对数与对数函数-三角函数-和差化积公式及其推导过程.docx

08物理与电子信息科学学院 韦华 教案

lg2=0.3010 lg3 =0.4771 lg5=0.6990 lg7=0.8451
2．有理数指数幂
（1）幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:;
②正数的负分数指数幂:
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质
①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);
③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.
3．指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图象

定义域
R
值域
（0，+）
性质
（1）过定点（0，1）
（2）当x>0时，y>1;
x<0时,0<y<1
(2) 当x>0时，0<y<1;
x<0时, y>1
(3)在（-，+）上是增函数
（3）在（-，+）上是减函数
注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数
1、对数的概念
（1）对数的定义
如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。
（2）几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为

常用对数
底数为10

自然对数
底数为e

2、对数的性质与运算法则
（1）对数的性质（）：①，②，③，④。
（2）对数的重要公式：
①换底公式：；
②。
（3）对数的运算法则：
如果，那么
①；
②；
③；
④。
3、对数函数的图象与性质
图象

性质
（1）定义域：（0,+）

（2）值域：R
（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）
（4）当时，；
当时，
（4）当时，；
当时，
（5）在（0,+）上为增函数
（5）在（0,+）上为减函数
注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b.

两角和公式和差化积公式及其推导过程
一 和差化积公式
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 、
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
和差化积公式由积化和差公式变形得到，
积化和差公式是由正弦或余弦 的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。 推导过程：
二 推导过程 ：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
同理，把两式相减，得到：
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
把两式相加，得到：
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
同理，两式相减，得到
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
这样，得到了积化和差的四个公式:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化 积的四个公式.我们把上述四个公式中的 α+β =θ, α-β = φ, 那 么
α=(θ+φ)/2， β=(θ-φ)/2
把 α, β 分别用 θ, φ 表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
变形为
2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] =sinθ+sinφ
2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =sinθ-sinφ
2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] =cosθ+cosφ
-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]= cosθ-cosφ