2022年高二数学排列组合知识点归纳.docx

2022高二数学排列组合知识点归纳排列组合公式/排列组合计算公式 排列P-和挨次有关 组合C-不牵涉到挨次的问题 排列分挨次，组合不分 例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.“排列“ 把5本书分给3个人，有几种分法“组合“ 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素根据肯定的挨次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的全部排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示. p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的全部组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n，m)表示. c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/(n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，.nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*.*nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标) Pnm=n(n-1).(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标) Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 公式P是指排列，从N个元素取R个进展排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进展排列。N-元素的总个数R参加选择的元素个数!-阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应当为n*(n-1)*(n-2).(n-r+1); 由于从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r举例： Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数? A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列挨次有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，明显不会消失988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应当有9-1种可能，个位数则应当只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3，9)=9*8*7，(从9倒数3个的乘积) Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，假如三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”? A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求挨次的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将全部的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3，9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参与一个课外小组;(2)每名学生都只参与一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参与.各有多少种不同方法? 解(1)由于每名学生都可以参与4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法. (2)由于每名学生都只参与一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参与，因此共有种不同方法. 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进展计算. 例2排成一行，其中不排第一，不排其次，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种? 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采纳画“树图”的方式逐一排出： 符合题意的不同排法共有9种. 点评根据分“类”的思路，此题应用了加法原理.为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型.例3推断以下问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. (1)高三年级学生会有11人：每两人互通一封信，共通了多少封信?每两人互握了一次手，共握了多少次手? (2)高二年级数学课外小组共10人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法?从中选2名参与省数学竞赛，有多少种不同的选法? (3)有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积? (4)有8盆花：从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法?从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法? 分析(1)由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与挨次有关是排列;由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与挨次无关，所以是组合问题.其他类似分析. (1)是排列问题，共用了封信;是组合问题，共需握手(次). (2)是排列问题，共有(种)不同的选法;是组合问题，共有种不同的选法. (3)是排列问题，共有种不同的商;是组合问题，共有种不同的积. (4)是排列问题，共有种不同的选法;是组合问题，共有种不同的选法. 例4证明. 证明左式 右式. 等式成立. 点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化. 例5化简. 解法一原式 解法二原式 点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两共性质，都使变形过程得以简化. 例6解方程：(1);(2). 解(1)原方程 解得. (2)原方程可变为 ， 原方程可化为. 即，解得 第六章排列组合、二项式定理 一、考纲要求 1.把握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简洁的问题. 2.理解排列、组合的意义，把握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简洁的问题. 3.把握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简洁问题. 二、学问构造 三、学问点、力量点提示 (一)加法原理乘法原理 说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的根底，把握此两原理为处理排列、组合中有关问题供应了理论依据.