第四章-恒定电流场.pdf

第四章第四章恒定电流场恒定电流场主主 要要 内内 容容电流、电动势、电流连续性原理、能量损耗电流、电动势、电流连续性原理、能量损耗1.电流电流2.电动势电动势3.恒定电流场恒定电流场4.恒定电流场边界条件恒定电流场边界条件5.导电介质的损耗导电介质的损耗6.恒定电流场与静电场比拟恒定电流场与静电场比拟1.1.电流电流分类：分类：传导电流传导电流与与运流电流运流电流。传导电流传导电流是是导体导体中的自由电子（或空穴）中的自由电子（或空穴）或者是或者是电解液电解液中的离子运动形成的电流中的离子运动形成的电流。运流电流运流电流是电子、离子或其他带电粒子是电子、离子或其他带电粒子在在真空真空或或气体气体中运动形成的电流。中运动形成的电流。单位时间内穿过某一截面的电荷量称为单位时间内穿过某一截面的电荷量称为电流电流，以，以I 表示。电流的单位为表示。电流的单位为A（安培安培）。因此因此，电流电流 I 与电荷与电荷 q 的关系为的关系为tqIdd=电流密度电流密度是一个矢量，以是一个矢量，以 J 表示。其方向为表示。其方向为正正电电荷的运动方向，大小为单位时间内荷的运动方向，大小为单位时间内垂直垂直穿过单位面积穿过单位面积的电荷量。的电荷量。穿过任一有向面元穿过任一有向面元 dS 的电流的电流 dI 与电流密度与电流密度 J 的的关系为关系为SJdd=I=SI d SJ穿过某一截面的穿过某一截面的电流电流等于穿过该截面电流密度等于穿过该截面电流密度的的通量通量，即即大多数导电大多数导电介介质中质中，某点的传导电流密度某点的传导电流密度J与该点的电场强度与该点的电场强度 E 成正比成正比，即即EJ=式中，式中，称为称为电导率电导率，单位为，单位为 S/m。上式又称为上式又称为欧姆定律欧姆定律的的微分形式微分形式。IRU=值愈大表明导电能力愈强。值愈大表明导电能力愈强。电导率为电导率为无限大无限大的导体称为的导体称为理想导电体理想导电体。电导率为电导率为零零的介质称为的介质称为理想介质理想介质。71017.671080.531071010.451071054.3111071057.112107101510介质电导率(S/m)介质电导率(S/m)银银海海 水水4紫紫 铜铜淡淡 水水金金干干 土土铝铝变压器油变压器油黄黄 铜铜玻玻 璃璃铁铁橡橡 胶胶在理想导电体中在理想导电体中能够存在能够存在恒定电场？恒定电场？运流电流运流电流的电流密度的电流密度不与不与电场强度成正比，而电场强度成正比，而且电流密度的且电流密度的方向方向与电场强度的与电场强度的方向方向也可能不同也可能不同。式中的式中的为为电荷密度电荷密度。介质的介质的导电性能导电性能也有均匀与非均匀、线性与非也有均匀与非均匀、线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同。含义与前相同。vJ=可以证明可以证明上述公式仅适用于上述公式仅适用于各向同性各向同性的的线性线性介质。介质。2.电动势电动势首先讨论首先讨论开路开路情况下外源内部的作用过程情况下外源内部的作用过程。在外源中在外源中非静电力非静电力作作用下，用下，正正电荷不断地移向电荷不断地移向正正极板极板 P，负负电荷不断地电荷不断地移向移向负负极板极板 N。极板上的电荷在外源极板上的电荷在外源中形成电场中形成电场 E，其方向由，其方向由正正极板指向极板指向负负极板。极板。E导电媒质PNE外 源极板上电荷产生的电场力阻极板上电荷产生的电场力阻止电荷移动，一直到该电场力止电荷移动，一直到该电场力等于等于非静电力时，电荷运动方才非静电力时，电荷运动方才停止停止，极板上的电荷也就保持极板上的电荷也就保持恒定恒定。PNE外 源既然外源中的非静电力表现为对于既然外源中的非静电力表现为对于电荷电荷的作用力，的作用力，因此，这种非静电力是由因此，这种非静电力是由外电场外电场产生的，以产生的，以 E 表示。表示。当当时，电荷运动停止。时，电荷运动停止。EE=若外源的极板之间若外源的极板之间接上导接上导电介质电介质，正极板上的，正极板上的正电荷正电荷通通过导电介质移向过导电介质移向负极板负极板；负极；负极板上的板上的负电荷负电荷通过导电介质移通过导电介质移向向正极板正极板。E导电介质PNE外 源因而导致因而导致，外电场又使外源中的电荷，外电场又使外源中的电荷再次再次移动移动，外源不断地向，外源不断地向正正极板补充新的正电荷，极板补充新的正电荷，向向负负极板补充新的极板补充新的负负电荷。电荷。EE极板上的电荷通过导电介质不断极板上的电荷通过导电介质不断流失流失，外源又，外源又不断地向极板不断地向极板补充补充新电荷，从而维持了新电荷，从而维持了连续不断连续不断的的电流。因此，为了在导电介质中产生连续不断的电电流。因此，为了在导电介质中产生连续不断的电流，必须依靠流，必须依靠外源外源。当达到当达到动态平衡动态平衡时，极板上的电荷分布保持时，极板上的电荷分布保持不不变变。这样，极板电荷在外源中以及在导电。这样，极板电荷在外源中以及在导电介介质中产质中产生生恒定电场恒定电场，且在外源内部保持，且在外源内部保持，在包括，在包括外源及导电外源及导电介介质的整个回路中维持质的整个回路中维持恒定恒定的电流。的电流。EE=注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不是静止的。它们是在不断地上的电荷并不是静止的。它们是在不断地更替更替中保中保持分布特性不变，因此，这种电荷称为持分布特性不变，因此，这种电荷称为驻立电荷驻立电荷。驻立电荷是在驻立电荷是在外源外源作用下形成的，一旦外源消作用下形成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。失，驻立电荷也将随之逐渐消失。外电场由负极板外电场由负极板 N 到正极板到正极板 P 的线积分称为外的线积分称为外源的源的电动势电动势，以，以e 表示，即表示，即lEd =PNe达到达到动态平衡动态平衡时，在外源内部时，在外源内部，所以，所以上式又可写为上式又可写为EE=lE d =PNe考虑到考虑到，那么，上式可写成，那么，上式可写成EJ=d0l=Jl驻立电荷产生的恒定电场与静止电荷产生的驻立电荷产生的恒定电场与静止电荷产生的静电场一样静电场一样，也是一种也是一种保守场保守场。因此因此，d0l=El对于对于均匀均匀导电介质，上式变为导电介质，上式变为 d0l=Jl根据旋度定理根据旋度定理可见，均匀导电介质中，恒定电流场是可见，均匀导电介质中，恒定电流场是无旋无旋的。的。d0l=Jl d0l=Jl0=J0=J3.恒定电流场恒定电流场设驻立电荷的体密度为设驻立电荷的体密度为，则则=VVq d ddSVqVtt=JS那么那么恒定电流场的电荷分布恒定电流场的电荷分布与时间无关与时间无关，即即，得得0=t d0S=JS电流密度通过任一闭合面的通量为电流密度通过任一闭合面的通量为零零。可见电流线是可见电流线是连续闭合连续闭合的，这一特性称为的，这一特性称为电流电流连续性原理连续性原理。根据散度定理根据散度定理恒定电流场是恒定电流场是无散的无散的。对于恒定电流场对于恒定电流场 d0S=JS ddSVVtJS=t=J上式为电荷守恒定律的上式为电荷守恒定律的微分形式微分形式。0=J4.恒定电流场边界条件恒定电流场边界条件已知恒定电流场方程的已知恒定电流场方程的积分形式积分形式为为 d0l=Jl d0S=JS由由此此导出边界两侧电流密度的导出边界两侧电流密度的切向切向和和法向法向分分量关系分别为量关系分别为2t21t 1JJ=2n1nJJ=可见可见，电流密度的电流密度的切向切向分量分量不连续不连续，但其但其法向法向分量分量连续连续。已知已知，那么导电介质中，那么导电介质中恒定电场恒定电场的边界的边界条件为条件为EJ=理想导电体表面不可能存在切向电场理想导电体表面不可能存在切向电场，因而因而也不可能存在也不可能存在切向恒定电流切向恒定电流。2t21t 1JJ=2n1nJJ=2tt 1EE=n221n1EE=当电流由理想导电体当电流由理想导电体进出进出时时，电流线总是电流线总是垂直垂直于理想导电体表面于理想导电体表面。5.导电介质的损耗导电介质的损耗在导电介质中，自由电子移动时要与原子晶在导电介质中，自由电子移动时要与原子晶格发生格发生碰撞碰撞，结果产生热耗。，结果产生热耗。沿电流方向取出一个圆柱沿电流方向取出一个圆柱体，体，如图所示。令圆柱体的端如图所示。令圆柱体的端面分别为两个面分别为两个等位面等位面。在在d t 时间内有时间内有 d q电荷自左端面移至右端面，电荷自左端面移至右端面，那么那么电场力电场力作的功为作的功为lqEqWddddd=lEdlUJdS电场电场损失损失的功率为的功率为VEJlSEJlEIltqEtWPddddddddd=那么那么，单位体积单位体积中的功率损耗为中的功率损耗为22JEEJpl=当当 J 和和 E 的方向不同时，的方向不同时，单位体积单位体积中的功率中的功率损耗可以表示为损耗可以表示为JE=lp此式称为此式称为焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式，它表示，它表示某点某点的功的功率损耗等于率损耗等于该点该点的电场强度与电流密度的的电场强度与电流密度的标积标积。设圆柱体两端的设圆柱体两端的电位差电位差为为U，则则。lUEd=又知又知，那么那么单位体积单位体积中的功率损失可表示为中的功率损失可表示为SIJd=VUIlSUIplddd=可见可见，圆柱体中的圆柱体中的总总功率损失为功率损失为UIVpPl=d焦耳定律焦耳定律dlUJdS例例1 已知一平板电容器由两层非理想介质串联已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。当外加恒定电压为构成，如图所示。当外加恒定电压为 U 时，试求两时，试求两层介质中的电场强度，电场储能密度及功率损耗密度。层介质中的电场强度，电场储能密度及功率损耗密度。解解电容器中的电流线与电容器中的电流线与边界边界垂直垂直，求得，求得2211EE=UdEdE=+2211又又求出两种介质中的电场强度分别为求出两种介质中的电场强度分别为UddE122121+=UddE122112+=11d1d2U22两种介质中电场两种介质中电场储能密度储能密度分别为分别为222e22111e21 ,21EwEw=功率损耗密度功率损耗密度分别为分别为22222111 ,EpEpll=两种特殊情况：两种特殊情况：若若，则则02=01=E01e=w01=lp22/EU d=若若，则则01=11/EU d=02=E02e=w02=lpd1d2E2=01=0U+d1d2E1=02=0U+例例2设一段环形导电介质，其形状及尺寸如图所示。设一段环形导电介质，其形状及尺寸如图所示。计算两个端面之间的电阻。计算两个端面之间的电阻。Uyxtabr0(r,)O解解 选用圆柱坐标系。设两个选用圆柱坐标系。设两个端面之间的电位差为端面之间的电位差为U，且令，且令当当时，电位时，电位。0=01=当当时时，电位电位。2=U=2由于电位由于电位仅与角度仅与角度有关有关，因此电位满足的因此电位满足的方程式为方程式为0dd22=其通解为其通解为21CC+=利用边界条件，求得利用边界条件，求得2U=rUr2eeEJ=电流密度电流密度 J 为为由由的端面流进的电流的端面流进的电流 I 为为2=)d(2drtrUISeeSJS=2 lnU tba=因此该导电块的两个端面之间的电阻因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为为=abtIURln 26.恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场恒定电流场)0(=E静电场静电场)0(=d0l=Jl d0S=JS0=J0=J d0l=El d0S=ES0=E0=E电流密度电流密度 J 电场强度电场强度 E电流线电流线 电场线电场线当当边界条件边界条件相同时，电流密度的分布与电相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。场强度的分布特性完全相同。PN电流场电流场PN静电场静电场根据这种类似性，可以利用静电场的结果根据这种类似性，可以利用静电场的结果直接求解恒定电流场。直接求解恒定电流场。由于恒定电流场容易实现且由于恒定电流场容易实现且便于测量便于测量，可用边，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为这种方法称为静电比拟静电比拟。CR=CG=利用两种场方程，可以求出两个电极之间的电利用两种场方程，可以求出两个电极之间的电阻及电导与电容的关系为阻及电导与电容的关系为若已知两电极之间的若已知两电极之间的电容电容，根据上述两式，即，根据上述两式，即可求得两电极间的可求得两电极间的电阻电阻及及电导电导。已知面积为已知面积为 S，间距为，间距为 d 的平板电容器的的平板电容器的电电容容，若填充的非理想介质的电导率为，若填充的非理想介质的电导率为，则平板电容器极板间的则平板电容器极板间的漏电导漏电导为为dSC=dSdSG=又知单位长度内同轴线的又知单位长度内同轴线的电容电容。那么那么，若同轴线的填充介质具有的电导率为若同轴线的填充介质具有的电导率为，则单位长度内同轴线的则单位长度内同轴线的漏电导漏电导为为)/ln(21abC=)/ln(21abG=