人教新课标版(2013教材)初中八上第12章全等三角形知识梳理.doc

人教新课标版（2013教材）初中八上第12章全等三角形知识梳理
一．全等三角形概念
1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．
3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
4．全等三角形的表示：
（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．

二．全等三角形的性质：
1.全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
2.全等三角形的周长、面积相等．
三．全等的变换
1.全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．
平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．
2.全等三角形基本图形
翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素

旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素

平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素

四．两个三角形全等的条件
1.全等三角形的判定1——边边边公理
三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．
2.全等三角形的判定2——边角边公理
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
3.全等三角形的判定3——角边角公理
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．
4.全等三角形的判定4——角角边推论
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．
5.直角三角形全等的判定——斜边直角边公理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．
判定直角三角形全等的方法：
①一般三角形全等的判定方法都适用；
②斜边-直角边公理
五．判定三角形全等方法的选择：
1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2.要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3.要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
具体选择方法如下：
（1）已知两边对应相等
①证第三边相等，再用SSS证全等
②证已知边的夹角相等，再用SAS证全等
③找直角，再用HL证全等
（2）已知一角及其邻边相等
①证已知角的另一邻边相等，再用SAS证全等
②证已知边的另一邻角相等，再用ASA证全等
③证已知边的对角相等，再用AAS证全等
（3）已知一角及其对边相等
证另一角相等，再用AAS证全等
(4)已知两角对应相等
①证其夹边相等，再用ASA证全等
②证一已知角的对边相等，再用AAS证全等
4.常用做辅助线的方法
（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
（2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长中线）
（3）利用加长（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）
六．一般情况下，证明关于三角形全等的题有以下步骤：
（1）读题：明确题中的已知和求证；
（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中
（3）分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有公共边的， 公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角
也是对应角
（5）先证明缺少的条件
（6）再证明两个三角形全等
（要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论）
七．角平分线
1、尺规作图画角平分线
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。
（2）分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。
（3）画射线OC。射线OC即为所求。

2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
图形表示：若CD平分∠ADB,点P是CD上一点PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE=PF。

3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
图形表示：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE=PF，则PD平分∠ADB

4、证明命题的步骤：
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。