资源描述
1. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如表1所示。
表1
饲料
蛋白质（g）
矿物质（g）
维生素（mg）
价格（元/kg)
1
3
1
0.5
0.2
2
2
0.5
1
0.7
3
1
0.2
0.2
0.4
4
6
2
2
0.3
5
18
0.5
0.8
0.8
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。
解：设总费用为Z。i=1,2,3,4,5代表5种饲料。表示满足动物生长的营养需要时，第i种饲料所需的数量。则有：
2. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表2所示。每班护士值班开始时间向病房报道，试决定：
（1） 若护士上班后连续工作8h，该医院最少需要多少名护士，以满足轮班需要；
（2） 若除22:00上班的护士连续工作8h外（取消第6班），其他班次护士由医院排定上1～4班的其中两个班，则该医院又需要多少名护士满足轮班需要。
表2
班次
工作时间
所需护士人数（人）
1
6:00～10:00
60
2
10:00～14:00
70
3
14:00～18:00
60
4
18:00～22:00
50
5
22:00～2:00
20
6
2:00～6:00
30
解：（1）设第i班开始上班的人数，i=1,2,3,4,5,6
解：（2）在题设情况下，可知第五班一定要30个人才能满足轮班需要。则设设第i班开始上班的人数，i=1,2,3,4。
3. 要在长度为l的一根圆钢上截取不同长度的零件毛坯，毛坯长度有n种，分别为（j=1,2，…n）。问每种毛坯应当截取多少根，才能使圆钢残料最少，试建立本问题的数学模型。
解：设表示各种毛坯的数量，i=1,2,…n。
4. 一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的与最大允许载重量如表3.1所示。现有三种货物待运，已知有相关数据列于表3.2。
表3.1
项目
前舱
中舱
后舱
最大允许载重量（t）
2000
3000
1500
容积（ m2）
4000
5400
1500
表3.2
商品
数量（件）
每件体积（m3/件）
每件重量（t/件）
运价（元/件）
A
600
10
8
1000
B
1000
5
6
700
C
800
7
5
600
又为了航海安全，前、中、后舱实际载重量大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量比例的偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。问该货轮应该载A,B,C各多少件运费收入才最大？试建立这个问题的线性规划模型。
解：设表示第i件商品在舱j的装载量，i,j=1,2,3
1) 商品的数量约束：
2) 商品的容积约束：
3) 最大载重量约束：
4) 重量比例偏差的约束：
5. 篮球队需要选择5名队员组成出场阵容参加比赛。8名队员的身高及擅长位置见表5.
表5
队员
1
2
3
4
5
6
7
8
身高（m）
1.92
1.9
1.88
1.86
1.85
1.83
1.8
1.78
擅长位置
中锋
中锋
前锋
前锋
前锋
后卫
后卫
后卫
出场阵容应满足以下条件：
（1） 只能有一名中锋上场；
（2） 至少一名后卫；
（3） 如1号和4号均上场，则6号不出场；
（4） 2号和8号至少有一个不出场。
问应当选择哪5名队员上场，才能使出场队员平均身高最高，试建立数学模型。
解：设表示第i个队员出场，i=1,2…8.
6. 时代服装公司生产一款新的时装，据预测今后6个月的需求量如表4所示，每件时装用工2h和10元原材料费，售价40元。该公司1月初有4名工人，每人每月可工作200h，月薪2000元。该公司可于任一个月初新雇工人，但每雇1人需一次性额外支出1500元，也可辞退工人，但每辞退1人需补偿1000元。如当月生产数超过需求，可留到后面月份销售，但需付库存费每件每月5元，当供不应求时，短缺数不需补上。试帮组该公司决策，如何使用6个月的总利润最大。
表4 单位：件
月份
1
2
3
4
5
6
需求
500
600
300
400
500
800
解：设为第i月现有工人人数，为新雇工人人数，为辞退工人人数，为每月的需求。i=1,2，…，6。则有：
7. 童心玩具厂下一年度的现金流（万元）如表6所示，表中负号表示该月现金流出大于流入，为此该厂需借款。借款有两种方式：一是于上一年末借一年期贷款，一次得全部贷款额，从1月底起每月还息1%，于12月归还本金和最后一次利息；二是得到短期贷款，每月初获得，于月底归还，月息1.5%。当该厂有多余现金时，可短期存款，月初存入，月末取出，月息0.4%。问该厂应如何进行存贷款操作，既能弥补可能出现的负现金流，又可使年末现金总量为最大。
表6
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
现金流
-12
-10
-8
-10
-4
5
-7
-2
15
12
-7
45
解：设长期存款为y，为第i个月的短期贷款额，为第i个月短期存款额，i=1,2,…，n。则有：
8. 某地准备投资D元建民用住宅，可以建住宅的地点有n处：。处每幢住宅的造价为d，最多可造a幢。问应当在哪几处建住宅，分别建几幢，才能使建造的住宅总数最多，试建立问题的数学模型。
解：设表示在A处所建住宅的数量，i=1,2，…n。
9. 有一批每根长度为l的圆钢，需截取n种不同长度的零件毛坯。长度为的毛坯必须有段（j=1，2，…n），为了方便，每根圆钢只截取一种长度的毛坯。应当怎样截取，才能使动用的圆钢数目最少，要求建立数学模型。
解：设表示各种毛坯使用圆钢的数量，表示各种毛坯在一根圆钢上可得到的数量。i=1,2，…n。
10. 一个旅行者要在其背包里装一些最有用的旅行用品。背包容积为a，携带物品总重量最多为b。现有物品m件，第i件物品体积为，重量为（i=1,2，m）。为了比较物品的有用程度，假设第i件物品的价值为（i=1,2，m）。若每件物品只能整件携带，每件物品都能放入包中，并且不考虑物品放入包后相互的间隙。问旅行者应当携带几件物品，才能使携带物品的总价值最大，要求建立数学模型。
解：设表示携带第i件物品，i=1,2，…，m。
11. 宏银公司承诺为谋建设项目从2003年起的4年中每年初分别提供以下数额贷款：2003年——100万元，2004年——150万元，2005年——120万元，2006——110万元。以上贷款资金均需2002年底前筹集齐。但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足每年贷款额情况下，可将多余资金分别用于下列投资项目：
（1） 于2003年初购买A种债卷，期限3年，到期后本息合计为投资额的140%，但限购60万元。
（2） 于2003年初购买B种债卷，期限2年，到期后本息合计为投资额的125%，且限购90万元。
（3） 于2004年初购买C种债卷，期限2年，到期后本息合计为投资额的130%，但限购50万元。
（4） 于每年初将任意数额的资金存放于银行，年息4%，于每年底取出。
求宏银公司应如何运用好这笔筹集到的资金，使2002年底需要筹集到的资金数额为最少。
解：设x为2002年底该公司需要筹集到的资金额；分别为2003、2004、2005年初存放到银行的资金数；分别为购买A、B、C债卷的数额。则有：
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