2014-2015年选修2-1-3课时提升作业(二十二)-3.1.3.doc

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课时提升作业(二十二)
空间向量的数量积运算

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(　　)
A.60°　　　B.30°　　　C.135°　　　D.45°
【解析】选D.因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,所以a·a-a·b= |a|2-|a|·|b|·cos<a,b>=1-1··cos<a,b>=0,所以cos<a,b>=.因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°.
2.(2014·广州高二检测)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的
(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.a·b=|a||b|⇒cos<a,b>=1⇒<a,b>=0°,即a与b共线,反之不成立,因为当a与b共线反向时,a·b=-|a||b|.
3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于(　　)
A. B. C. D.4
【解析】选C.|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6·cos60°+9=13.所以|a+3b|=.
4.(2014·青岛高二检测)已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为(　　)
A.8 B. C.4 D.
【解析】选D.cos<a,b>==,
所以sin<a,b>=,
所以平行四边形的面积S=|a||b|sin<a,b>=.
5.已知PA⊥平面ABC,垂足为A,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于(　　)

A.6 B.6 C.12 D.144
【解析】选C.因为=++,所以=+++2·= 36+36+36+2×36cos60°=144.所以||=12.
6.(2014·福州高二检测)若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则(　　)[来源:学,科,网]
A.m∥n
B.m⊥n
C.m,n既不平行也不垂直
D.以上三种情况都可能
【解析】选B.因为m·n=m·(λa+μb)=λm·a+μm·b=0,所以m⊥n.
【一题多解】选B.由向量n=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0)知向量n与向量a,b共面,故向量m⊥n.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a·b等于　　　　.
【解析】a·b=(2i-j+k)·(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.
答案:-2
8.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为　　　　.
【解题指南】本题的关键是利用条件a+b+c=0,两边平方,再结合模求解.
【解析】因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-=-13.
答案:-13
9.(2014·聊城高二检测)设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则<a,b>=　　　　.
【解析】因为(2m+n)⊥(m-3n),
所以(2m+n)·(m-3n)=0,化简得m·n=-2.
又因为|a|==
==6,
|b|= ==3,
a·b=(4m-n)·(7m+2n)
=28|m|2-2|n|2+m·n=18,
所以cos<a,b>===1,得<a,b>=0°.
答案:0°
【变式训练】已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,求<a,b>.
【解析】(a+3b)·(7a-5b)
=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,
(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,
解之得|b|2=2a·b=|a|2,
所以cos<a,b>==,
所以<a,b>=60°.
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.如图所示,已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°.

求·的值.
【解析】不妨设AD=BD=CD=1,则AB=AC=.
·=(-)·=·-·,
由于·=·(+)=·=1,
·=||·||cos60°=××=1.
所以·=0.
11.(2014·牡丹江高二检测)如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面
ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.求证:CC1⊥BD.

【解题指南】利用已知条件表示所证明的两条直线所在的向量的数量积为0,即可证明两条直线垂直.
【证明】设=a,=b,=c,则|a|=|b|.
因为=-=b-a,
所以·=(b-a)·c=b·c-a·c
=|b||c|cos60°-|a||c|cos60°=0,
所以⊥,即CC1⊥BD.

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.已知a,b是异面直线,a⊥b,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,且a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)
A.-6 B.6 C.3 D.-3X K B 1.C O M
【解析】选B.由a⊥b,得a·b=0,
所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0.
因为e1·e2=0,所以2k-12=0,所以k=6.
2.(2014·郑州高二检测)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】选B.因为+-2
=(-)+(-)=+,
所以(+)·(-)=||2-||2=0,
所以||=||.
3.(2014·银川高二检测)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AC1的长为
(　　)
A. B.2 C. D.
【解析】选D.因为=++,
所以|2=(++)2=+++2·+2·+ 2·=1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6,所以||=.
【拓展延伸】求两点间的距离或某条线段的长度
　　先将此线段用向量表示,然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量,最后利用|a|2=a·a,通过向量运算去求|a|,即得所求距离.
4.(2014·天津高二检测)如图,正四面体ABCD中,E是BC的中点,那么(　　)

A.·<·
B.·=·
C.·>·
D.·与·不能比较大小X k B 1 . c o m
【解析】选C.因为·=(+)·(-)=(||2-||2)=0,
·=(+)·
=·(-)+·
=||·||·cos120°-||·||cos120°+||·||cos120°<0.
所以·>·.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则|+|=　　　　,|-|=　　　　,与所成角为　　　　.

【解题指南】可先化简+知其等于,再用表示进而把向量-用向量,表示.
【解析】|+|=||=2;=,
·=2×2×cos60°=2,
故|-|2=|-|2
=-·+
=4-2+×4=3,
故|-|=.
又因为==(-),
故·=·(-)
=(·-·)=0,
因为0°≤<,>≤180°,
所以<,>=90°.
答案:2　　90°
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:
①(++)2=3;
②·(-)=0;
③与的夹角为60°;
④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的序号是　　　　　　　.
【解析】如图所示,(++)2=(++)2==3; ·(-)=·=0;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°;正方体的体积为||||||.综上可知,①②正确.

答案:①②
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.已知正四面体OABC的棱长为1,点E,F分别是OA,OC的中点.求下列向量的数量积:
(1)·.
(2)(+)·(+).
(3)|++|.
【解题指南】根据数量积的定义进行计算,求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,注意充分结合正四面体的特征.w w w .x k b 1.c o m
【解析】(1)因为E,F分别是OA,OC的中点,
所以EF∥AC,且EF=AC,
于是·=||||cos<,>
=||·||cos<,>=×1×1×cos<,>=×1×1×cos60°=.
(2)(+)·(+)=(+)·
(-+-)
=(+)·(+-2)w w w .x k b 1.c o m
=+·-2·+·
+-2·
=1+-2×++1-2×=1.
(3)|++|
=
==.
【拓展延伸】利用图形找关系
在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算. X k B 1 . c o m

8.(2014·济南高二检测)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为.w w w .x k b 1.c o m

(1)设侧棱长为1,计算<,>.
(2)设与的夹角为,求||.
【解析】(1)=+,
=+.
因为BB1⊥平面ABC,
所以·=0,·=0.
又△ABC为正三角形,
所以<,>=π-<,>=π-=.
因为·=(+)·(+)
=·+·++·
=||·||·cos<,>+新 课 标 第 一 网
=-1+1=0,
所以<,>=90°.
(2)结合(1)知·=||·||·cos<,>+=-1.
又||===||,
所以cos<,>==,所以||=2.
【变式训练】如图所示,已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线.

【解析】因为点F是BC的中点,
所以=(+).X Kb 1.Co m
所以=-=(+)-
=(+-).
又||=||=|-|,
所以=-2·+　　　　①,
同理==-2·+.　②
由①代入②可得
=-2·+-2·+,
所以2-2·(+)=0,
所以·(+-)=0.
所以·(+-)=0.
所以·=0,⊥.
同理可得⊥,
所以EF是AD与BC的公垂线.
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