有砟轨道双轨模型振动带隙理论分析_梁玉雄.pdf

第 20 卷 第 4 期2023 年 4 月铁道科学与工程学报Journal of Railway Science and EngineeringVolume 20 Number 4April 2023有砟轨道双轨模型振动带隙理论分析梁玉雄1，冯青松1，陆建飞2，杨舟1，张凌1(1.华东交通大学 轨道交通基础设施性能监测与保障国家重点实验室，江西 南昌 330013；2.江苏大学 土木工程与力学学院，江苏 镇江 212013)摘要：现有的轨道结构振动分析模型通常根据轨道结构对称性将其简化为单根轨道的动力学模型，对其频散特性、振动衰减率进行分析。然而，单轨模型未能充分体现实际铁路中由2条轨道固定在轨枕上通过扣件连接形成的耦合特点，也忽略了振动波沿着轨枕横向传播时带来的差异。为了充分考虑钢轨和轨枕之间的空间耦合效应对有砟轨道振动带隙的影响，采用传递矩阵法将有砟轨道中的2根钢轨简化为欧拉梁，将道砟和扣件简化为连接弹簧，将轨枕简化为温克尔地基梁，建立有砟轨道结构的声子晶体双轨模型(DRPC)；运用Fortran编制计算程序，对有砟轨道的振动带隙进行分析，并与仅考虑单根轨道的声子晶体单轨模型(SRPC)分析结果进行对比分析。分析结果表明：单轨模型的6种特征波包含在双轨模型的12种特征波中，且双轨模型其中一根钢轨的特征波带隙特性与相对应的单轨模型特征波带隙基本接近，而另一根钢轨的特征波带隙的中心位置和带隙宽度则较为不同；2种模型中与横向、扭转和平面内弯曲振动相关的特征波带隙特效差别较为明显，因此采用双轨模型能更精确地分析与横向、扭转和平面内弯曲振动相关的特征波带隙特性，弥补单轨模型的在空间效应简化上的不足，可更为精确地考虑与空间效应相关的各类特征波的传播特性。关键词：传递矩阵法；有砟轨道；双轨声子晶体模型；单轨声子晶体模型；带隙中图分类号：U213 文献标志码：A 开放科学(资源服务)标识码(OSID)文章编号：1672-7029（2023）04-1326-11Analysis of the vibration band-gaps of bouble-rail phononic crystal model for ballast trackLIANG Yuxiong1,FENG Qingsong1,LU Jianfei2,YANG Zhou1,ZHANG Ling1(1.State Key Laboratory of Performance Monitoring and Protecting of Rail Transit Infrastructure,East China Jiaotong University,Nanchang 330013,China;2.Faculty of Civil Engineering and Mechanics,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)Abstract:Existing vibration analysis models for track structure often simplify the dynamic model of the track structure to a single rail based on the symmetry of the track structure for analyzing its frequency dispersion characteristics and vibration attenuation rate.However,the single rail model fails to fully reflect the coupling characteristics of the two rails fixed on the sleepers by fasteners in actual railways,and ignores the differences in vibration wave propagation when waves propagate transversely along the sleepers.To fully consider the effect of 收稿日期：2022-04-25基金项目：国家自然科学基金资助项目(52178423，52068029，51878277)通信作者：冯青松(1978)，男，山西榆次人，教授，博士，从事轨道动力学研究；E-mail：E-mail:DOI:10.19713/ki.43-1423/u.T20220820第 4 期梁玉雄，等：有砟轨道双轨模型振动带隙理论分析the spatial coupling effect between the rail and the sleeper on the vibrational band gap of the ballast track,a double-rail phononic crystal(DRPC)model that consisted of two parallel rails fastened on equally spaced sleepers supported by ballast was proposed.The transfer matrix method was used to simplify the two rails in the ballasted track as Euler beams.The ballast and fasteners as connecting springs,and the sleepers as Winkler foundation beams,and a double rail phononic crystal model(DRPC)of the ballasted track structure were established.A Fortran program was used to analyze the vibration bandgap of the ballasted track,and the results were compared with those of the phononic crystal single rail model(SRPC)that only considers a single rail.The results show that the 6 characteristic waves of the SRPC model are included in the 12 characteristic waves of the DRPC model.The band-gaps of the left rail in DRPC model are basically close to the SRPC model,the central positions,and widths of the band gaps of waves in the right track of the DRPC model are different from the SRPC model.The band gaps related the transverse,torsion and in-plane bending vibration are quite different between the two models.The DRPC model can better analyze the propagation characteristics of various characteristic waves related to the spatial vibration such as the transverse,torsion and in-plane bending vibration.The DRPC model can amend the shortcomings of the spatial simplify of the SRPC model,and it can more accurately considering the propagation characteristics of various characteristic waves related to the spatial effect.Key words:transfer matrix method;ballasted track;double-rail phononic model;single-rail phononic model;band-gaps 铁路中的有砟轨道可视为无限长结构，由于其扣件和轨枕的周期性布置特点，可将其视作声子晶体结构。近年来许多学者基于声子晶体理论将轨道结构简化为单根轨道对其带隙特性进行了研究1。WANG等2研究了由单根轨道、扣件和轨枕组成的有砟轨道的带隙特性和形成机制，得出周期轨道结构中的带隙机制可以用布拉格散射机制和局部共振机制来解释。WANG等3通过铁木辛柯梁模型和现场测试研究了特征波在有序和随机无序的周期轨道结构中的传播特性，并引入了局部共振机制来拓宽带隙，实现了对高速铁路轨道结构中波传播的控制。易强等4将钢轨考虑为铁木辛柯梁建立了有砟轨道声子晶体分析模型，研究了弹性波在周期性轨道结构中传播特性，得出在带隙范围内弹性波在轨道结构中无法自由传播，且外界激励也无法向系统输入能量。冯青松等5将有砟轨道结构简化为周期离散支承钢轨和轨枕组成的双层梁声子晶体理论模型，通过平面波展开法计算了周期轨道结构垂向振动带隙特性，并以我国CRSTIII 型无砟轨道结构为例，采用人工弹簧定义周期性边界，采用改进的能量法计算了周期性组合结构弯曲振动的带隙，并与有限元结果进行了比较验证6。农兴中等7基于声子晶体的局域共振机制，开发了一种浮式平板轨道的隔振器，并利用有限元法研究了其结构的带隙特性。李粮余8基于声子晶体局域共振禁带机理，采用多刚体动力学软件 UM 与有限元软件 ANSYS 联合仿真，对新型声子隔振垫及普通隔振垫轨道结构的隔振效果进行对比分析。徐涆文等9分析对比了声子晶体类弹性短轨枕轨道与同普通板式轨道的隔振性能。WANG 等10引入声子晶体局域共振机理，通过局域共振带隙和轨道结构的固有带隙间耦合和转化，使得带隙宽度最大化，以进行轨道结构中的弹性波控制。此外，研究人员采用周期结构理论将轨道结构简化为单根轨道对其频散特性、振动衰减率等进行了研究。THOMPSON等1112将轨道结构视为一个含有单根轨道的周期结构，并通过有限元法研究了频率在50 Hz到5 000 Hz之间的轨道的振动特性。SHENG等13通过建立周期欧拉梁模型详细讨论了有砟轨道中波的传播特性和共振特性。DEGRANDE等1415利用周期有限元边界元法和Floquet变换方法建立有砟轨道模型分析了有砟轨道中波的传播特性。SHENG等16采用波数有限元模型研究了移动谐谐荷载下无限周期有砟轨道的响应。THOMPSON 17计算了周期性支撑轨道的振动衰减率，发现衰变区域可能发生在“固1327铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 4月定”频率附近。MAZILU等18研究了有砟轨道中多个 弹 簧 减 震 器 系 统 对 轨 道 振 动 特 性 的 影 响。BLANCO等19基于铁木辛柯梁建立了包含轨道和轨铺之间的弹性基础分布式支撑有砟轨道模型，对有砟轨道振动特性进行了分析。雷晓燕等20基于谱单元法将将钢轨、轨道板和混凝土支承层简化为欧拉梁和铁木辛柯梁，建立了分析模型对高频振动特性进行了分析。目前基于声子晶体理论轨道模型及周期结构理论模型中均将钢轨简化为单根轨道，轨枕也被简化为质量块，而实际铁路工程中的有砟轨道由2条固定在轨枕上通过扣件连接起来的平行钢轨、道砟等组成，弹性波在有砟轨道中不仅能沿着钢轨向纵向传播，而且能沿着轨枕横向在2根轨道之间互相传播，这必然会引起钢轨产生复杂的垂向、横向、纵向、弯曲、扭转耦合振动。将轨道结构根据对称性原则简化为仅包含一根钢轨，且将轨枕通常简化为质量块的单轨模型，难以分析弹性波沿着轨枕横向在2根轨道之间互相传播的情况。轨道结构在车辆荷载作用下除了引起纵向钢轨的振动外，还会引起横向轨枕的振动，若将轨枕简化为质量块，则会忽视轨枕变形对轨道结构振动的影响，从而无法解释通过扣件耦合起来钢轨和轨枕的变形对弹性波在有砟轨道中传播特性的影响。针对单轨模型在研究有砟轨道中弹性波传播特性时的局限性，建立一个能全面考虑钢轨和轨枕空间耦合效应，更加符合有砟轨道实际工程的理论分析模型，对有砟轨道中的弹性波传播特性进行深入分析显得十分必要，这对从弹性波控制角度更好地解决轨道结构中的振动和噪声控制问题具有重要的工程应用意义。因此本文提出包含2条轨道和轨枕的声子晶体双轨模型，以充分考虑左右侧2根钢轨和轨枕的耦合效应和轨枕变形对特征波传播特性的影响，并将道砟对轨枕的作用效应简化为温克尔梁，利用传递矩阵法和布洛赫定理求解得到轨道噪声主要辐射源范围(03 000 Hz)内的有砟轨道特征波带隙特性，并和单轨模型分析结果进行对比分析。1 声子晶体双轨模型1.1声子晶体双轨模型简介声子晶体双轨模型将有砟轨道简化为由左侧钢轨、右侧钢轨2根钢轨、扣件、道砟组成的无限周期结构，如图1所示。在声子晶体双轨模型中，将钢轨与轨枕之间的扣件与道砟分别简化为GS弹簧和 DB 弹簧，钢轨被简化为周期离散支撑欧拉梁，轨枕被简化为温克尔地基上的欧拉梁。1.2声子晶体双轨模型传递矩阵推导1.2.1平面内和平面外振动传递矩阵推导在本文双轨模型中，有砟轨道的特征波均涉及钢轨和轨枕的平面内和平面外振动。模型中GS弹簧中可以产生6个恢复力，即1个轴向力、2个剪切力、2个弯矩和1个力矩。因此，图1(b)中的1个GS弹簧实际上代表了6个弹簧，它可以传递上述6个恢复力。钢轨的纵向和平面内弯曲振动的频域运动方程具有以下形式Egd2u(g)(x)dx2+g2u(g)(x)=0EgIgId4v(g)(x)dx4-gAg2v(g)(x)=0=L,R(1)其中，Eg，g和Ag是钢轨的杨氏模量、密度和横截面面积；IgI是平面内振动的钢轨横截面的第2个力矩；u(g)和v(g)是钢轨的轴向和横向位移；x表示轨道的横截面的坐标；下标g用来标记钢轨，下标I表示平面内的振动；下标L和R分别表示左右(a)双轨模型平面图；(b)双轨模型立面图图1双轨模型示意图Fig.1Schematic of the double rail model1328第 4 期梁玉雄，等：有砟轨道双轨模型振动带隙理论分析钢轨。钢轨、轨枕和 GS 弹簧的内力的表示符号如下。对于钢轨、轨枕和GS弹簧，轴向力以拉伸方向为正，剪切力以使构件段顺时针旋转为正，对于弯矩，以当构件的节段向 x 轴的正方向弯曲为正，反之为负。钢轨、轨枕和GS弹簧的扭矩，以及外力矩方向均由右手规则决定。对于上述定义的轨道内力的表示符号，钢轨内力的形式如下：N(g)(x)=EgAgdu(g)(x)dxQ(g)I(x)=-EgIgId3v(g)(x)dx3M(g)I(x)=-EgIgId2v(g)(x)dx2,=L,R(2)其中：N(g)(x)，Q(g)I(x)和MgI(x)为钢轨的轴向力和剪切力以及弯矩。钢轨的扭转和平面外弯曲振动的运动方程有以下形式gd2(g)(x)dx2+g2g(g)(x)=0EgIgOd4w(g)(x)dx4-gAg2w(g)(x)=0=L,R(3)其中：g为钢轨的剪切模量；IgO为平面外振动钢轨横截面的第二力矩；(g)和w(g)为钢轨的扭转角和横向位移；下标O用来表示平面外振动；g是钢轨横截面的极惯性矩与其扭转常数之比。钢轨和轨枕的转角位移也由右手规则决定。钢轨在平面外振动下的内力如下：m(g)(x)=gJgtd(g)(x)dxQ(g)O(x)=EgIgOd3w(g)(x)dx3M(g)O(x)=-EgIgOd2w(g)(x)dx2,=L,R(4)其中：Jgt为轨横截面的扭转常数，m(g)(x),Q(g)O(x)和M(g)O(x)为钢轨横截面的力矩、剪切力和弯矩。轨枕纵向和平面内弯曲振动的频域运动方程的形式如下Esd2u(s)(y)dy2+s2us(y)-k(a)sbAsu(s)(y)=0EsIsId4v(s)(y)dy4-sAs2v(s)(y)+k(v)sbv(s)(y)=0(5)其中：Es，s和As为轨枕的杨氏模量、密度和横截面面积；IsI是轨枕平面内振动横截面的第二力矩；u(s)和v(s)是轴向和轨枕的横向位移；k(a)sb和k(v)sb是与作用于轨枕上的分布轴向和垂直载荷相关的DB弹簧的刚度，y表示轨枕横截面坐标，下标s表示轨枕。根据上述内力的符号约定，轨枕内力的形式如下：N(s)(y)=EsAsdu(s)(y)dyQ(s)I(y)=EsIsId3v(s)(y)dy3M(s)I(y)=-EsIsId2v(s)(y)dy2(6)式中：s为轨枕的剪切模量；s为轨枕横截面的极惯性矩与其扭转常数的比值；Jst是轨枕的扭转常数；IsO是对于平面外振动的轨枕横截面的第 2个力矩；(s)和w(s)是轨枕的扭转角和挠度；k(t)sb和k(h)sb是 DB弹簧的分布扭矩刚度和弹簧的分布水平刚度。轨枕在平面外振动下的内力形式为：m(s)(y)=sJstd(s)(y)dyQ(s)O(y)=-EsIsOd3w(s)(y)dy3M(s)O(t)=-EsIsOd2w(s)(y)dy2(7)其中：m(s)(y)，Q(s)O(y)和M(s)O(y)为横截面的力矩、剪切力和弯矩。钢轨的任意横截面x的状态向量(g)(x)具有以下表达式(g)(x)=q(g)T(x),f(g)T(x)Tq(g)(x)=u(g)(x),w(g)(x),v(g)(x)(g)(x),(g)I(x),(g)O(x)Tf(g)(x)=N(g)(x),Q(g)O(x),Q(g)I(x)m(g)(x),M(g)I(x),M(g)O(x)T=L,R(8)其中：(g)I(x)和(g)O(x)为钢轨横截面振动对应的轨道横截面x的旋转角；q(g)(x)和f(g)(x)分别为钢轨1329铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 4月横截面的广义位移和力向量。旋转角度(g)I(x)和(g)O(x)由以下公式定义：(g)I(x)=-dv(g)(x)dx(g)O(x)=dw(g)(x)dx(9)双轨模型中(g)(x)的状态向量可以通过结合左右钢轨的状态向量得到，它们具有如下表达式：(g)(x)=q(g)T(x),f(g)T(x)Tq(g)(x)=q(gL)T(x),q(gR)T(x)Tf(g)(x)=f(gL)T(x),f(gR)T(x)T(10)轨枕任意横截面的状态向量(s)(y)具有以下表达式：(s)(y)=q(s)T(y),f(s)T(y)Tq(s)(y)=w(s)(y),u(s)(y),v(s)(y),(s)I(y),(s)(y),(s)O(y)Tf(s)(y)=Q(s)O(y),N(s)(y),Q(s)I(y),M(s)I(y),m(s)(y),M(s)O(y)T(11)其中：(s)I(y)和(s)O(y)为轨枕面内和面外弯曲振动对应的横截面y的旋转角；q(s)(y)和f(s)(y)为广义轨枕位移和轨枕横截面的力向量。旋转角度(s)I(y)和(s)O(y)由如下公式计算：(s)I(y)=dv(s)(y)dy,(s)O(x)=-dw(s)(y)dy(12)1.2.2声子晶体双轨模型特征方程通过求解方程(1)和(2)，并利用方程(5)和(7)，可以得到双轨模型中轨道的传递矩阵。利用所得到的双轨轨道的传递矩阵，得到了双轨模型不同截面的状态向量有以下关系(g)(x)=T(gI)(x-x0)(g)(x0)T(gI)(x-x0)=|T(gI)uuT(gI)ufT(gI)fuT(gI)ff=L,R(13)其中：T(gI)(x-x0)是双轨模型中单轨的1212传递矩阵；T(gI)uuT(gI)ff是钢轨传递矩阵的66子矩阵；x0和x表示钢轨横截面的坐标。利用方程(15)和(12)，可以得到双轨模型的2根钢轨的传递矩阵。利用单轨的传递矩阵，双轨模型的2根轨道上不同截面的钢轨状态向量有以下关系(g)(x)=T(g)(x-x0)(g)(x0)T(g)(x-x0)=|T(gI)uu0T(gI)uf00T(gI)uu0T(gI)ufT(gI)fu0T(gI)ff00T(gI)fu0T(gI)ff(14)其中：T(g)(x-x0)是DRPC模型的双轨的2424传递矩阵，如上所述，可以使用DRPC模型的单轨传递矩阵得到。因为每个元胞包含2个GS弹簧和一个轨枕，使双轨模型的状态向量在钢轨和GS弹簧之间的接触点上不连续。因此，为了建立双轨模型的特征方程，考虑GS弹簧和轨枕对DRPC的状态向量的影响是至关重要的。与轨枕一样，对于 GS 弹簧，其恢复力定义如下f(t)=Q(t)x,Q(t)y,N(t),M(t)x,M(t)y,m(t)T=L,R(15)其中，Q(t)x和Q(t)y是弹簧沿x和y方向的2个剪切力；N(t)为弹簧的轴向力；M(t)x和M(t)y为弹簧的 2 个弯矩；m(t)为力矩。如上所述，关于弹簧恢复力的符号约定与轨道和轨枕的符号约定相同。由于弹簧连接到轨枕，GS弹簧的恢复力可以用与弹簧相连的轨枕点的位移来表示。假设GS弹簧是线性的，GS弹簧恢复力的表达式如下：f(t)=Ksgq(s)(y)-q(g)(0)=L,R(16)式中：Ksg是由GS弹簧的刚度组成的矩阵，如附录A所示；y是左右GS弹簧的y坐标。如上所述，由于 GS弹簧连接到钢轨和轨枕，因此弹簧将对钢轨和轨枕施加力。这些力的作用力大小与弹簧恢复力相同。鉴于外部载荷和弹簧恢复力的不同符号约定，这些力可以表示如下：F(g)=Mgtf(t)F(s)=Mstf(t)F(s)=MstM-1gtF(g)=-F(g)=L,R(17)其中：F(g)和F(s)是GS弹簧作用于钢轨和轨枕上的外力；Mgt和Mst是将GS弹簧的恢复力转化为作用于钢轨和轨枕上的外力的矩阵，并在附录A中给出。在力F(g)和F(s)的作用下，钢轨和轨枕的内1330第 4 期梁玉雄，等：有砟轨道双轨模型振动带隙理论分析力在GS弹簧处会有一个突变，因此在GS弹簧处双轨模型第 0 跨的钢轨和轨枕的内力状态向量如下：f(g)(0+)-f(g)(0-)=MgeF(g)f(s)(y+)-f(s)(y-)=MseF(s)=L,R(18)其中：0+和0-表示正负边接近0的坐标；y+和y-表示正负边接近y的坐标；转换矩阵Mge条和Mse见附录A。利用方程(12)和(20)表示，双轨模型的第0跨元胞的状态向量在GS弹簧处具有以下突变关系：(g)(0+)-(g)(0-)=(g)(g)=0Tf(g)TTf(g)=MGEF(g)MGE=|Mge00MgeF(g)=F(gL)TF(gR)TT(19)其中，(g)表示由于GS弹簧作用在轨道上的力状态向量的突变；F(g)是整个双轨模型的外力向量。为了建立双轨模型第0个跨度的2个状态向量(g)(0+)和(g)(0-)之间的关系，外力向量F(g)应用GS弹簧处轨道的位移来表示。因此，应该建立双轨模型中轨枕的基本解决方案。在本研究中，轨枕的基本解被称为轨枕的动态响应F(s)相关。假设轨枕的基本解已知，那么在轨枕的位移向量在y截面可以用下式表示：q(s)(yL)=C(s)LLF(sL)+C(s)LRF(sR)q(s)(yR)=C(s)RLF(sL)+C(s)RRF(sR)(20)其中，C(s)LLC(s)RR是轨枕的66连接矩阵，由轨枕的基本方程得到。将方程(20)替换为方程(16)，可以得到如下关于F(s)和f(t)的方程KsgCLLF(sL)+KsgCLRF(sR)-f(tL)=Ksgq(gL)(0)KsgCRLF(sL)+KsgCRRF(sR)-f(tR)=Ksgq(gR)(0)(21)利用方程(21)中的方程(17)，得到了外力向量F(g)的表达式如下F(g)=H-1gKSGq(g)(0)Hg=-|KsgCLL+M-1gtKsgCLRKsgCRLKsgCRR+M-1gtKSG=|Ksg00Ksg(22)利用方程(19)中的方程(22)，得到如下方程(g)(0+)=TJS(g)(0-)TJS=|I12120MGEH-1gKSGI1212(23)其中，TJS是双轨模型在GS弹簧处的状态向量的传递矩阵；I1212是1212单位矩阵。利用方程(14)和(23)，得到了双轨模型的第 0 个元胞的状态向量(g)(-Lu/2)和(g)(Lu/2)(g)(Lu2)=T(g)(Lu2)TJST(g)(Lu2)(g)()-Lu2(24)其中：Lu是双轨模型元胞的长度。利用布洛赫定理，得到双轨模型的特征方程如下|T(g)(Lu2)TJST(g)(Lu2)-e-iLuI2424|(g)()-Lu2=0(25)其中：是双轨模型的特征波的波数；I2424是2424单位矩阵。值得注意的是，方程(25)决定了DRPC的 12个特征波中每个波在双轨模型中的传播特性。根据式(11)中钢轨状态向量的次序，从第1种到第12种特征波分别与左侧钢轨和右侧钢轨的纵向振动、竖向挠曲振动、横向振动、扭转振动、面外弯曲振动、面内弯曲振动相关联。2 声子晶体单轨模型根据上节中的声子晶体双轨模型传递矩阵，单轨声子晶体分析模型仅为双轨声子晶体分析模型的一半，取左侧一般轨道结构为研究对象，钢轨的传递矩阵T(gI)(x-x0)的1212传输矩阵，此节不赘述，仅对其扣件处的传递矩阵进行补充性推导。利用方程(12)和(20)表示，同样SRPC的第0跨元胞的状态向量在GS弹簧处具有以下突变关系：(g)(0+)-(g)(0-)=(g)(g)=0Tf(g)TT,=L,Rf(g)=MgeF(g),=L,R(26)为了建立 SRPC 模型第 0 跨的 2 个状态向量(g)(0+)和(g)(0-)之间的关系，外力向量F(g)应用GS弹簧处轨道的位移来表示。在本研究中，轨枕的基本解称为相关的轨枕动态响应F(sa)。假设轨1331铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 4月枕的基本解已知，那么以双轨模型的左侧一半为单轨模型，左侧钢轨轨枕的位移向量在y截面可以用下式表示：q(s)(yL)=C(s)LLF(sL)+C(s)LRF(sR)(27)其中：C(s)LLC(s)RR是轨枕的66连接矩阵，由轨枕的基本方程得到。将方程(27)替换为方程(26)，可以得到如下关于F(s)和f(t)的方程KsgCLLF(sL)+KsgCLRF(sR)-f(tL)=Ksgq(gL)(0)(28)利用方程(28)中的方程(19)，得到了外力向量F(g)的表达式如下F(g)=H-1gKsgq(g)(0)Hg=-(KsgCLL+KsgCRR+M-1gt)(29)利用方程(21)中的方程(24)，得到如下方程(g)(0+)=Tjs(g)(0-)Tjs=|I660MgeH-1gKsgI66(30)其中：Tjs是单轨模型在GS弹簧处的状态向量的传递矩阵；I66是66单位矩阵。利用钢轨的传递矩阵T(gI)(x-x0)和方程(30)，得到了单轨模型的第 0个元胞的状态向量(gL)(-Lu/2)和(gL)(Lu/2),(gL)(Lu2)=T(gI)(Lu2)TjsT(gI)(Lu2)(gL)()-Lu2(31)其中：Lu是单轨模型中元胞的长度。利用Bloch定理，得到了单轨模型的特征方程如下|T(gI)(Lu2)TjsT(gI)(Lu2)-e-iLuI1212|(gL)()-Lu2=0(32)其中：是 SRPC 模型的特征波的波数；I1212是1212单位矩阵。值得注意的是，方程(26)决定了SRPC模型的 6个特征波中每个波在 SRPC模型中的传播特性，根据式(11)中钢轨状态向量的次序，从第1种到第6种波分别与纵向振动、竖向挠曲振动、横向振动、扭转振动、面外弯曲振动、面内弯曲振动相关联。3 计算结果分析本节给出了双轨模型和单轨模型不同特征波的弥散曲线结果。在本研究中，钢轨和轨枕考虑为黏弹性材料。Cole-Cole模型模拟轨枕21材料的阻尼。根据Cole-Cole的模型，钢轨和轨枕的复数弹模表达式如下：E()=E1+(i)-1+(i)-=E+1+E(-1)1+(i)-=E0E,01,1(33)其中：E()是与频率相关的复模量；E是时复模量的极限；E0是0时复模量的极限。是一种特征性的松弛时间，控制宽度在E0和E。在03 000 Hz频率范围内，根据式(25)和式(32)计算了DRPC和SRPC的能带曲线。本文双轨模型和单轨模型中的材料和几何参数见表1，弹簧刚度参数见表2。为更加全面阐述2种模型中各特征波的能带计算结果，表3中列出了2种模型中各特征波的对应关系，以及与各特征波关联的振动类型。表1材料和几何参数Table 1Material and geometric parameters材料和几何参数钢轨密度g/(kgm-3)钢轨顶宽btg/m钢轨底宽bbg/m钢轨顶部厚度ttg/m钢轨底部厚度tbg/m钢轨翼缘高度hwg/m钢轨翼缘厚度twg/m钢轨复弹模E/Pa数值7.81030.0680.1140.0350.020.1340.0152.11011材料和几何参数钢轨和轨枕泊松比g轨枕质量s/(kgm-3)轨枕复弹模E/Pa轨枕泊松比s轨枕长度ls/m轨枕宽度bs/m轨枕高度hs/m数值0.32.81033.610100.32.50.250.20材料和几何参数1/2长度轨枕质量ms/kg1/2跨钢轨质量mg/kg扣件间距L/m左右钢轨规矩dR/m钢轨和轨枕的黏弹性参数钢轨和轨枕的黏弹性参数钢轨和轨枕的黏弹性参数数值160360.61.4350.153.010-30.91332第 4 期梁玉雄，等：有砟轨道双轨模型振动带隙理论分析图2和图3分别为双轨模型中第1，2种波与单轨模型的第1种特征波的弥散曲线对比图。从图2和图3中可知，在0200 Hz内两者的带隙基本接近，双轨模型中的第2种波与单轨模型的第1种波的弥散曲线虚部基本吻合，双轨模型中第2种波数实部比单轨模型较大。图4为双轨模型中第3种波与单轨模型的第2种波的弥散曲线对比图，波数虚部在0100 Hz内两者的带隙基本一致，而双轨模型中并没有出现单轨模型中 180205 Hz 处和 403428 Hz 处的 2个带隙。从实部弥散曲线的斜率则能得出，双轨模型受轨枕影响，在 180250 Hz和 310400 Hz处双轨模型中主要与竖向挠曲振动相关的特征波群速度较单轨模型更快，其余则基本接近。图5为双轨模型中第4种波与单轨模型的第2种波的弥散曲线，不同于图4中第3种特征波弥散曲线，双轨模型中的第4种波出现了180205 Hz处和403428 Hz处的2个带隙，则说明双轨模型表3 2种模型中各特征波对应关系及关联振动类型Table 3 Correspondence and associated vibration type of characteristic waves in two models双轨模型特征波序号第1种波第2种波第3种波第4种波第5种波第6种波对应钢轨左侧钢轨右侧钢轨左侧钢轨右侧钢轨左侧钢轨右侧钢轨单轨模型特征波序号第1种波第2种波第3种波相关联的振动类型纵向振动竖向挠曲振动横向振动双轨模型特征波序号第7种波第8种波第9种波第10种波第11种波第12种波对应钢轨左侧钢轨右侧钢轨左侧钢轨右侧钢轨左侧钢轨右侧钢轨单轨模型特征波序号第4种波第5种波第6种波相关联的振动类型扭转振动面外弯曲振动面内弯曲振动图2双轨模型第1种波与单轨模型第1种波弥散曲线Fig.2Dispersion curves for the 1st wave of the DRPC and the 1st wave of the SRPC图3双轨模型第2种波与单轨模型第1种波弥散曲线对比Fig.3Dispersion curves for the 2nd wave of the DRPC and the 1st wave of the SRPC表2弹簧刚度参数Table 2Spring stiffnesses parameters弹簧刚度参数扣件纵向刚度k(sx)sg/(kNm-1)扣件横向刚度k(sy)sg/(kNm-1)扣件垂向刚度k(e)sg/(kNm-1)扣件扭转刚k(t)sg/(kNmrad-1)扣件面内弯度刚度k(bx)sg/(kNmrad-1)数值3.01061.01075.01071.01072.0106弹簧刚度参数扣件面外弯度刚度k(by)sg/(kNmrad-1)道砟弹簧纵向刚度k(sa)b/(kNm-1)道砟弹簧横向刚度k(sh)b/(kNm)道砟弹簧垂向刚度k(v)b/(kNm)道砟弹簧弯曲刚度k(t)b/(kNmrad-1)数值2.01063.01081.01085.81082.51051333铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 4月中左侧右侧2根钢轨的带隙有明显区别，单轨模型的这 2 个带隙仅反应了双轨模型中右侧钢轨的带隙。图6和图7分别为双轨模型中第5，6种波与单轨模型的第 3 种波的弥散曲线对比图，在 0200 Hz内双轨模型中第5种波和第6种波带隙位置与单轨模型中第3种波的带隙位置基本一致，带隙主要出现在 0134 Hz。在 2002 000 Hz 区间，双轨模型中第5种波的带隙主要位于395428 Hz处，而单轨模型的第 3 种波则在 317460 Hz，1 2001 280 Hz，1 3961 442 Hz和1 7941 937 Hz处出现了4个带隙，双轨模型中第6种波与单轨模型第3种波的弥散曲线虚部吻合。图8为双轨模型中第7和8种特征波与单轨模型的第4种波的弥散曲线对比图。在01 000 Hz内，双轨模型中的第7种波和第8种波带隙位置与单轨模型中的第 4种波的带隙位置基本一致，在1 4341 550 Hz 处和 2 0082 137 Hz，双轨模型中的2种波中出现了单轨模型的第4种波的未出现的扭转振动带隙。图8双轨模型第7，8种波与单轨模型第4种波弥散曲线Fig.8Dispersion curves for the 7th,8th wave of the DRPC and 4th wave of the SRPC图5双轨模型第4种波与单轨模型第2种波弥散曲线Fig.5Dispersion curves for the 4th wave of the DRPC and the 2nd wave of the SRPC图6双轨模型第5种波与单轨模型第3种波弥散曲线Fig.6Dispersion curves for the 5th wave of the DRPC and 3rd wave of the SRPC图7双轨模型第6种波与单轨模型第3种波弥散曲线Fig.7Dispersion curves for the 6th wave of the DRPC and 3rd wave of the SRPC图4双轨模型第3种波与单轨模型第2种波弥散曲线Fig.4Dispersion curves for the 3rd wave of the DRPC and 2nd wave of the SRPC1334第 4 期梁玉雄，等：有砟轨道双轨模型振动带隙理论分析图9为双轨模型中第9，10种波与单轨模型的第5种波的弥散曲线对比图。图10为双轨模型第11，12种特征波与单轨模型的第6种波的弥散曲线对比图。从弥散曲线中波数虚部均为非零值可知，双轨模型中的第 9，10，11和 12种波，与单轨模型中的第5，6种波一样均为凋零波，不能向远方无限传播。从图9和图10可知：在424460 Hz处的双轨模型中，第9种特征波单轨模型中未出现非零值，双