资源描述
海珠区2012学年高三综合测试（二）
数学(文科）
本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷 上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式，其中s为锥体的底面积，h为锥体的高.
如果事件A、B互斥，那么.
线性回归方程中系数计算公式
其中表示样本平均值.
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的
1. i是虚数单位，复数对应的点位于
A第一象限 B第二象限 c.第二象限 D.第四象限
2. 若集合集合5 = {6,9}，则“ a = 3，，是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知函数，若，则
A. a < b < c B. c < a <b C. b < c < a D. a < c <b
4. 已知实数x,y满足不约束条件，则目标函数Z=x-y 的最大值等于
A. 7 B. 4 C. 3 D. 5
5. 在中，若，则.的形状是
A.为钝角的二角形 B.为直角的直角二角形
C.锐角二角形 D.为直角的直角二角形
6. 已知函数的一部分图象如图1所示，则
A. B.
C. D.
7. 已知正二棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正二角形）的高与底面边长均为1，其直观图 和正(主)视图如图2，则它的左(侧)视图的面积是
A. B. 1
C. D.
8. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点S合，且双 曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为
A. B. C. D.
9. 已知各项不为O的等差数列满足：，数列.是各项均为 正值的等比数列，且，则等于
A. B. C. D.
10. 给出下列四个命题：
①命题，则；
②当x>l时，有
③函数.的零点个数有3个；
④设有五个函数，其中既是偶函数又在 上是增函数的有2个.
其中真命题的个数是
A l个 B.2个 C. 3个 Z). 4个
二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.
（一）必做题（11～13 题）
11. 公路部门对通过某路段的300辆汽车的车速进 行检测，将所得数据按[40,50), [50,60)，[60,70)， [70,80]分组，绘制成如图3所示的频率分布直 方图.图示中a的值等于_______；这300辆汽车中车速低于的汽车有_______辆.
12. 某程序框图如图4所示，该程序运行后输出 M, N的值依次为_______.
7
13. 对大于或等于2的自然数m的n次幂有如下分解方式：
根据上述分解规律，则的分解中最小的数为73， 则m的值为_______.
（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题
14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点J的坐标为，曲线c的方程为，则04 (O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为______.
15. (几何证明选讲选做题)如图5所示，过圆c外一点P做一条 直线与圆C交于A,B两点，AB - 2AP ,PT与圆C相切于T点.已知圆c的半径为2，，则PT=_____.
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分12分）
已知函数
(1)求f(X)的最小正周期；
(2)求函数f(X)在区间上的最大值和最小值,并求此时X的值.
17. (本小题满分12分）
一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5次试验,收 集数据如下：
(1) 在5次试验中任取2次，记加工时间分别为a,b求事件a,b均小于80分钟”的概 率；
(2) 请根据第二次，第二次，第四次试验的数据，求出y关于X的线性回归方程
(3) 根据(2)得到的线性回归方程预测加工70个零件所需要的时间.
18. (本小题满分14分）
如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点,M是PD的中点,AB= 2,：
(1) 求证：OM//平面PAB;
(2) 平面PBD丄平面PAC;
(3) 当四棱锥P-ABCD的体积等于.时,求PB的长.
19. (本小题满分14分）
设椭圆的左、右顶点分别为A、B,点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点.
(1) 若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；
(2)对于由（1)得到的椭圆C，过点p的直线l交X轴于点-1,0)，交y轴于点M，若，求直线l的斜率.
20. (本小题满分14分）
已知函数丨
(1)若a= 1,求曲线_在点处的切线方程；
(2) 若f(X)在的最小值为，求a的值；
(3) 若在上恒成立，求a的取值范围.
21. (本小题满分14分）
已知点」都在函数的图象上.
(1) 若数列是等差数列，求证数列是等比数列；
(2) 若数列的前《项和是，过点的直线与两坐标轴所围二角 形面积为，求最小的实数t使恒成立；
(3) 若数列为山（2)中得到的数列，在与之间插入个3， 得一新数列，问是杏存在这样的正整数w，使数列的前m项的和
，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由
海珠区2012学年高三综合测试(二)
文科数学参考答案与评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
B
D
D
A
A
C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11. , 12. 34, 55 13. ; 14. 15.
(第11题第一空分,第二空分)
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.(本小题满分12分)
（本小题主要考查三角两角和的正余弦公式,三角特殊值的运算,函数的周期,最值等知识,考查化归、转化、换元的数学思想方法，以及运算求解能力）
解：（1）
…………2分
…………3分
…………4分
…………5分
…………6分
的最小正周期为 …………7分
(2)由(1)知,
由,得, …………8分
当,即时, 取得最大值; …………10分
当,即时, 取得最小值.…………12分
17.( 本小题满分12分)
（本小题主要考查考查互斥事件、古典概型、线性回归,样本估计总体等知识，考查或然与必然,样本估计总体的统计思想方法，以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识）
解:(1)构成的基本事件
有:,共有个． …………2分
其中“均小于80分钟”的有共个. …………3分
事件 “均小于80分钟”的概率为. …………4分
(2)， …………5分
…………6分
. …………8分
…………9分
关于的线性回归方程 …………10分
（3）由(2)知关于的线性回归方程为,
当时,. …………11分
预测加工个零件需要分钟的时间. …………12分
18.（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
解:(1)在中，、分别是、的中点,
是的中位线，
， …………1分
平面，平面，……3分
平面. …………4分
(2) 底面是菱形,
， ………5分
平面,平面
. …………6分
平面,平面,,
…………7分
平面, …………8分
平面, …………9分
平面平面. …………10分
(3) 底面是菱形,
菱形
的面积为,…………11分
四棱锥的高为,,得 …………12分
平面,平面,
. …………13分
在中,. …………14分
19.(本小题14分)
（本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力）
解:(1) 由已知,设. …………1分
则直线的斜率,
直线的斜率.
由,得. …………2分
…………3分
,得, …………4分
. …………5分
椭圆的离心率. …………6分
(2) 由题意知直线的斜率存在. …………7分
设直线 的斜率为 , 直线的方程为 …………8分
则有，
设，由于三点共线，且
根据题意，得 …………9分
解得或 …………11分
又点在椭圆上，又由（1）知椭圆的方程为
所以…………①
或 …………②
由①解得，即,
此时点与椭圆左端点重合, 舍去; …………12分
由②解得，即 …………13分
直线直线的斜率. …………14分
20. (本小题满分14分)
（本小题主要考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识，考查化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力）
解:(1)当时,
. ……………… 1分
曲线在点处的切线方程为,即. ………3分
(2) . ……………… 4分
①若,则,即在上恒成立,此时在上为增函数,
……………… 5分
,
(舍去); ……………… 6分
②若,则,即在上恒成立,此时在上为减函数,
……………… 7分
,
(舍去); ……………… 8分
③若,令得,
当时,,在上为增函数,
当时,,在上为减函数, ……………… 9分
,
.
综上所述,. ……………… 10分
（3）又 ……………… 11分
令则
. ……… 12分
当时,,在上是减函数.
,即,在上也是减函数.
, ……………… 13分
当时, 在上恒成立. ……………… 14分
21.(本小题满分14分)
（本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）
解:（1）证明：数列是等差数列，设公差为，则对恒成立， ……………… 1分
依题意，， ……………… 2分
所以是定值， ……………… 3分
从而数列是等比数列． ……………… 4分
（2）解：当时，，当时，，也适合此式，
即数列的通项公式是． ……………… 5分
由，
数列的通项公式是， ……………… 6分
所以，．
过这两点的直线方程是：，
可得与坐标轴的交点是和． ……………… 7分
，……………… 8分
由于……………9分
即数列的各项依次单调递减，所以． ……………… 10分
（3）数列中，（含项）前的所有项的和是
……… 11分
估算知，当时，其和是， ……………… 12分
当时，其和是，
又因为，是3的倍数，故存在这样的，使得， ……………… 13分
此时． ……………… 14分
13
用心 爱心 专心
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