资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD 的度数是
A．88° B．92° C．106° D．136°
2．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm，当物体向上提升3πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（ ）
A． B．
C． D．
4．从1，2，3，4四个数中任取一个数作为十位上的数字，再从2，3，4三个数中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响. 在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道. 原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，为的直径，弦于点. 寸，寸，则可得直径的长为（ ）
A．13寸 B．26寸
C．18寸 D．24寸
6．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线向右平移4个单位长度后与抛物线重合，若（-1，3）在抛物线上，则下列点中，一定在抛物线上的是（ ）
A．（3,3） B．（3，-1） C．（-1,7） D．（-5,3）
8．已知一个几何体如图所示,则该几何体的主视图是( )
A． B．
C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方形中，绕点顺时针旋转后与重合，，，则的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
11．如图，在矩形中，，垂足为，设，且，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
12．若将抛物线y=- x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( )
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数，的图象上，则tan∠ABO的值为___________
14．如果抛物线经过原点，那么______.
15．二次函数图像的顶点坐标为_________．
16．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是 ㎝1．
17．方程x2＝2020x的解是_____．
18．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共30个，除颜色外其它完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在40%，则随机从口袋中摸出一个是红球的概率是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，一次函数y=x+b和反比例函数y=（k≠0）交于点A（4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
20．（8分）已知关于的方程.
（1）求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为-1，则另一个根为 .
21．（8分）一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．
（1）如图1，正方形的边长为4，E为的中点，，连结.，求证：为四边形的相似对角线．
（2）在四边形中，，，，平分，且是四边形的相似对角线，求的长．
（3）如图2，在矩形中，，，点E是线段（不取端点A．B）上的一个动点，点F是射线上的一个动点，若是四边形的相似对角线，求的长．（直接写出答案）
22．（10分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC．
（1）请在图1中再找出一对这样的角来： ＝ ．
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．
（3）在第（2）题的条件下，若此时AB＝6，BD＝8，求BC的长．
23．（10分）如图，在中，于，，，，分别是，的中点.
（1）求证：，；
（2）连接，若，求的长.
24．（10分）已知：在Rt△ABC中，AB=BC,在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，
求证：BM=DM且BM⊥DM；
（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，AC＝8，AB＝1．求AE的长．
26．（1）计算：
（2）解不等式：
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】首先根据∠BOD=88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，据此求出∠BCD的度数
【详解】由圆周角定理可得∠BAD=∠BOD=44°，
根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD=180°-∠BAD=180°-44°=136°，
故答案选D．
考点：圆周角定理；圆内接四边形对角互补．
2、A
【解析】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．
3、A
【分析】设半径OA绕轴心旋转的角度为n°，根据弧长公式列出方程即可求出结论．
【详解】解：设半径OA绕轴心旋转的角度为n°
根据题意可得
解得n=54
即半径OA绕轴心旋转的角度为54°
故选A．
【点睛】
此题考查的是根据弧长，求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．
4、B
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与组成的两位数是3的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，组成的两位数是3的倍数的有4种情况，
∴组成的两位数是3的倍数的概率是：．
故选：B
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5、B
【分析】根据垂径定理可知AE的长．在Rt△AOE中，运用勾股定理可求出圆的半径，进而可求出直径CD的长．
【详解】
连接OA，
由垂径定理可知，点E是弦AB的中点，
设半径为r，由勾股定理得，
即
解得：r=13
所以CD=2r=26，
即圆的直径为26，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理的性质和求法，熟练掌握相关性质是解题的关键.
6、D
【解析】A. 此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；
B. 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；
C. 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．
D. 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；
故选D.
7、A
【分析】利用点的平移进行解答即可.
【详解】解：∵抛物线向右平移4个单位长度后与抛物线重合
∴将（-1，3）向右平移4个单位长度的点在抛物线上
∴（3,3）在抛物线上
故选：A
【点睛】
本题考查了点的平移与函数平移规律，掌握点的规律是解题的关键.
8、A
【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形．
【详解】该几何体的主视图是：
故选：A
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体正面看到的图，掌握定义是关键.
9、D
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【详解】A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>1，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b<1．所以反比例函数y的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>1，对称轴位于轴的左侧，则a，b同号，即b>1．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<1，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>1．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<1，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>1．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
10、D
【分析】先根据旋转性质及正方形的性质构造方程求正方形的边长，再利用勾股定理求值即可.
【详解】绕点顺时针旋转后与重合
四边形ABCD为正方形
在中，
故选D.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，找到直角三角形运用勾股定理求值是解题的关键.
11、C
【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．
【详解】解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵cosα=，，
∴AC=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键．
12、A
【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】∵ 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，
∴y=-（x+3）2-2.
故答案为A.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据反比例函数的几何意义可得直角三角形的面积；根据题意可得两个直角三角形相似，而相似比就是直角三角形∆AOB的两条直角边的比，从而得出答案.
【详解】过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E,
∵顶点A，B恰好分别落在函数，的图象上
∴
又∵∠AOB=90°
∴∠AOD=∠OBE
∴
∴
则tan∠ABO=
故本题答案为：.
【点睛】
本题考查了反比例函数，相似三角形和三角函数的综合题型，连接辅助线是解题的关键.
14、1
【分析】把原点坐标代入中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】∵抛物线经过点（0，0），
∴−1＋m＝0，
∴m＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
15、（，）
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．
【详解】∵
∴抛物线顶点坐标为．
故本题答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．
16、14
【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S=ab=×6×8=14cm1，
故答案为14．
17、x1＝0，x2＝1．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】移项得：x2﹣1x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
则x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18、1．
【分析】根据题意得出摸出红球的频率，继而根据频数＝总数×频率计算即可．
【详解】∵小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在40%，
∴口袋中红色球的个数可能是30×40%＝1个．
故答案为：1．
【点睛】
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题（共78分）
19、（1）反比例函数的解析式为：y=；一次函数的解析式为：y=x﹣2；
（2）S△AOB=；
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞1．
【分析】（1）把A的坐标代入y=，求出反比例函数的解析式，把A的坐标代入y=x+b求出一次函数的解析式；
（2）求出D、B的坐标，利用S△AOB=S△AOD+S△BOD计算，即可求出答案；
（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案．
【详解】（1）∵反比例函数y=的图象过点A（1，1），
∴1=，即k=1，
∴反比例函数的解析式为：y=．
∵一次函数y=x+b（k≠0）的图象过点A（1，1），
∴1=1+b，解得b=﹣2，
∴一次函数的解析式为：y=x﹣2；
（2）∵令x=0，则y=﹣2，
∴D（0，﹣2），即DO=2．
解方程=x﹣2，得x=﹣1，
∴B（﹣1，﹣1），
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=×2×1+×2×1=；
（2）∵A（1，1），B（﹣1，﹣1），
∴一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．
20、（1）见解析；（2）1或－1
【分析】（1）根据因式分解法求出方程的两个解，再证明这两个解不相等即可；
（2）根据（1）中的两个解分类讨论即可．
【详解】（1）证明： 原方程可化为
或
，
∵
∴无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）当时，解得：m=1，即方程的另一个根为1；
当m=-1时，则另一个根为，
∴另一个根为1或－1
故答案为：1或－1．
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程和根据一元二次方程的一个根求另一个根，掌握因式分解法解一元二次方程和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
21、（1）见解析（2）或；（1）或或1
【分析】（1）根据已知中相似对角线的定义，只要证明△AEF∽△ECF即可；
（2）AC是四边形ABCD的相似对角线，分两种情形：△ACB△ACD或△ACB△ADC，分别求解即可；
（1）分三种情况①当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线．②取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，则可得出 EF是四边形AECF的相似对角线．③取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则可证出EF是四边形AECF的相似对角线．此时BE=1；
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵E为的中点，，
∴AE=DE=2，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴∠AEF=∠DCE，
∵∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠A=90°，
∴△AEF∽△ECF，
∴EF为四边形AECF的相似对角线．
（2）∵平分，
∴∠BAC=∠DAC =60°
∵AC是四边形ABCD的相似对角线，
∴△ACB△ACD或△ACB△ADC
①如图2，当△ACB△ACD时，此时，△ACB≌△ACD
∴AB=AD=1，BC=CD，
∴AC垂直平分DB，
在Rt△AOB中，∵AB=1，∠ABO=10°，
②当△ACB△ADC时，如图1
∴∠ABC=∠ACD
∴AC2=AB•AD，
∵,
∴6=1AD，
∴AD=2，
过点D作DHAB于H
在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=2，
在Rt△BDH中，
综上所述，的长为：或
（1）①如图4，当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线，
设AE=EC=x，
在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，
∴x2=（6-x）2+42，
解得x=，
∴BE=AB-AE=6-=．
②如图5中，如图取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，则 EF是四边形AECF的相似对角线．
∵△AEF∽△DFC，
∴
③如图6，取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则EF是四边形AECF的相似对角线．则 BE=1．
综上所述，满足条件的BE的值为或或1．
【点睛】
本题主要考查了相似形的综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22、（1）∠ABD＝∠ACD（或∠DAC＝∠DBC ）；（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）1
【分析】(1)根据题意给出的性质即可得出一组角相等;
(2)先证明四边形ACEF为菱形,再证明四边形ABCD为损矩形,根据损矩形的性质即可求出四边形ACEF是正方形;
(3)过点D作DM⊥BC，过点E作EN⊥BC交BC的延长线于点N,可得△BDM为等腰直角三角形,从而得出△ABC≌△CNE根据性质即可得出BC的长．
【详解】(1)由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD＝∠ACD；
故答案为：∠ABD＝∠ACD(或∠DAC＝∠DBC )；
(2)四边形ACEF为正方形
证明：∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵四边形ACEF为菱形，
∴AE⊥CF，即∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为损矩形，
由(1)得∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴∠ACE＝2∠ACD＝90°，
∴四边形ACEF为正方形．
(3)过点D作DM⊥BC，过点E作EN⊥BC交BC的延长线于点N，
∵∠DBM＝45°，
∴△BDM为等腰直角三角形，
∴BM＝DM＝，
∵AC＝EC，∠ACE＝90°，∠ABC＝CNE＝90°，
∴∠ACB＝∠CEN，
∴△ABC≌△CNE(AAS)，
∴CN＝AB＝6，
∵DM∥EN，AD＝DE，
∴BM＝MN＝8，
∴BC＝BN﹣CN＝2BM﹣CN＝1．
【点睛】
本题考查新定义下的图形计算,主要运用到矩形菱形正方形的性质,三角形全等的判定和性质,关键在于熟练掌握基础知识,合理利用辅助线得出条件计算．
23、（1）证明见解析；（2）EF=5．
【解析】试题分析：（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；
（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．
试题解析：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△BDG和△ADC中，
，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，∠BGD=∠C，
∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，
∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA=90°，
∴DE⊥DF；
（2）∵AC=10，
∴DE=DF=5，
由勾股定理得，EF= =5 ．
24、（1）证明见解析（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BM=DM，然后根据四点共圆可以得出∠BMD=2∠ACB=90°，从而得出答案；
(2)连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H，根据题意得出四边形CDEF为平行四边形，然后根据题意得出△ABD和△CBF全等，根据角度之间的关系得出∠DBF=∠ABC =90°．
【详解】解：（1）在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，
∴．
在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，
∴．
∴BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上．
∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．
（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立．
证明：连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H．
∵ DM=MF，EM=MC，
∴ 四边形CDEF为平行四边形，
∴ DE∥CF ，ED =CF，
∵ ED= AD，
∴ AD=CF，
∵ DE∥CF，
∴ ∠AHE=∠ACF．
∵ ,，
∴ ∠BAD=∠BCF，
又∵AB= BC，
∴ △ABD≌△CBF，
∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF，
∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，
∴∠DBF=∠ABC =90°．
在Rt△中，由,，得BM=DM且BM⊥DM．
【点睛】
本题主要考查的是平行四边形的判定与性质、三角形全等、直角三角形的性质，综合性比较强．本题解题的关键是通过构建全等三角形来得出线段相等，然后根据线段相等得出所求的结论．
25、．
【分析】求出AD的长，根据△ADE∽△ABC，可得，则可求出AE的长．
【详解】解：∵AC＝8，D为AC的中点，
∴AD＝4，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形判定及其性质，熟记定理和性质是解题的关键.
26、（1）4；（2）.
【分析】（1）先计算乘方、除法、二次根式化简，再将结果相加即可；
（2）按照去括号、移项、系数化为1的步骤即可求出解集.
【详解】（1）原式=4；
（2），
，
，
.
【点睛】
此题考查计算能力，（1）考查实数的计算，按照计算顺序正确计算即可；（2）考查解不等式，根据计算顺序正确计算即可.
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