高中数学-集合与常用逻辑用语-测试题.docx

集合与常用逻辑用语测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．(2018·辽宁阜新实验中学月考)已知命题p：x2＋2x－3>0，命题q：x>a，若綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是(　　)
A. [1，＋∞) B. (－∞，1]
C. [－1，＋∞) D. (－∞，－3]
2．若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3．已知集合， ，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知，则“”是“是偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
6．命题“， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. 不存在，
7．已知命题若 ， ，则 ；命题若 ， ， ，则 ，下列是真命题的是( )
A. B.
C. D.
8．已知集合，则=( )
A. B.
C. D.
9．下列选项中，说法正确的是(　　)
A. 若a＞b＞0，则ln a＜ln b
B. 向量a＝(1，m)与b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1
C. 命题“∀n∈N*,3n＞(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”
D. 已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题
10．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

二、填空题
11．已知集合A= B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
12．已知非空集合A，B满足下列四个条件：
①A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7}；
②A∩B＝∅；
③A中的元素个数不是A中的元素；
④B中的元素个数不是B中的元素．
(1)如果集合A中只有1个元素，那么A＝________；
(2)有序集合对(A，B)的个数是________．
13．下列说法中不正确的是________．(填序号)
①若a∈R，则“1a＜1”是“a＞1”的必要不充分条件；
②“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件；
③若命题p：“∀x∈R，sin x＋cos x≤2”，则p是真命题；
④命题“∃x0∈R，＋2x0＋3＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3＞0”．
14．命题：“∃x∈R，cos2x≤cos2x”的否定是________．
15．给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，cosx>0”的否定是“∃x0∈R，cosx0≤0”；
②若0<a<1，则函数f(x)＝x2＋ax－3只有一个零点；
③函数y＝2sinxcosx在上是单调递减函数；
④若lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为4.
其中真命题的序号是________．
16．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
17．命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________.
18．若为非零实数，则下列四个命题都成立：
① ② ③若，则
④若，则则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是。
19．设p ，q均为实数，则“ q<0 ”是“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”的________条件.
(选填：充要、必要不充分、充分不必要、既不充分也不必要)
20．以下说法正确的是________(填序号)．
①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；
②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；
③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；
④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．

三、解答题
21．若集合P满足P∩{4，6}＝{4}，P∩{8，10}＝{10}，且P⊆{4，6，8，10}，求集合P.
22．已知集合A＝{x|x＋3≤0}，B＝{x|x－a<0}.
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝B，求a的取值范围.
23．(2016·广东揭阳三中高一段考)已知全集为R,集合A={x|2≤x≤6},B={x|3x-7≥8-2x}.
(1)求A∪B;
(2)求∁R(A∩B);
(3)若C={x|a-4≤x≤a+4},且A⊆∁RC,求a的取值范围.
24．已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x-a≥0}.
(1)若A∩B=A,求a的取值范围;
(2)若全集U=R,且A⊆∁UB,求a的取值范围.
25．已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(∁RA)=R,B∩(∁RA)={x|0<x<1,或2<x<3},求集合B.

参考答案
1．A
【解析】将x2＋2x－3>0化为(x－1)(x＋3)>0，所以命题p：x>1或x<－3.因为非q的一个充分不必要条件是非p，所以p的一个充分不必要条件是q，所以(a，＋∞)是(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集，所以a≥1.故选A.
2．D
【解析】求解不等式可得： ，
即是的充分不必要条件，
据此可知： 的取值范围是.
本题选择D选项.
3．A
【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.
4．C
【解析】因为是偶函数，所以
所以.所以“”是“是偶函数”的充要条件.故选C.
5．D
【解析】集合 ，阴影部分所表示的集合为
，
故答案为：D.
6．B
【解析】分析：根据全称命题与存在性命题关系，可得到命题的否定.
详解：根据命题的否定知：“， ”的否定为“， ”，
故选B．
点睛：本题考查了含有量词的否定，其中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键.
7．D
【解析】分析：先判断命题与命题的真假，再得到与的真假，结合选项即可得结果.
详解：若 ， ，则 或，故假， 真；
， ， ，则 ，正确，故为真， 为假，
为真命题，故选D．
点睛：本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行的性质及的判定，非、且、或的定义，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
8．B
【解析】分析：直接根据交集的定义求解即可.
详解：因为，
所以，根据交集的定义可得，故选B.
点睛：本题主要考查集合的交集的基本概念，意在考查基础知识掌握的熟练程度.
9．D
【解析】A中，因为函数y＝ln x(x＞0)是增函数，所以若a＞b＞0，则ln a＞ln b，故A错；
B中，若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错；
C中，命题“∀n∈N*,3n＞(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n0∈N*，3n0≤(n0＋2)·2n0－1”，故C错；
D中，原命题的逆命题是“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)＜0”，是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)＞0，故D正确．
故答案为;D .
点睛：本题考查命题的否定，充要条件及四种命题，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化.在判断命题的充要条件时，可以先找命题的逆否命题，判断逆否命题的充要条件即可.
10．B
【解析】p:A,B的体积相等，¬q:A,B在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此q是¬p的必要不充分条件.选B.
11．(2，＋∞)
【解析】A＝ ＝{x|－1<x<3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，即m>2.
故答案：(2，＋∞)
12． {6}　 32
【解析】(1)若集合A中只有1个元素，则集合B中有6个元素，6∉B，故A＝{6}．
(2)当集合A中有1个元素时，A＝{6}，B＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A，B)有1个；
当集合A中有2个元素时，5∉B,2∉A，此时有序集合对(A，B)有5个；
当集合A中有3个元素时，4∉B,3∉A，此时有序集合对(A，B)有10个；
当集合A中有4个元素时，3∉B,4∉A，此时有序集合对(A，B)有10个；
当集合A中有5个元素时，2∉B,5∉A，此时有序集合对(A，B)有5个；
当集合A中有6个元素时，A＝{1,2,3,4,5,7}，B＝{6}，此时有序集合对(A，B)有1个．
综上可知，有序集合对(A，B)的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.
答案：(1){6}　(2)32
13．②④
【解析】由1a＜1，得a＜0或a＞1，反之，由a＞1，得1a＜1，∴“1a＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故①正确；
由p∧q为真命题，知p，q均为真命题，所以p∨q为真命题，反之，由p∨q为真命题，得p，q至少有一个为真命题，所以p∧q不一定为真命题，所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故②不正确；
∵sin x＋cos x＝2sinx+π4≤2，∴命题p为真命题，③正确；
命题“∃x0∈R，x02＋2x0＋3＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3≥0”，故④不正确．
故答案：②④
点睛：本题考查命题的否定，充要条件及四种命题，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化.
14．∀x∈R，cos2x>cos2x
【解析】特称命题的否定为全称命题，则命题：“∃x∈R，cos2x≤cos2x”的否定是∀x∈R，cos2x>cos2x.
15．①④
【解析】由全称命题的否定是特称命题知①为真命题．
在同一直角坐标系内作出y＝3－x2，y＝ax(0<a<1)的图象如图所示．由图知两函数图象有两个交点，则函数f(x)＝x2＋ax－3有两个零点，故②为假命题．

由y＝2sinxcosx＝sin2x，
又时， ，
故y＝2sinxcosx在上是增函数，因此③为假命题．
④中由lga＋lgb＝lg(a＋b)知，
ab＝a＋b且a>0，b>0.
又，
所以令a＋b＝t(t>0)，
则4t≤t2，即t≥4，因此④为真命题．
故答案为：①④．
点睛：确定函数的零点，可以画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
16．(－∞，2]
【解析】要使A∪B＝R，则，即实数a满足a≤2. 实数a的取值范围是(－∞，2].
17．无解或至少两解
【解析】否命题是对原命题的条件和结论都否定，“方程的解是唯一的”的结论的否定是“无解或至少两解”
故答案为无解或至少两解.
18．②④
【解析】①不一定成立，如 ；③不一定成立，如
所以对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是②④
19．充要
【解析】∵q＜0，∴Δ＝p2－4q＞0.
∴“方程x2＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”成立.
∵“方程x2＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”成立，∴q＜0
所以“ q<0 ”是“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”的充要条件.
20．②③④
【解析】①错误．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
②正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
③正确．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
④正确．余弦定理可以看作勾股定理的推广．
故答案为：②③④
21．P＝{4，10}.
【解析】试题分析:由P∩{4，6}＝{4}可得4∈P，6∉P，由P∩{8，10}＝{10}可得10∈P，8∉P，又P⊆{4，6，8，10}，则P＝{4，10}.
试题解析:
由条件知4∈P，6∉P，10∈P，8∉P，∴P＝{4，10}.
22．(1) a＞－3;(2) a≤－3.
【解析】试题分析:(1)分别化简集合A,B, A∪B＝B即A⊆B，可求出a的取值范围;(2) A∩B＝B即B⊆A,比较端点值得出a的范围.
试题解析:
(1)∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴a＞－3.
(2)∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴a≤－3.
点睛:本题考查集合的交并补运算以及集合间的基本关系,考查了转化思想,属于基础题.当集合是无限集时,经常把已知集合表示在数轴上,然后根据交并补的定义求解,画数轴或者韦恩图的方法,比较形象直观,但解答时注意端点值是否取到的问题,也就是需要检验等号是否成立.
23．（1） ；（2） ；（3）
【解析】解:(1)∵B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},
∴A∪B={x|x≥2}.
(2)∵A∩B={x|3≤x≤6},
∴∁R(A∩B)={x|x<3,或x>6}.
(3)由题意知C≠⌀,
则∁RC={x|x<a-4,或x>a+4}.
∵A={x|2≤x≤6},A⊆∁RC,
∴a-4>6或a+4<2,解得a>10或a<-2.
故a的取值范围为a<-2或a>10.
24．（1） ；（2）
【解析】试题分析：根据已知及集合间的关系在数轴上表示个集合 ，就能直观的显示出元素间的数量关系，再将显示的结果用数学式表示出来即可.
试题解析：
解:(1)∵B={x|x≥a},
又A∩B=A,
∴A⊆B.
如图所示.

∴a≤-4.
(2)∁UB={x|x<a},如图所示.

∵A⊆∁UB,
∴a>-2.
【点睛】
根据集合间的关系求参数，关键是将其转化为元素间的关系，对于以不等式形式给出的集合通常借助数轴进行求解会更直观，求解后一定要进行检验.
25．
【解析】试题分析：根据已知及集合间的关系在数轴上表示个集合 ，就能直观的显示出所示结果，再将结果用数学式表示出来即可.
试题解析：
∵A={x|1≤x≤2},
∴∁RA={x|x<1,或x>2}.
又B∪(∁RA)=R,A∪(∁RA)=R,可得A⊆B.
而B∩(∁RA)={x|0<x<1,或2<x<3},
∴{x|0<x<1,或2<x<3}⊆B.
借助于数轴

可得 .