，I-----交叉路口宽度，L-----典型车身长度。则通过路口的时间为，（车尾通过路口）。下面计算刹车距离。
设w----为汽车的重量，u------摩擦系数，则摩擦力=w，汽车在停车过程中，行驶距离x与时间t的关系可由下面微分方程求得（F=ma).
满足：，于是刹车距离就是直接到速度v=0时汽车驶过的距离，由上式得 。令x’=0，所以刹车时所用时间，刹车距离由上面得黄灯状态时间为
，
其中T是驾驶员反应时间，A,v0关系（如图）（即黄灯周期与法定速度的关系）。

假设T=1s,L=4.5m,I=9m,另外，我们取具有代表性的u=0.2,，当v0=45，60，80km/h时，黄灯时间如下表示。
v0 (km/h)
A(s)
经验法的值（s）
45
5.27
3
60
6.06
4
80
7.28
5
经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些。这使人想起，许多交叉路口红绿灯的设计可能使车辆在绿灯转为红灯时正处于交叉路口。
§5.4 微分方程模型实例
例1.最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼（鲥鱼）的最优捕捞策略：
假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，…，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55,17.86,22.99(克)；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）;这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个） ，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×10 11/（1.22×10 11+n）.
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13 mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
（1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。
（2） 某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组。鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式。该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高。
问题分析
要求研究的问题是：对某种鱼的最优捕捞策略。
1. 鱼的情况
具体数据如下表：
i
mi(g)
r(1/年)
ui (个/条)
1
2
3
4
5.07
11.55
17.86
22.99
0.8
0.8
0.8
0.8
0
0
其中，i表示i龄鱼，mi表示龄鱼的质量，r表示龄鱼的自然死亡率，ui表示平均每条i 龄鱼的产卵量。
如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）不变，这时单位时间捕捞量将与i成正比，比例系数之比为使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3、4龄鱼，其中两个
捕捞强度系数之比为k3:k4=0.42:1,k1=k2=0渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
2.基本假设
假设I:一年中，鱼的产卵是集中在8月底一次性完成，捕捞工作只在8个月进行。
假设II:各龄鱼（不包括4龄鱼）只在年末瞬时才长大一岁，鱼卵在年终才孵化完毕，成为1龄鱼。这样在计算产卵量时，3，4龄鱼的条数为t=8/12.
3.应解决的问题
1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。
2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组。鱼群的数量分别为x1,x2,x3,x4, 如果仍用固定努力量的捕捞方式。该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高。
记号和约定
：i龄鱼在t时刻的数量（t以年为单位，i=1,2,3,4)；
：i龄鱼的捕捞量（i=3,4)； M：捕捞总质量：
Q：每年的产卵中能孵化成l龄鱼的数量； N：每年的产卵量；
模型的建立
由于鱼的数量随时间变化，可视为为连续函数，它的变化与时间t，自然死亡率r，单位时间捕捞量，卵的成活率有关。
模型1
定义单位死亡率

单位时间捕捞量

则捕捞时满足

对各龄鱼存在以下方程（令，则）
，t
，t

由此可解得
，
，
，
，
，

收获量为
。
模型II
要实现持续收获，即每年初，各年龄组鱼群数量不变，同时需满足以下等式（M为捕捞总质量，N为卵量，Q为存活量），由此可建立模型：
Max M=

其中,
利用约束关系，将均用来表示，从而得出M关于k的一元函数关系：
，
，
，
，
，
用计算机搜索，得出近似解，结果为：
年最大收获量：
最佳捕捞强度系数：
此时，，，，
。
四.模型结果及实用性讨论
当时，鱼场可实现持续捕捞，即满足了持续捕捞条件。在此前提下取得了最优的捕捞系数：3龄龟的捕捞系数为7.4592，4龄龟的捕捞系数为17.76，年最大捕捞量为：3.88685（克）。

例2．存贮型模型
某厂生产若干种商品，轮换生产时因更换设备要付准备金，产量大于需要时因积压资金要付贮存费。
今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小，设该厂生产能力非常大，即所需数量可在短时间内产出。
要求：不只是回答问题，而且要建立生产周期，产量与需求量，准备费，贮存费之间的关系。
问题分析与思考
·日需求100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
·每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元，故每日费用为500元。
·10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100＝4500元，准备费5000元，总计9500元。平均每天费用为950元。
·50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…100=122500元。准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元。
·周期短，产量小——贮存费少，准备费多。
·周期长，产量大——准备费少，贮存费多。
是否存在最佳的周期和产量，是总费用（二者之和）最小？
这是一个优化问题，关键在建立目标函数，显然不能用一个周期的总费用作为目标函数。
目标函数——每日总费用的平均值。
模型假设
1．产品每天的需求量为常数r；
2．每次生产准备费为。每天每件产品贮存量为。
3．T天生产一次（周期为T），每次生产Q件，且贮存量降到零时，Q件产品立即生产出来（生产周期不记）；
4．为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
建模目的 设已知，求T，Q，使每天总费用的平均值最小。
模型建立
离散问题连续化

将贮存量表示为时间的函数，生产Q件，贮存量，以需求r的速率递减，直到.由此得
一周贮存费

一周总费用

每天总费用平均值（目标函数）

模型求解
求T使
由有

模型分析

模型应用
经济批量订购公式（EOQ公式）
用于订货，供应，存贮情况
每天需求量r，每次订货费为c1，每天每件贮存费为c2，T天订货一次（周期T），每次订货Q件，且当贮存量降到零时，Q件立刻到货。

这是不允许缺货的贮存模型
问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？
允许缺货的存贮模型

当存贮量降到零时仍有需求r，出现缺货，造成损失。
原模型假设：当存贮量降到零时件立即生产出来（或立即到货）
现假设：允许缺货，每天每件缺货损失费c3，缺货需补足。
周期T，t=T1贮存量降为零。
T一周期贮存费

一周期缺货费

一周期总费用

每天总费用平均值（目标函数）

求T，Q使为不允许缺货的贮存模型相比，T记作他T’，Q记作Q’
。

例3.传染病模型
随着卫生设施的改变，医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱，天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制，但是一些新的，不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延;2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题，是建立传染病的数学模型，以分析传染病的传播规律。
模型1 已感染人数（病人）
假设每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为λ，建立如下数学模型

由，推出
若有效接触的是病人，则不能使病人数增加，必须区分易感染者（病人）和未感染者（健康人）

% P.S 上面微分方程的matlab程序
clear
Syms r %定义符号变量 r
y=dsolve('Dy=r*y','t') %求通解
y=dsolve('Dy=r*y','y(0)=y0','t') %求特解
得到
y =

y0*exp(r*t) 修改一下

模型2区分已感染者和未感染者（SI模型）
假设：
（1） 总人数N不变，病人和健康人数比例分别为i（t），s（t）。
（2） 每个病人每天有效接触人数为λ，且使接触的健康人致病，λ为日接触率
建立数学模型
。
由得

称为Logistic模型，可解出

% P.S matlab程序
clear
syms r; %定义符号变量 r
y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','x') %求通解
y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','y(0)=y0','x') %求特解

令是传染病高潮到来时刻。（日接触率）
，说明病人不可以治愈，这是不可能的。要改善模型

模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染（SIS模型）
增加假设
3）病人每天治愈的比例为，即日治愈率
建立数学模型

是日接触率，是感染期，是一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人人数。
思考
模型2（SI模型）如何看做模型3（SIS模型）的特例
模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型
假设
1） 总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为i(t),s(t),r(t)
2） 病人的日接率，日治愈率，接触数
建立数学模型
s（t）+ i(t)+ r(t)=1
需建立i(t),s(t),r(t)的两个方程

（通常很小）
%%%%%%%%%%%%%做数值计算
%以下存到m文件
function y=ill(t,x)
a=1;b=0.3;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';
以下在matlab中运行
ts=0:50;
x0=[0.02,0.98];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0); % 大家百度ode45的意义
[t,x]
plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause
plot(x(:,2),t,x(:,1)),grid,

i(t）,s(t)的图形

无法求出i(t),s(t)的解析解，在相平面s-t上研究解的性质。由上模型得

求解得到如下相轨线（即i-s的曲线）
i(s)=( )-s+
定义域D=,在D内作相轨线i(s)的图形，进行分析

i（s）图形：s(t）↓, ,,满足

＞1/先升后降至0，传染病蔓延。
＜1/单调降至0，传染病不蔓延。
预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——＜1/。
（日接触率）↓卫生水平↑
（日治愈率）↑医疗水平↑
降低，即群体免疫。
的估计：由，忽略得。

具体内容可以看姜启源的数学模型（第三版） 第135页