有参数失配的双层网络的实用同步_蔡建平.pdf

（）年 第 卷 第 期 收稿日期：基金项目：福建省自然科学基金项目（）作者简介：蔡建平，男，博士，教授，主要从事复杂系统控制与同步研究，：；通信作者 甘立军，男，硕士研究生，主要从事复杂系统控制与同步研究，：。本文引用格式：蔡建平，甘立军 有参数失配的双层网络的实用同步 重庆理工大学学报（自然科学），（）：，（），（）：（）有参数失配的双层网络的实用同步蔡建平，甘立军（闽南师范大学 数学与统计学院，福建 漳州）摘 要：针对一类具有参数失配的双层网络同步问题以及控制过程中的资源浪费问题，设计了动态事件触发牵制控制器，根据 稳定性理论，推导出了双层网络实现有层间误差界同步的矩阵形式充分判据与层间同步误差界的估计式，证明了动态事件触发机制不存在芝诺现象。使用 个数值例子，验证了理论的正确性，并分别讨论了参数失配和控制增益对控制器的触发次数以及多种误差界的影响。得到了控制器可减少更新次数、节约资源且具有鲁棒性的结论。关 键 词：双层网络；动态事件触发控制；参数失配；实用同步中图分类号：文献标识码：文章编号：（）引言从食物网到生态群，从互联网到万维网，从通信网络到社会组织等，网络广泛存在于自然界和人类社会。由于大规模网络具有描述现实事物的结构以及事物之间关系的能力，而受到众多学者的关注。学者们对于网络的研究是多方面的，比如同步、社团结构、动力学传播 等，其中网络同步一直处于网络研究的重要地位。同步现象是自然界最基本的运动现象之一，除了稻田里齐鸣的蛙声和同步闪烁的萤火虫展示了同步现象外，鸟类聚集和意见一致也有着同步现象的身影。由于学者们对混沌同步的大量研究，极大推动了网络同步的研究进度。经过了几十年的发展，网络同步的研究成果变得十分丰富，学者们已经提出了许多网络同步的控制方式，比如自适应控制、脉冲控制、事件触发控制、牵制控制 等，并实现了多种类型的网络同步，比如完全同步、投影同步、外同步等。由于事件触发控制和牵制控制在节约控制成本上的巨大优势，而成为研究的重要手段。此外，值得一提的是，网络的外同步是在双层或多层的网络模型上才能实现的，这种同步方式只关注不同层网络相应节点之间的同步，而不考虑同层网络节点之间是否同步。自 等提出了事件触发控制，并证明了其信息传输量和资源消耗量比周期采样控制更少后，事件触发控制因其具有节约资源和降低通信压力的优势而受到了许多学者的关注。等使用了一种静态事件触发控制研究了多智能体网络的同步问题，有效地减少了控制器的更新次数，达到了节约资源的目的。等在静态事件触发控制的基础上引入了一个内部动态变量，得到了动态事件触发控制，并通过仿真验证了动态事件触发控制在减少控制器更新次数和节约资源上比静态事件触发控制更有优势。为了现实的可操作性以及更大程度地节约资源，不仅需要考虑控制器所采用的控制方式，还需要考虑控制器的数量，特别是当网络的节点个数太多时，对每个节点都施加控制显然会增加成本以及实施难度。为了减少网络同步过程中需要施加控制的节点个数，等提出了牵制控制，该控制方式仅需对部分节点施加控制即可实现整个网络的同步。等将与状态无关的事件触发控制与牵制控制相结合，并应用到双层网络外同步的研究中，得到了双层网络实现外同步的充分判据。该文献中考虑的双层网络节点的动力学方程是完全一样的，然而在现实世界中，由于外部扰动或是硬件磨损都可能会出现参数失配现象，而节点动力学方程的参数失配会严重影响网络的同步性能，当失配比例较大时，甚至会导致网络的崩溃。因此讨论有参数失配的双层网络的同步问题更符合实际。然而在现有的文献中，研究参数失配多是在混沌系统 或有一个领导者的单层网络中，很少有研究双层网络中存在参数失配时的同步问题。必须指出的是，有参数失配的双层网络难以实现外同步，只能实现误差在一定范围的实用同步。基于上述分析，为了考虑更为实际的网络模型并减少控制过程中的能源消耗。将通过动态事件触发控制与牵制控制相结合的方式，研究具有参数失配的双层网络的实用同步问题。首先给出了有参数失配的双层网络模型、控制器和动态触发机制。其次，通过理论推导，得出有参数失配的双层网络实现实用同步的充分判据、层间误差界的估计式，并证明所选触发机制不存在芝诺现象。最后，通过 个数值例子，验证理论的正确性。双层网络模型本节考虑的模型为双层网络，该双层网络分为驱动层和响应层，每层网络都由 个网络节点构成，且每层网络的节点连接方式相同。现给出驱动层的第 个耦合节点动力学方程如下：?（，）（），（）式中：为驱动层的第 个节点的状态变量，（，）（）（）（）为驱动层中节点 孤立时的动力学方程，（）为有界矩阵，（）为连续的非线性函数，（）为外激励项，为耦合强度，（）为邻接矩阵，反映了驱动层网络的拓扑结构。当存在边从第 个节点到第 个节点，则记 ，否则记 。记拉普拉斯矩阵 （），当 时，当 时，。响应层的第 个耦合节点动力学方程如下：?（，）（）（），（）式中：为响应层的第 个节点的状态变量，（，）（）（）?（）为响应层中节点 孤立时的动力学方程，且满足（）（）（），（）（）（），?（）（）（），其中（），（），（）分别为（），（），（）对应的失配项，（）为待设计的控制器。假设 假设存在正常数，使得参数失配项满足（），（），（），。假设 假设对于初值 （），（），（），（），（），（），驱动层（）和响应层（）的所有节点运行轨迹是有界的，即存在正常数 和，使得，。注 由于驱动层网络节点和响应层网络节点之间的轨迹的界可能存在一定的差异，因此在驱动层节点的界的基础上，引入了一个估计值，用来估计响应层节点的轨迹的界。假设 假设存在区域，当（），（）蔡建平，等：有参数失配的双层网络的实用同步 时，双 层 网 络 的 节 点 动 力 学 方 程 满 足（，）（，），其 中 为 正常数。引理 对于任意合适维数的实矩阵 和，存在常数 ，使得（）成立。记（）为驱动层网络的第 个节点与响应层网络的第 个节点之间的同步误差。为了节省能源，降低控制器设计难度，选择动态事件触发牵制控制的方式，仅对响应层网络的部分节点进行控制。当，），时，控制器的设计如下：（）（），（）式中：为控制增益。该控制器仅对前 个节点施加控制，表示响应层网络第 个节点的第 次控制器更新的时刻，即第 个节点的第 次触发时刻。第 个节点的第 次事件触发时刻 由下列的事件触发函数决定：（）（）（）（）式中：?（）（）（）（）|（）这里，为待设计的常数，为控制增益，（）（）（）为测量误差，（）。当，）时，驱动层网络和响应层网络的第 个节点之间的误差系统如下：?（）（，）（，）（）（）（）（）（，），（，）（，）（）（）（，），|（）式中：（，）（）（）（）。记（）（），（），（）（）（），（），（），（，）（），（），（）（），（），（）（，）（，），（，）（，），（，）（，）（，）（，），（，）（，），（，）（，）则驱动层网络和响应层网络之间的误差系统可写成如下形式：?（）（）（）（）（）（）根据控制理论可知，驱动层（）和响应层（）之间的同步问题等价于误差系统（）在原点的稳定性问题。由于驱动层网络和响应层网络的节点动力学方程之间存在参数失配，故误差系统（）无法收敛到原点，而只能在原点附近的一个区域达到稳定。主要结果定义 如果存在 和常数 ，使得当时，总有（），那么就称驱动层网络和响应层网络达到误差界为 的实用同步。注 如果驱动层网络和响应层网络能够达到有误差界的实用同步，那么驱动层节点和相应的响应层节点之间也一定能达到有误差界的同步，即存在常数，当 时，总有（）。定理 在假设 成立的前提下，若存在合适的正标量、，耦合强度，控制增益矩阵，半正定矩阵 （，），使得下列不等式成立：()（）（）则驱动层网络和响应层网络在控制器（）下，能实现有误差界的同步，其中 为相应节点动力学方程的利普希茨常数构成的对角矩阵。同步误差界 为：式中：为任意小的正数，（）。证明 取函数（），由事件触发函数（）可推得（）（）（）将上式代入式（）中可得?（）|（）根据比较原则以及（）可知（）（）|根据上述分析，选取下面的正定 函数：（）（）（）（）对（）关于时间求导，可得（）（）（）（）（）（）（）（）（）由引理 和假设 可知（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）将上面 个不等式代入式（）可得（）（）（）（）|）（）（）（）（）（）（）根据假设、可知 （）结合式（）、（）以及上式，可将式（）的导数写为如下形式：（）（）（）（）()）)（）（）（）（）（）（）（）（）|（）（）（）()（）（）（）（）（）由定理 中条件可得（）（）（）（）（）（）根据比较原理可得（）（）()（）则有（）（）（）（）()（）()由上式可知，只要存在合适的 ，当 时，驱动层网络（）和响应层网络（）就能实现误差界为 的实用同步。注 若驱动层和响应层之间参数失配越严重，就越大，相应的层间误差界 就越大，若是蔡建平，等：有参数失配的双层网络的实用同步驱动层和响应层网络之间不存在参数失配，即 ，那么驱动层和响应层网络将达到外同步。至此，证明了若满足定理 的条件，则在动态事件触发牵制控制下双层网络可以实现有误差界的同步。为了保证触发机制的可行性，即不存在芝诺现象，接下来将利用反证法证明在有限的时间内不可能有无限次的事件被触发。假设存在一个节点，在时间 时，出现芝诺现象，即 ，由极限的性质可得，对于任意小的，一定存在一个（），当（）时，总有（，）。根据上面所述，容易得到（）（）。又（）（）（）（）（）令（），当 时，记，由于（）在区间，）是连续可微的，则其迪尼导数如下：（）?（，）（，）（）（）（）（，）（）（）（）（）（）（）（）式中：。记 （）（）。由触发条件（）、（）可得（）（）（）（）（）|（）根据式（）和（）可得（）（）（）|（）|取 为下列方程的一个解：（）|则有（）（）（）|（）|又由于题设中有（）（），出现矛盾，即任意网络节点在有限时间内都不会出现芝诺现象，证明完毕。数值例子下面将在 中使用步长为 的 阶龙格库塔法仿真 个例子来验证上述理论的正确性。例 以单连杆机械臂的动力学方程作为驱动层孤立节点的动力学方程：?|（）|式中：，。有参数不匹配的单连杆机械臂动力学方程作为响应层孤立节点的动力学方程：?|()|（）（）|式中：、表示参数失配的值。根据上面分析，易得失配项为：（）|（）（）|（）|下面考虑驱动层网络和响应层网络分别由 个节点构成，节点之间的连接关系如图 所示。图 例 的驱动层和响应层网络节点连接关系示意图 同层网络节点间的拉普拉斯矩阵，耦合强度以及牵制增益如下：|，（，）取驱动层网络节点的初值为：（，）（，）响应层网络节点的初值为：（，）（，）驱动层网络的所有节点在上述拓扑连接 以及耦合强度 下运行 的轨迹图和前 节点自变量的范数变化如图 和图 所示。根据图 中驱动层节点的轨迹可得出 ，从而得到 预估响应层节点状态变量的分量满足 ，根据假设，选取 ，那么就有 。根据假设，很容易得到单连杆机械臂方程的利普希茨常数可取为 。选取参数，（）（）。图 例 的驱动层耦合节点运行 的轨迹图图 例 的驱动层耦合节点状态变量，的范数曲线 假设参数失配比例 ，则有 ，很容易得到（）（）（）（）（）（）（），（），（），（），（），（）结合假设 估计的值 可得.，根据定理 可知，双层网络能够实现有误差界的同步，且层间同步误差界。图 分别为双层网络在上述参数及控制器下运行 的层间仿真误差（）（）（）的变化图、控制器触发图、双层网络相应节点之间的仿真误差变化图以及运行 的响应层各节点的运行轨迹图。由图 可知实际的层间误差比估计的层间误差界小，由图 可知驱动层网络节点和对应的响应层网络的节点之间的误差也在一定范围内波动，由图 可知前面对响应层网络节点轨迹的界蔡建平，等：有参数失配的双层网络的实用同步的估计是合理的。图 参数失配 时例 的层间同步误差图 例 的控制器（）和（）的事件触发图图 例 的驱动层和响应层对应的节点的同步误差图 例 的响应层所有的耦合节点 运行 的轨迹图 定义层间误差界：（）（）其中：、为常数。为了反映节点之间仿真误差的范围，定义驱动层和响应层网络的第 个节点之间的仿真误差界为：（）（）（）定义?（），为节点间最大仿真误差界。为了讨论控制器的鲁棒性，定义节点之间最大相对仿真误差界为?，且满足?，其中。下面将分 种情况讨论控制增益和参数失配对层间估计误差界、前 控制器（）和（）的触发次数、前 层间最大仿真误差界和节点间最大仿真误差界?以及节点间最大相对仿真误界?的关系（保留到万分位）。情况 当所有节点的参数失配比例 ，结合图 可得?.（运行 也是这个界）。情况 控制增益相同，?。如表 所示，在参数失配 的情况下，控制增益越大，控制器的触发次数越多，层间仿真误差界、节点之间最大仿真误差界和节点之间最大相对仿真误差界都有随着控制增益的增大而减小的趋势。如表 所示，在控制增益不变的情况下，层间估计误差界、层间仿真误差界、节点之间最大仿真误差界、节点之间最大相对仿真误差界会随着参数失配比例的增大而增。在上述 个表中都始终有控制器更新次数小于连续控制时控制器更新的次数（次），以及节点之间最大相对仿真误差界小于相应的参数失配比例，这说明选取的控制器能够节约资源且具有鲁棒性。表 例 中控制增益与触发次数、误差界的关系（）次（）次?表 例 中参数失配比例与控制器的触发次数、误差界的关系（）次（）次?例 以水平平台的动力学方程作为驱动层孤立节点的动力学方程：?|（）（）（）|（）|其中：，。有参数不匹配的水平平台动力学方程作为响应层孤立节点的动力学方程：?|（）|（）（）（）（）（）|（）（）|式中：、表示参数失配的值。根据上面分析，易得失配项为：（）|（）（）|（）（）（）（）|考虑驱动层和响应网络分别由 个节点构成，且节点间的连接方式同例，取耦合强度和控制增益矩阵分别为：，（，）取驱动层网络节点的初值为：（，）（，）取响应层网络节点的初值为：（，）（，）驱动层网络的所有节点在上述拓扑连接 以及耦合强度 下运行 的轨迹图和前 节点自变量的范数变化如图 和图 所示。图 例 的驱动层 个耦合节点 运行 的轨迹图蔡建平，等：有参数失配的双层网络的实用同步图 例 的驱动层耦合节点状态变量 ，的范数曲线 根据驱动层节点的轨迹图可得出，。从而得到。预估响应层网络节点状态变量的分量满足 ，.，根据假设，选取 ，那么就有 。根据假设，很容易得到水平平台方程的利普希茨常数可取为 。选取参数，（）（）当参数失配比例 时，则有 ，。很容易得到（）（）（）（）（）（）（），（），（），（），（），（）（）（）（）（）（）（）结合上述估计的值 ，由此可得 ，根据定理 可知，双层网络能够实现有误差界的同步，且 层 间 估 计 误 差 界 。图 给出了双层网络在上述参数及控制器下运行 的层间仿真误差变化图、控制器触发图、双层网络相应节点之间的仿真误差变化图以及运行 的响应层各节点的运行轨迹图。图 参数失配 时例 的层间同步误差图 例 的控制器（）和（）的事件触发图图 例 的驱动层和响应层对应的节点的同步误差图 例 的响应层所有的耦合节点运行 的轨迹 下面将以与例 相同的定义方式以及讨论方式分为下面 种情况讨论控制增益与参数失配对层间估计误差界、前 控制器（）和（）的触发次数、前 层间最大仿真误差界和节点间最大仿真误差界?以及节点间最大相对仿真误界?的关系（保留到万分位）。情况 当参数失配比例 ，结合图 可知?（运行 也是这个界）。情况 当控制增益相同，?。根据表 和表 可得出同例 中表 和表 相同的结论。表 例 的控制增益与触发次数、误差界的关系（）次（）次?表 例 中参数失配比例与控制器触发次数、误差界的关系（）次（）次?结论为了考虑更真实的网络模型以及达到节省能源的目的，采用了动态事件触发牵制控制技术研究了具有参数失配的双层网络的实用同步问题，推导了在该控制方法下双层网络实现实用同步的充分判据和层间误差界的估计式，证实了设计的控制器能节约资源且具有鲁棒性。然而，难以推导出相应节点间的误差界估计式。与之前的文献相比，考虑动力学方程各个部分参数都失配的情况，而不是部分参数失配或不存在参数失配的情况。此外，还考虑了控制过程中如何减少能源消耗的问题。未来将研究相应节点之间误差界的估计方法。参考文献：王陆翔，刘小洋 具有不确定参数的耦合神经网络固定与预设时间二分同步 重庆理工大学学报（自然科学），（）：张华，肖斯斯 带相移的离散时间相耦合振子系统的同步 重庆理工大学学报（自然科学），（）：张晓磊，刘茂省 传染病在噪声影响复杂网络上引起的同步 重庆理工大学学报（自然科学），（）：吴祯涛，李学仁，杜军，等 多社团加权复杂网络建模及其级联抗毁性研究 系统科学与数学，（）：桑茂盛，丁一，包铭磊，等 基于新冠病毒特征及防控措施的传播动力学模型 系统工程理论与实践，（）：丁学君，李临霄 反沉默螺旋效应下社交媒体谣言传播动力学研究 系统工程理论与实践，（）：，：，：，蔡建平，等：有参数失配的双层网络的实用同步：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，：杨心，张广军，李学仁，等 两个具有耦合时滞的分数阶复杂网络的延迟投影同步与参数辨识 控制与决策，（）：，（）：，（）：，（）：胡萌萌，丰建文，赵毅，等 非线性时滞耦合异构 网络的拟同步 深圳大学学报（理工版），（）：，（）：，（）：，（，）：，：；（责任编辑 辛 亮）