济南市高三数学5月模拟考试试题-理-(济南三模)新人教A版.doc

2012年济南市高三5月份模拟考试试题
数学（理工类）
本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后将答题卡交回．
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
样本数据的方差，其中为样本的平均数；
锥体体积公式：，其中为锥体底面的面积，为锥体的高；
圆锥的侧面积公式：，其中是圆锥的底面半径，是圆锥的母线长；
圆柱的侧面积公式：，其中是圆柱的底面半径，是圆柱的母线长.

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若全集R，集合，｛｝，则
A． B．　　C． D．
【解析】，
，所以，所以，选D.
【答案】D
2．已知非零向量、满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是
A． B． C． D．
【解析】因为向量与向量的夹角为，所以，即，所以，即，选B.
【答案】B
３．是数列的前项和，则“是关于的二次函数”是“数列为等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】若是关于的二次函数，则设为，则当时，有，当,,只有当时，数列才是等差数列，若数列为等差数列，则，当为二次函数，当时，为一次函数，所以“是关于的二次函数”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件，选D.
【答案】D
４、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数：
①； ②；
③； ④.
其中“同簇函数”的是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【解析】若为“同簇函数”，则振幅相同，将函数进行化简①，③，所以②③振幅相同，所以选C.
【答案】C
5．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围
A． B． C． D．
【解析】因为双曲线的渐近线为，要使直线与双曲线无交点，则直线，应在两渐近线之间，所以有，即，所以，，即，，所以，选B.
【答案】B

6．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积等于( )
A． B． C． D．

【解析】由三视图可知这是一个底面是直角梯形，高,的四棱锥。底面是一个直角梯形，上底,下底,梯形的高。所以四棱锥的体积为，选C.
【答案】A
7．已知实数，执行如右图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（ ）

A． B． C． D．
【解析】第一次运行，，第二次为，第三次为，第四次输出，又，解得，所以输出的不小于的概率为，选A.
【答案】A
8. 函数f（x）=log|x|，g（x）=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是( )

【解析】因为函数都为偶函数，所以也为偶函数，所以图象关于轴对称，排除A,D, ，当时，，排除B,选C.
【答案】C
9．已知、是三次函数的两个极值点，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解析】因为函数有两个极值，则有两个不同的根，即，又，又，所以有，即。的几何意义是指动点到定点两点斜率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经过AB时，斜率最小，此时斜率为，直线经过AD时，斜率最大，此时斜率为，所以，选B.
【答案】B
10.过抛物线焦点作直线交抛物线于A,B两点，O为坐标原点，则为
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．不确定 D．钝角三角形

【解析】,设过A,B的坐标为，则，所以当，即，，此时，三角形为直角三角形，当时，，三角形为钝角三角形，当时，，三角形为锐角三角形，所以三角形的形状不确定，选C.
【答案】C
11. 将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【解析】根据数的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，,则剩余5,6,7,8四个数字，而8只能放在在A,B两个位置，若8放在B处，,则C处可以从5,6,7三个数字中选一个放在C处，剩余两个按照大小放在D,A处，此时共有3种，同理，若8放在A处，则可以从5,6,7三个数字中选一个放在D处，剩余两个按照大小放在B,C处，此时也有3种，所以共有6种填法，选A.
【答案】A

12.定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，有
A． B．
C． D．
【解析】①若，则，此时和为偶函数都成立，此时当时，恒有。
②若不是常数，因为函数为偶函数，所以，即函数关于对称，所以。当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增。若，则由，得，即，所以同理若，由，得，即，所以，若中一个大于1，一个小于1，不妨设，则，得，所以，即，综上有，即，选A.
【答案】A
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.
13. 是虚数单位，能使得成立的成立的最小正整数是 ；
【解析】由，得，所以，即,
所以最小的正整数为3。
【答案】3
14．已知函数，若成立，则＝________.
【解析】因为f(x)dx＝ (3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4⇒a＝－1或a＝.

【答案】
１5. 在中，角A、B、C所对的边为，若成等差数列，则角B的最大值是_____________
【解析】因为为等差数列，所以，，即，
，所以，所以最大值为.
【答案】
16. 下列正确命题的序号是____________
（1）“ ”是直线与直线相互垂直的必要不充分条件
（2），使得函数是偶函数
（3）不等式：≥， ≥ ，≥，…，
由此猜测第个不等式为…≥…
（4）若二项式的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中的系数是
【解析】当时，两直线为和，此时两直线垂直，“ ”是直线与直线相互垂直的充分不必要条件，，所以（1）错误，所以当时，为偶函数，所以(2)正确，由归纳推理可知，（3）正确，令，则得所有项系数为，解得，二项式的通项公式为，令，得，所以，所以系数为，所以（4）错误，正确的为(2) (3)。
【答案】(2) (3)
三、解答题：本大题共6个小题.共74分.
17. （本题满分12分）已知函数的图象经过点
(1)求实数的值；
(2)求函数的周期及单调增区间.
解：函数的图象经过点
------3分
解得：------6分
(2)由(1)知：
函数f(x)的周期 （10分）
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得2kπ－≤2x≤2kπ＋　k∈Z.
即函数的增区间　k∈Z. （12分）

18.（本题满分12分）
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情
况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，
已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，其中第
小组的频数为.
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.
18．解：（1）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为,则由条件可得:
解得……4分
又因为，故 ……………………………6分
(2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为……8分
所以服从二项分布,
随机变量的分布列为：

0
1
2
3

则 ……………………12分
(或: )
19、（本题满分12分）
在斜三棱柱中，侧面，,,,.
(1)求证：；
(2)在侧棱上确定一点，使得二面角的大小为.
19.（1）证：，
，即有；
又，为中点，则
……………………………4分
(2)如图所示以点为坐标系原点，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系,则有

，设，且，即有，
所以点坐标为. ……………………………7分
由条件易得面地一个法向量为…………….8分
设平面地一个法向量为，
由可得
令，则有， …………………………………10分
则,得
所以，当时，二面角的大小为…………………12分
20. （本题满分12分）
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30, t∈N﹢）的旅游人数 (万人)近似地满足= 4 +,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-｜t-20｜.
(1)求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t（1≤t≤30,t∈N﹢）的函数关系式；

(2)求该城市旅游日收益的最小值.
（1）解：……………………………4分
=…………………………………6分
（2）当，（t=5时取最小值）………9分
当，因为递减，所以t=30时，W(t)有最小值W(30)= ………11分
所以时，W(t)的最小值为441万元………12分

21.已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21．解： (Ⅰ)则由题设可知， 2分
又 3分
所以椭圆C的方程是. ……4分
(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，
将它代入椭圆方程，并整理，得． ……5分
设点A、B的坐标分别为，则
因为及
所以

……8 分
当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T， ……9分
所以解得
此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. ……10分
当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. ……12分

解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是
若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 ……6分
由解得.
由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. ……7分
事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：
当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）；
当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得8分
设点A、B的坐标为，则
因为，

所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. ……11分
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件. ……12分

(22)(本小题满分14分)
设函数表示导函数。
(I)求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)当为偶数时，数列{}满足．证明：数列{}中
不存在成等差数列的三项；
(Ⅲ)当为奇数时， 设，数列的前项和为，证明不等式
对一切正整数均成立，并比较与的大小.
解：(I)定义域为,
当为奇数时，恒成立,
2分
当为偶数时，,
又，，
由，，
4分
(Ⅱ) 当为偶数时，，
由已知，，
，，
是以2为公比的等比数列.
,.6分
数列{}中假设存在三项，，成等差数列，不妨设，
则，
又，，，

，，
等式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，
假设不成立，数列{}中不存在成等差数列的三项9分
(Ⅲ) 当为奇数时，

要证，即证，两边取对数，
即证10分
设，则，
，构造函数，
，，
，
即，，即.12分

,

14分

- 13 -
用心 爱心 专心