资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，底面半径米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留）． （ ）
A． B． C． D．
2．下列四种图案中，不是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知抛物线的对称轴过点且平行于y轴，若点在抛物线上，则下列4个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼。通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（ ）
A．600条 B．1200条 C．2200条 D．3000条
5．如图，矩形的面积为4，反比例函数（）的图象的一支经过矩形对角线的交点，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
6．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．必有5次正面朝上 B．可能有5次正面朝上
C．掷2次必有1次正面朝上 D．不可能10次正面朝上
7．圆锥形纸帽的底面直径是18cm，母线长为27cm，则它的侧面展开图的圆心角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
8．一次函数y＝﹣3x+b图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．无法比较y1，y2的大小
9．举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米.55000这个数用科学记数法可表示为( )
A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×104
10．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
11．若关于的方程的解为，，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数y=+2的顶点是( )
A．(1，2) B．(1，−2) C．(−1，2) D．(−1，−2)
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在不透明的袋子中有红球、黄球共个，除颜色外其他完全相同.将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程， 摸了次后，发现有次摸到红球，则口袋中红球的个数大约是_________________.
14．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为_____米．
15．如图，将边长为4的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为3时，则的长为_________．
16．数据8，9，10，11，12的方差等于______.
17．如图，AB为半圆的直径，点D在半圆弧上，过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交于点C，点E在AB上，若DE垂直平分BC，则＝______．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．
(1)证明：ΔABE≌ΔCAD．
(2)若CE=CP，求证∠CPD=∠PBD．
(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.
20．（8分）已知锐角△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D．
（1）若∠BAC=60°，⊙O的半径为4，求BC的长；
（2）请用无刻度直尺画出△ABC的角平分线AM． （不写作法，保留作图痕迹）
21．（8分）已知关于x的方程x2+ax+16=0，
（1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值
（2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根
22．（10分）先化简，再求值：(x－1)÷(x－),其中x =+1
23．（10分）如图，正方形ABCD，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线AC（不含点A）上任意一点，将线段AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，连接EN、DM．求证：EN＝DM．
24．（10分）综合与探究：
如图所示，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
（1）求，的值及反比例函数的函数表达式；
（2）若点在线段上，且，请求出此时点的坐标；
（3）小颖在探索中发现：在轴正半轴上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形.请你直接写出点的坐标.
25．（12分）2019年度双十一在九龙坡区杨家坪的各大知名商场举行“国产家用电器惠民抢购日”优惠促销大行动，许多家用电器经销商都利用这个契机进行打折促销活动.商社电器某国产品牌经销商的某款超高清大屏幕液晶电视机每套成本为4000元，在标价6000元的基础上打9折销售.
（1）现在该经销商欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于？
（2）据媒体爆料，有一些经销商先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为.重百电器另一个该品牌的经销商也销售相同的超高清大屏幕液晶电视机，其成本、标价与商社电器的经销商一致，以前每周可售出20台，现重百的经销商先将标价提高，再大幅降价元，使得这款电视机在2019年11月11日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了，这样一天的利润达到22400元，求的值.（利润=售价－成本）
26．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k－5＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程的一个实数根为4，求k的值和另一个实数根．
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据勾股定理求得AB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S=lr，求得答案即可．
【详解】解：∵AO=8米，OB=6米，∴AB=10米，
∴圆锥的底面周长=2×π×6=12π米，
∴S扇形=lr=×12π×10=60π（米2）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，熟知圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
2、D
【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了对中心对称图形的定义，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．能熟知中心对称图形的定义是解此题的关键．
3、B
【分析】根据二次函数的图象与性质对各个结论进行判断，即可求出答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴过点，
∴抛物线的对称轴为，即，可得
由图象可知， ，则，
∴，①正确；
∵图象与x轴有两个交点，
∴，即，②错误；
∵抛物线的顶点在x轴的下方，
∴当x=1时，，③错误；
∵点在抛物线上，即是抛物线与x轴的交点，
由对称轴可得，抛物线与x轴的另一个交点为，
故当x=−2时，，④正确；
综上所述：①④正确，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题的关键是逐一分析每条结论是否正确．解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．
4、B
【分析】由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：30÷2.5%=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．
5、D
【分析】过P点作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，根据矩形的性质得S矩形OEPF= S矩形OACB=1，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解．
【详解】过P点作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，如图所示：
∵四边形OACB为矩形，点P为对角线的交点，
∴S矩形OEPF=S矩形OACB=×4=1．
∴k=-1，
所以反比例函数的解析式是：.
故选：D
【点睛】
考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6、B
【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案．
【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币10次，
不一定有5次正面朝上，选项A不正确；
可能有5次正面朝上，选项B正确；
掷2次不一定有1次正面朝上，可能两次都反面朝上，选项C不正确．
可能10次正面朝上，选项D不正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是随机事件，掌握随机事件的概念是解题的关键，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7、C
【分析】根据圆锥侧面展开图的面积公式以及展开图是扇形，扇形半径等于圆锥母线长度，再利用扇形面积求出圆心角．
【详解】解：根据圆锥侧面展开图的面公式为：πrl=π×9×27=243π，
∵展开图是扇形，扇形半径等于圆锥母线长度，
∴扇形面积为：
解得：n=1．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用以及与展开图各部分对应情况，得出圆锥侧面展开图等于扇形面积是解决问题的关键．
8、A
【分析】根据一次函数图象的增减性判断即可．
【详解】∵k＝﹣3＜0，
∴y值随x值的增大而减小，
又∵x1＜x1，
∴y1＞y1．
故选：A．
【点睛】
本题考查一次函数图象的增减性,关键在于先判断k值再根据图象的增减性判断．
9、D
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】55000的小数点向左移动4位得到5.5，
所以55000用科学记数法表示为5.5×104，
故选D.
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10、C
【解析】根据相似多边形性质：对应角相等.
【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫
故选C
【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.
11、C
【分析】设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论．
【详解】解：设方程中，
则方程变为
∵关于的方程的解为，，
∴关于的方程的解为，，
∴对于方程，或3
解得：，，
故选C．
【点睛】
此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．
12、C
【分析】因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），即可求出y=+2的顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数y=+2是顶点式，
∴顶点坐标为：(−1，2)；
故选：C.
【点睛】
此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.3，然后根据概率公式计算袋中红球的个数.
【详解】解：设袋中红球个数为x个，
∵共摸了100次球，有30次是红球，
∴估计摸到红球的概率为0.3，
∴ ，
解得，x=12.
∴口袋中红球的个数大约是12个.
故答案为：12.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，频率越来越稳定，这个固定的频率值近似等于这个事件的概率.
14、6.4
【分析】根据平行投影,同一时刻物长与影长的比值固定即可解题.
【详解】解：由题可知：,
解得：树高=6.4米.
【点睛】
本题考查了投影的实际应用,属于简单题,熟悉投影概念,列比例式是解题关键.
15、1或1
【分析】设AC、交于点E，DC、交于点F，且设，则，，列出方程即可解决问题．
【详解】设AC、交于点E，DC、交于点F，且设，则，，
重叠部分的面积为，
由，
解得或1．
即或1．
故答案是1或1．
【点睛】
本题考查了平移的性质、菱形的判定和正方形的性质综合，准确分析题意是解题的关键．
16、2
【分析】根据方差的公式计算即可.
【详解】这组数据的平均数为
∴这组数据的方差为
故答案为2.
【点睛】
此题主要考查方差的计算，牢记公式是解题关键.
17、
【分析】连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，可证四边形ACHB是矩形，可得AC＝BH，AB＝CH，由垂直平分线的性质可得BE＝CE，CD＝BD，可证CE＝BE＝CD＝DB，通过证明Rt△ACE≌Rt△HBD，可得AE＝DH，通过证明△ACD∽△DHB，可得AC2＝AE•BE，由勾股定理可得BE2﹣AE2＝AC2，可得关于BE，AE的方程，即可求解．
【详解】解：连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，
∵AC是半圆的切线
∴AC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴AC⊥CD，且BH⊥CD，AC⊥AB，
∴四边形ACHB是矩形，
∴AC＝BH，AB＝CH，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，CD＝BD，且DE⊥BC，
∴∠BED＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∴CE＝BE＝CD＝DB，
∵AC＝BH，CE＝BD，
∴Rt△ACE≌Rt△HBD（HL）
∴AE＝DH，
∵CE2﹣AE2＝AC2，
∴BE2﹣AE2＝AC2，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠BDH＝90°，且∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BDH，且∠ACD＝∠BHD，
∴△ACD∽△DHB，
∴，
∴AC2＝AE•BE，
∴BE2﹣AE2＝AE•BE，
∴BE＝AE，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考察垂直平分线的性质、矩形的性质和相似三角形，解题关键是连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，证明出四边形ACHB是矩形.
18、1
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，又AE=CD，即可证明ΔABE≌ΔCAD；
（2）设则由等边对等角可得可得以及，故；
（3）可证可得，故由于可得，根据黄金分割点可证点是的黄金分割点；
【详解】证明：
(1) ∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
在ΔABE与ΔCDA中，AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，
∴△AEB≌△CDA；
（2）由（1）知，
则，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）在和中，
，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴点是的黄金分割点；
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.
20、（1）；（2）见解析
【分析】（1）连接OB、OC，得到，然后根据垂径定理即可求解BC的长；
（2）延长OD交圆于E点，连接AE，根据垂径定理得到，即，AE即为所求．
【详解】（1）连接OB、OC，
∴
∵OD⊥BC
∴BD=CD，且
∵OB=4
∴0D=2，BD=
∴BC=
故答案为；
（2）如图所示，延长OD交⊙O于点E，
连接AE交BC于点M，AM即为所求
根据垂径定理得到，即，所以AE为的角平分线．
【点睛】
本题考查了垂径定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，熟练掌握圆部分的定理和相关性质是解决本题的关键．
21、（1）a=1或﹣1；（2）a=﹣10，方程的另一个根为1．
【分析】（1）由题意可得方程的判别式△=0，由此可得关于a的方程，解方程即得结果；
（2）把x=2代入原方程即可求出a，然后再解方程即可求出方程的另一个根．
【详解】解：（1）∵方程x2+ax+16=0有两个相等的实数根，
∴a2－4×1×16=0，
解得a=1或﹣1；
（2）∵方程x2+ax+16=0有一个根是2，
∴22+2a+16=0，解得a=﹣10；
此时方程为x2﹣10x+16=0，
解得x1=2，x2=1；
∴a=﹣10，方程的另一个根为1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的解法以及根的判别式等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．
22、1+
【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．
【详解】解：原式＝（x−1）÷，
当x＝＋1时，
原式＝．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
23、证明见解析
【分析】利用等边三角形的性质以及旋转的性质，即可判定△EAN≌△DAM（SAS），依据全等三角形的对应边相等，即可得到EN＝DM．
【详解】证明：∵△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，BA＝EA，
由旋转可得，∠MAN＝60°，AM＝AN，
∴∠BAE＝∠MAN，
∴∠EAN＝∠BAM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝DA，∠BAM＝∠DAM＝45°，
∴EA＝DA，∠EAN＝∠DAM，
在△EAN和△DAM中，
EA＝DA．∠EAN=∠DAM，AN=AM，
∴△EAN≌△DAM（SAS），
∴EN＝DM．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握旋转图形的性质和全等三角形的判定和性质.
24、（1），，；（2）点的坐标为；（3）
【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）设点，用三角形的面积公式得到求解即可得出结论；
（3）设出点M坐标，表示出MA2=（m-1）2+9，AB2=32，根据等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵直线与反比例函数的图象交与，两点
∴，.
∴，.
∴，.
∵点在反比例函数上，
∴.
∴反比例函数的函数表达式为.
（2）设点，
∵，∴.
∴.
∵，∴.
∴，
∵
∴.
解得：，
∴.
∴点的坐标为.
（3）设出点M坐标为（m,0），
∴MA2=（m-1）2+9，AB2=（1+3）2+（3+1）2=32，
∵是以为顶角的等腰三角形
∴AM=AB,
故（m-1）2+9=32
解得m=或m=（舍去）
∴
【点睛】
此题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式、三角形的面积公式及等腰三角形的性质.
25、（1）最多降价200元，才能使得利润不低于；（2）的值为1
【分析】（1）设降价x元，才能使利润率不低于30%，根据售价﹣成本=利润，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其最大值即可得出结论；
（2）根据总利润=单套利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）设降价元，根据题意得：
解得：
答：最多降价200元，才能使得利润不低于．
（2）根据题意得：
整理得：
解得：，(舍去)
∴．
答：的值为1．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26、（1）k≤1；（2）k的值为－，另一个根为－2；（1）k的值为1或1．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案；
（1）由（1）可得k≤1，根据k为正整数可得k=1，k=2或k=1，分别代入方程，求出方程的根，根据该方程的根都是整数即可得答案.
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根，
∴△＝22﹣4×1×（2k﹣5）＝﹣8k+24≥0，
解得：k≤1，
∴k的取值范围是k≤1.
（2）设方程的另一个根为m，
∴4+m=－2，
解得：m=－2，
∴2k﹣5＝4×（－2）
∴k＝－，
∴k的值为－，另一个根为－2．
（1）∵k为正整数，且k≤1，
∴k＝1或k＝2或k＝1，
当k＝1时，原方程为x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1，
当k＝2时，原方程为x2+2x－1＝0，解得x1＝－1+，x2＝－1－，（舍去）
当k＝1时，原方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝－1，
∴k的值为1或1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根；若方程的两个实数根为x1、x2，那么，x1+x2=，x1·x2=；正确运用一元二次方程的根的判别式并熟练掌握韦达定理是解题关键．
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