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综合检测(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则必有(　　)
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．2∈A
2．若幂函数的图象过点(3，)，则该函数的解析式是(　　)
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝x3 D．y＝x－1
3．映射f：A→B，在f作用下A中元素(x，y)与B中元素(x－1,3－y)对应，则与B中元素(0,1)对应的A中元素是(　　)
A．(1,2) B．(0,3)
C．(－1,2) D．(－1,3)
4．函数f(x)＝log2(logx)的定义域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(，2)
C．(0,1) D．(，＋∞)
5．可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　)

6．函数y＝2x(x∈R)的反函数是(　　)
A．y＝log2x(x>0) B．y＝log2x(x>1)
C．y＝logx2(x>0) D．y＝logx2(x>1)
7．函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值是(　　)
A. B．±
C．1 D.或1
8．若a＝()x，b＝x3，c＝logx，则当x>1时，a、b、c的大小关系是(　　)
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．a<c<b
9．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等实数a、b，总有>0成立，则必有(　　)
A．f(x)在R上是增函数
B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)是先增加后减少
D．函数f(x)是先减少后增加
10．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是(　　)

x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
11．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是(　　)
A．x>1 B．1<x<2
C．0<x<2 D．x<1
12．某供电公司采用分段计费的方法来计算电费，月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示．当月用电量为300度时，应交电费(　　)

A．130元 B．140元
C．150元 D．160元

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．已知集合A＝{－2，－1,1,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝________________.
14．函数y＝loga(x－1)＋1(a>0且a≠1)一定过点________．
15．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f的所有x之和为________．
16．将一块边长为42 cm的正方形铁皮剪去4个角(4个全等的小正方形)做成一个无盖铁盒，则铁盒的容积y(cm3)与剪去的小正方形的边长x(cm)的函数关系式是y＝________，其定义域为________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(12分)设A＝{x∈Z||x|<6}，B＝{－2,3,4}，C＝{3,4,5}．
求：(1)A∩(B∪C)；
(2)A∩∁A(B∪C)．

18．(12分)(1)化简：a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).
(2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，试用a，b表示log512.(参考公式logab＝)．

19．(12分)已知函数f(x)＝(x∈R)，若f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0.
(1)求实数a的值；
(2)判断并证明函数f(x)的单调性．

20．(12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2，2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的图象；

(3)写出函数f(x)的值域．

21．(12分)函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.

(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，求出a，b的值，并说明理由；
(3)结合函数图象的示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 007)，g(2 007)的大小，并按从小到大的顺序排列．

22．(14分)武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

综合检测(一) 答案

1．B　[A＝{x∈N|－≤x≤}＝{0,1}，
∴0∈A，选B.]
2．B　[设y＝xα(α为常数)，则＝3α，
∴α＝，选B.]
3．A　[设A中元素(x，y)与(0,1)对应，则，
∴.选A.]
4．C　[由logx>0得，0<x<1，∴选C.]
5．D　[由函数的定义知，定义域内每一个x对应唯一的y值，因此选D.]
6．A　[由y＝2x(x∈R)得x＝log2y，x，y互换得：y＝log2x(x>0)，选A.]
7．A　[当x≤－1时，
由x＋2＝3得x＝1∉(－∞，－1]．
当－1<x<2时，
由x2＝3得x＝±，
只有∈(－1,2)，∴选A.]
8．C　[x>1时，0<a<1，b>1，c<0，
∴选C.]
9．A　[由>0得，
a>b时，f(a)>f(b)；
a<b时，f(a)<f(b)．
符合增函数定义，选A.]
10．C　[设f(x)＝ex－x－2，
∵f(1)＝2.72－3<0，
f(2)＝7.39－4>0，
∴f(1)·f(2)<0，∴选C.]
11．B　[由已知可得：，
解得：1<x<2.]
12．D　[由图象可得解析式
y＝
当x＝300时，y＝×300＋10＝160.]
13．{1,4,9,16}
解析　B＝{x|x＝t2，t∈A}＝{1,4,9,16}．
14．(2,1)
解析　当x－1＝1时，y＝1，此时与a无关．所以函数恒过定点(2,1)．
15．－8
解析　因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若
f(x)＝f，只有两种情况：
①x＝；②x＋＝0.
由①知x2＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3.
由②知x2＋5x＋3＝0，故其两根之和为x3＋x4＝－5.
因此满足条件的所有x之和为－8.
16．x(42－2x)2　(0,21)
解析　由题意可知剪去小正方形后的容器其高为x，而底部的正方形边长为(42－2x)，
∴y＝x·(42－2x)2，x>0，且42－2x>0得0<x<21.
17．解　由题意A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}
(1)B∪C＝{－2,3,4,5}
A∩(B∪C)＝{－2,3,4,5}．
(2)∁A(B∪C)
＝{－5，－4，－3，－1,0,1,2}
A∩∁A(B∪C)
＝{－5，－4，－3，－1,0,1,2}．
18．解　(1)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－
＝－·＝－.
(2)log512＝
＝＝＝.
19．解　(1)函数f(x)定义域为R，且f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(0)＋f(－0)＝0，f(0)＝0
∴＝0，a＝1.
(2)由(1)得f(x)＝，f(x)在R上为增函数．
证明如下：设x1<x2且x1，x2∈R，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵3x1－3x2<0,3x1＋1>0,3x2＋1>0
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在R上为增函数．
20．解　(1)由题意知，x∈(2，＋∞)时，设f(x)＝a(x－3)2＋4，∵二次函数过点A(2,2)，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.
∵f(x)在定义域R上为偶函数，
∴当x∈(－∞，－2)时，解析式为f(x)＝－2(x＋3)2＋4.
(2)图象如图所示．

(3)值域为(－∞，4]．
21．解　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，
C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)a＝1，b＝9
理由如下：
令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，
则x1，x2为函数φ(x)的零点．
∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，
∴函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈(1,2)，x2∈(9,10)，
因此整数a＝1，b＝9.
(3)从图象上可以看出，
当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，
∴f(6)<g(6)．
当x>x2时，f(x)>g(x)．
∴g(2 007)<f(2 007)，
又∵g(6)<g(2 007)，
∴f(6)<g(6)<g(2 007)<f(2 007)．
22．解　设报摊主每天买进报纸x份，每月利润为y元(x为正整数)．
当x≤250时，y＝0.1×30×x＝3x.
当250<x≤400时，
y＝0.1×20×x＋0.1×10×250－(x－250)×0.32×10
＝2x＋250－3.2x＋800
＝1 050－1.2x.
当x>400时，
y＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x－400)×0.32×20－(x－250)×0.32×10
＝800＋250－6.4x＋2 560－3.2x＋800
＝－9.6x＋4 410.
当x≤250时，当x＝250时，ymax＝3×250＝750元．
当250<x≤400时，ymax<1 050－1.2×250＝750元．
当x>400时，ymax<－9.6×400＋4 410＝570元．
故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．