（二）：反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造法等证明不等式.doc

不等式的证明（二）：反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造法等证明不等式。

1. 证明不等式的其他方法有：反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造法等，这些方法在证明不等式时各有利弊，不论应用哪种方法，都要注意对知识的灵活运用。
2. 反证法属于间接证法，主要适用于命题的形式为否定式，其主要步骤如下：（1）作出与命题结论相反的假设（反设）；（2）在假设的基础上，经过合理的推导，导出矛盾的结论（归谬）；（3）肯定命题的正确性。在利用反证法证明不等式时，一是要将命题结论的反面找全，不要遗漏；二是要注意在证明过程中，综合运用分析法与综合法的解题思想。
3. 放缩法是证明不等式的一种特殊方法，也是很重要的证明方法。它利用已知的基本不等式或某些函数的有界性、单调性等对新证式子适当放缩。通过证明加强命题以达到证明目的。其证明关键是要有明确的放缩目标，而这个目标来源于对试题的分析。
4. 换元法是把试题中反复出现的代数式用一个字母代替或用一个熟悉的函数替换，达到化繁为简、化生为熟、化难为易的目的。在换元时要注意变元的等价性。
5. 当所证不等式一边为含有某个字母的二次三项式时，可以考虑判别式法。因此此法应用具有局限性。它实质也是利用二次函数的性质来证明与之相关的不等式。
6. 构造法是通过构造方程（组）、函数、数列、不等式等来证明不等式的方法，它将证明不等式化归为比较函数值的大小，此法对数学能力要求较高，在高考或竞赛中经常需要用构造法解题。在利用函数单调性证明不等式的过程中，难点就是构造函数，并且利用这个函数的单调性易证（或是熟悉的函数）。
7. 证明不等式的方法很多，对同一个不等式，思考角度不同，选择的方法也有所不同。因此，同一个不等式证明方法可能有四种、五种，甚至更多，选择更合适、简捷的方法，需要多比较、多思考。因此，不等式的证明对学生而言，没有固定模式，对其能力要求较高。
例1. 若都是小于1的正数，求证：不可能同时大于。
分析：
此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明，可假设命题不成立，则，三个数都大于，即：

因而有下面两个显然的不等式：

若能证明其中有一个不成立，则“命题不成立”的假设就被否定了，故只需证明：

或
证明一：

以上三式相加，得：

若三个数都大于，则就都大于，其和就大于，这与上式矛盾。故假设不成立，命题获证。
证明二：

假设三个数都大于，则它们的积大于，这与上式矛盾，故假设不成立，所以命题获证。
说明：本题两种方法均属反证法，在证明过程中，贯穿了分析法与综合法的解题思想。

例2. 若。
求证：。
证明：

又

综上有：
说明：本题利用放缩法来证明，放缩时，特别要注意掌握放缩的尺度。

例3. 已知，求证：。
分析：
注意到三个正数的关系：，可采用三角代换来证，即令。从而得出结论，另外，也可以直接利用增量换元法，对问题进行转化。
证明一：

又
∴令，
（）
∴不等式左边

证明二：

，设
则
则原不等式转化为证明
即证
即证

由均值不等式知，当且仅当，即时等号成立。

说明：法二这种换元方法，在数列中应用较多，在法二中，通过换元，将问题转化为利用均值不等式就可证明的结论。

例4. 设，，求证：
证明：
由

同理可得：
这表明a、b均为二次方程

的两个根，但，故判别式为正数。
即

从而有，
说明：这个证法的特点是通过确定c的范围来确定a+b的范围。在确定c的范围时，把不等式的证明与不等式的求解沟通了，所用证法是判别式法。

例5. 设。
求证：“＝”当且仅当时成立。
证明：
当时，命题显然成立。
当中至少有一个不为零时，，构造方程：

此方程可化为：
由此可知，该方程没有实数根，或有两个相等的实数根（仅当时）。
故
因此
当且仅当时取“＝”号
说明：此题称为柯西不等式，是竞赛中要求掌握的重要不等式，本题采用构造方程来解题的方式，证明中先讨论的情形是必要的，否则方程未必是关于
的一元二次方程。
一. 选择题。
1. 已知，且，设，则M、N的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
2. 若，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，且，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 设为正常数，的最小值是（ ）
A. B. C. D.

二. 填空题。
5. 若，那么与1的大小关系是_____________。
6. 设，则的最大值是_______________。
7. 若，则的最小值为_______________。

三. 解答题。
8. 设是互不相等的实数，则中不超过的最少有几个？
9. 证明不等式：
10. 设是［0，1］上的实数值函数，证明：存在，使得：。
【试题答案】
一. 选择题。
1. A 2. D 3. D 4. C
二. 填空题。
5.
提示：，将a放大求和。
6. 1
提示：令，换元可得：

7.
提示：
三. 解答题。
8. 提示：不妨设，设m是中的最小者
则
则

得：
可见中最小者必不超过，说明至少有一个满足要求。
当时，

说明中可能只有一个满足不超过。
综上，要求的最少个数为1。
9. 提示：法一（放缩法）
由

令k＝1，2，3，……，n，则有
，，，…，
相加得：
法二（构造函数法）：
设

，即是上的增函数

10. 提示：反设这样的不存在，则对一切均有：

取数对（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）代入，得：

从而

这是一矛盾证明，故假设不成立，则存在，使原不等式成立。