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第1章 随机事件及其概率习题解答
第1章 随机变量及其概率
1，写出下列试验的样本空间：
(1) 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
(2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
(3)连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
(4)抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解：（1）；（2）；（3）；（4）。
2，设是两个事件，已知，求。
解：，
，
，
5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。
（2）4只中至少有2只红球。
（3）4只中没有白球。
解: （1）所求概率为；
（2） 所求概率为；
（3）所求概率为。
6，一公司向个销售点分发张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到张提货单的概率。
解：根据题意，张提货单分发给个销售点的总的可能分法有种，某一特定的销售点得到张提货单的可能分法有种，所以某一特定的销售点得到张提货单的概率为。
8，（1）设，求,
.
（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
解：（1）由题意可得，所以
， ，
，
，
。
（2）设表示“第次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为，它的概率为（根据乘法公式）

。
10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以表示事件“一病人以为自己患癌症”，以表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
解：（1）根据题意可得
；
；
（2）根据条件概率公式：；
（3）；
（4）；
（5）。
11，在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。
解：根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为
；或者。

12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求
（1）该人两种症状都没有的概率；
（2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。
解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为；
（2）至少有一种症状的概率为；
（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为。
13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。
通讯线
通讯量的份额
无误差的讯息的份额
1
0.4
0.9998
2
0.3
0.9999
3
0.1
0.9997
4
0.2
0.9996
解：设“讯号通过通讯线进入计算机系统”记为事件，“进入讯号被无误差地接受”记为事件。则根据全概率公式有

=0.99978
16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。
解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件，“一讯息是可信的”记为事件。根据Bayes公式，所要求的概率为
19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。
解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为
第一次就检验出该型血的概率为0.4；
第二次才检验出该型血的概率为0.60.4=0.24；
第三次才检验出该型血的概率为0.620.4=0.144；
第四次才检验出该型血的概率为0.630.4=0.0864；
所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
2
20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为，试求系统的可靠性。
1
第20题
5
4
3

解：设“元件能够正常工作”记为事件。
那么系统的可靠性为

第二章 随机变量及其分布
3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。
解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为
。
（1）
（2）；
（3）；
（4）

5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立）
解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以

（查表得）。
7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。
解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数。
（1）；
（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以
。
（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为

8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为， （1）确定；（2）求；（3）求；（4）求。
解：（1）根据，得到；
（2）；
（3）；
（4）。
9，设随机变量X的概率密度为，求t的方程有实根的概率。
解：方程有实根表明，即，从而要求或者。因为
，
所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.
11，设实验室的温度X（以计）为随机变量，其概率密度为

（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。
（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。
（3） 求，。
解：（1）；
（2）根据题意，所以其分布律为

（3） ，
。

12，（1）设随机变量Y的概率密度为
试确定常数C，求分布函数，并求，。
（2）设随机变量X的概率密度为
求分布函数，并求，。
解：（1）根据，得到。

；

（2）
；
。
15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
试确定常数，并求，，。
解：根据，可得
，
所以。
；
。
16，设随机变量（X，Y）在由曲线所围成的区域均匀分布。
（1） 求（X，Y）的概率密度；
（2） 求边缘概率密度。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度必定是一常数，故由
，得到。
（2）；

20，设随机变量（X，Y）在由曲线所围成的区域均匀分布。
（1） 写出（X，Y）的概率密度；
（2） 求边缘概率密度；
（3） 求条件概率密度，并写出当时的条件概率密度。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度必定是一常数，故由
，得到。
（2）；
。
（3）当时，。
特别地，当时的条件概率密度为
。
21，设是二维随机变量，的概率密度为
且当时的条件概率密度为，
（1） 求联合概率密度；
（2） 求关于的边缘概率密度；
（3） 求在的条件下的条件概率密度。
解：（1）；
（2）；
（3）当时，。

22设一离散型随机变量的分布律为

-1 0 1

又设是两个相互独立的随机变量，且都与有相同的分布律。求的联合分布律。并求。
解：（1）由相互独立性，可得的联合分布律为
，
结果写成表格为
Y1 Y2
-1
0
1
-1

0

1

。
23，设是两个相互独立的随机变量，，的概率密度为

试写出的联合概率密度，并求。
解：根据题意，的概率密度为
所以根据独立定，的联合概率密度为
。

25，设随机变量，求的概率密度。
解：设的概率密度分别为，的分布函数为。则
当时，，；
当时，，
。
所以，。
26，（1）设随机变量的概率密度为 求的概率密度。
（2） 设随机变量，求的概率密度。
（3）设随机变量，求的概率密度。
解：设的概率密度分别为，分布函数分别为。则
（1）当时，，；
当时，，
。
所以，。
（2）此时。
因为，
故， ，
所以，。
（3）当时，
，
故， 。
所以，。
27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为
求圆面积A的概率密度。
解：圆面积，设其概率密度和分布函数分别为。则
， 故

所以，。
30、随机变量X和Y的概率密度分别为
，
，X,Y相互独立。求的概率密度。
解： 根据卷积公式，得
，。
所以的概率密度为
。

31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求的概率密度。
解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以
，根据卷积公式，得 。
32，设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为

（1） 求边缘概率密度。
（2） 求的分布函数。
（3） 求概率。
解：（1）；
。
（2）的分布函数为
因为 ； ，
所以，。
（3）。
第三章 随机变量的数字特征
6、（1）某城市一天水的消费量X（百万升计）是一个随机变量，其概率密度为
求一天的平均耗水量。
（2）设某种动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，起分布函数为
求这种动物的平均寿命。
解：（1）一天的平均耗水量为
（百万升）。
（2）这种动物的平均寿命为
（年）。
12，解：
（不符书上答案）
16，解：，
，
。
17，解：根据题意，可得利润的分布律为

2000 1000 0 -1000 -2000

0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
因此，
（元）

。
18解，
，
，。（本题积分利用了，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）
20，解：（1）当时，。
（2）当时，，即不存在。
（3），当时，，
所以，。
（4）当时，，所以不存在。
22，解：根据题意有
。

。
23，解：（1）因为相互独立，所以

。
（2）根据题意，可得，。

。
25，将n只球（1~n号）放入n个盒子（1~n号）中去。一个盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。记X为总的配对表。求E(X).
解：引入随机变量定义如下

则总的配对数，而且因为，所以，。
故所以，。
第四章正态分布
1，（1）设，求，，；
（2）设，且，，求。
解：（1），

（2），所以；
，所以，即。
4，已知美国新生儿的体重（以g计）。
（1） 求；
（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小于2719的个数，求。
解：根据题意可得。
（1）
（或0.8673）
（2），
根据题意，所以
。
7，一工厂生产的某种元件的寿命（以小时计）服从均值，均方差为的正态分布，若要求，允许最大为多少？
解：根据题意，。所以有
，
即，，从而。
故允许最大不超过31.25。
8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在，液体的温度（以计）是一个随机变量，且，
（1） 若，求小于89的概率；
（2） 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问至少为多少？
解：因为，所以。
（1）；
（2）若要求，那么就有，即或者，从而，最后得到，即至少应为81.163。
11,设某地区女子的身高（以m计），男子身高（以m计）。设各人身高相互独立。（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。
解：（1）因为，所以
；
（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为
，
随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布，所以至少有4名的身高大于1.60的概率为

（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量，。则，所以这50名女子的平均身高达于1.60的概率为

13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到时结束。以记容器中饮料的重量。设台秤的误差为，以g计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正）
（1）写出的关系式；
（2）求的分布；
（3）确定使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。
解：（1）根据题意有关系式或者；
（2）因为，所以；
（3）要使得，即要
，
所以要求，即，。所以，要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，至少为492.4g。
16，以记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，服从同一分布，且相互独立。，求的近似值。
解：根据题意可得。由独立同分布的中心极限定理可得

第5章 样本及抽样分布
1,设总体X服从均值为1/2的指数分布，是来自总体的容量为4的样本，求
（1）的联合概率密度；（2）；
（3）；（4），；（5）。
解：因为X的概率密度为，，所以
（1） 联合概率密度为
，（）
（2）的联合概率密度为，所以

（3） ；
（4），（由独立性）
；
（5）
。
2，设总体，是来自的容量为3的样本，求
（1），（2），
（3），（4），，
（5）。
解：（1）

；
（2）

（本题与答案不符）
（3）
；
（4）
；
；
（5）因为，所以
。
4，（1）设总体，是来自的容量为36的样本，求；
（2）设总体，是来自的容量为5的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。
解：（1）根据题意得，所以
；
（2） 因为，
所以。
5，求总体的容量分别为10和15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。
解：设容量分别为10和15的两独立样本的样本均值分别记为和，
则，，所以，
。
第六章参数估计
2，设总体具有概率密度，参数未知，是来自的样本，求的矩估计量。
解：总体的数学期望为，令可得的矩估计量为。
7，设是总体的一个样本，为一相应的样本值。
（1） 总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计量和估计值。
（2） 总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计值。
（3） 设已知，未知，求的最大似然估计值。
解：（1）似然函数为 ，相应的对数似然函数为。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。相应的最大似然估计量为。
（2）似然函数为 ，相应的对数似然函数为。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
。
（3）因为其分布律为
所以，似然函数为 ，相应的对数似然函数为。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
。
9，设总体，，未知，已知，和分别是总体和的样本，设两样本独立。试求最大似然估计量。
解：根据题意，写出对应于总体和的似然函数分别为
，
，
相应的对数似然函数为
，
，
令对数似然函数分别对和的一阶导数为零，得到
，
算出最大似然估计量分别为，。
10，（1）验证均匀分布中的未知参数的矩估计量是无偏估计量。
（2）设某种小型计算机一星期中的故障次数，设是来自总体的样本。①验证是的无偏估计量。②设一星期中故障维修费用为，求。
（3）验证是的无偏估计量。
解：（1）均匀分布中的未知参数的矩估计量为。
由于，所以是的无偏估计量。
（2）①因为，所以是的无偏估计量。
②。
（3）因为，
所以，是的无偏估计量。
11，已知是来自均值为的指数分布总体的样本，其中未知。设有估计量，，。
（1） 指出中哪几个是的无偏估计量。
（2） 在上述的无偏估计量中哪一个较为有效？
解：（1）因为

，
。
所以，是的无偏估计量。
（2）根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出
，
所以，是比更有效的无偏估计量。

12，以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设，今取得一容量为的样本，测得其样本均值为，求（1）的置信水平为0.95的置信区间，（2）的置信水平为0.90的置信区间。
解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论，的置信水平为的置信区间为。
（1）的置信水平为0.95的置信区间为
。
（2）的置信水平为0.90的置信区间为
。
15，一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得样本均值分，样本标准差分。设样本来自正态总体，均未知。求干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间。
解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间为
。
20，设以X,Y分别表示健康人与怀疑有病的人的血液中铬的含量（以10亿份中的份数计），设，，均未知。下面是分别来自X和Y的两个独立样本：
X: 15, 23, 12, 18, 9, 28, 11, 10
Y: 25, 20, 35, 15, 40, 16, 10, 22, 18, 32
求的置信水平为0.95的单侧置信上限，以及的置信水平为0.95的单侧置信上限。
解：根据题中数据计算得到，。
的置信水平为0.95的单侧置信上限为
。
的置信水平为0.95的单侧置信上限为
，
所以，的置信水平为0.95的单侧置信上限为
。
第七章假设检验
2，《美国公共健康》杂志（1994年3月）描述涉及20143个个体的一项大规模研究。文章说从脂肪中摄取热量的平均百分比是38.4%（范围是6%到71.6%），在某一大学医院进行一项研究以判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于38.4%，抽取了15个病人测得平均摄取量为40.5%，样本标准差为7.5%。设样本来自正态总体，均未知。试取显著性水平检验假设：。
解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，
检验统计量为。
代入本题具体数据，得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设，即认为平均摄取量显著地为38.4%。
3，自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值为8.3，标准差为0.025。设样本来自正态总体，均未知。试依据这一样本取显著性水平检验假设：。
解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题，
检验统计量为。
代入本题具体数据，得到。
检验的临界值为。
因为（或者说），所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设，即认为铜含量显著地小于8.42%。
13，用包装机包装产品，将产品分别装入包装机上编号为1~24的24个注入口，奇数号的注入口在机器的一边，偶数号的在机器的另一边。以分别表示自奇数号和偶数号注入口注入包装机的产品的质量（以g计）。设， ，均未知。在总体X和Y中分别取到样本:
X: 1071,1076,1070,1083,1082,1067,1078,1080,1084,1075,1080,1075
Y: 1074,1069,1067,1068,1079,1075,1082,1064,1073,1070,1072,1075
设两样本独立。试检验假设()。
解：这是两个正态总体（方差相等但未知）均值之差的检验问题，属于双边检验。检验统计量为
代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。因为，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设，即认为产品均值有显著差异。
15，分别在两种牌号的灯泡中各取样本容量为的样本，测得灯泡的寿命（以小时计）的样本方差分别为。设两样本独立，两总体分别为，分布，均未知。试检验假设()： 。
解：这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于右边检验。检验统计量为
代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为第一个总体的方差不比第二个总体的方差大。

30