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概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式
第一部分 概率论基本公式
1、 2、对偶率：
3、概率性率：

4、古典概型

5、条件概率

例:有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球,某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率;（2）如果取得是红球,那么是从第一个罐中取出的概率为多少？
6、独立事件
（1）P（AB）=P（A）P（B),则称A、B独立。
(2）伯努利概型
如果随机试验只有两种可能结果:事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：
P(A）=p， (0<p〈1，p+q=1）
相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。
伯努利定理： (k=0，1,2……）
事件A首次发生概率为：
例：设事件A在每一次试验中发生的概率为0。3，当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,(1)进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.

第二章
7、常用离散型分布
（1）两点分布：若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为：
（0<p<1）则称X服从处参数为p的两点分布。
其中期望E(X）=p,D（X）=p(1-p）
(2）二项分布：若一个随机变量X的概率分布由 （k=0,1，2……）给出，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为:X~b（n,p)(或B(n，p)
其中,当n=1时为0—1分布。 其期望E（X）=np，方差D（X）=np(1-p)
(3）泊松分布：若一个随机变量X概率分布为：则称X服从参数为的泊松分布,记为：，其中.
泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为，如果时，，则对任意给定的k，
有，这表明，当n很大时，p接近0或1时，有(）. N≥20，p≤0.05时用泊松分布。其期望方差相等,即:E（X）=D（X)= 。
8、常用连续型分布
(1）均匀分布:若连续随机变量X的概率密度为则称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X～U（a,b).其中，分布函数为:

其期望E（X）=，方差D（X）=。
（2)指数分布：若随机变量的概率为，则称X服从参数为的指数分布，简记为X~e().其分布函数：
其期望E(X)=，方差D(X)=.
(3)正态分布：若随机变量X的概率密度为，则称X服从参数为μ和的正态分布,记为X～N(μ， ）,其中μ和（〉0）都是常数。分布函数为:。当称为标准正态分布，概率密度函数为:分布函数为:
定理：设
其期望E(X)= μ,D（X)= 。

9、随机变量函数的分布（1)离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值，然后通过Y的每一个可能的取值（i=1,2，……）来确定Y的概率分布。
（2）连续型随机变量函数分布方法:设已知X的分布函数或者概率密度，则随机变量Y=g(X）的分布函数,其中，，进而可通过Y的分布函数,求出Y的密度函数。
例：设随机变量X的密度函数为,求随机变量
10、设随机变量X～N(,Y=也服从正态分布.即.

11、联合概率分布(1）离散型联合分布：
X Y
……
P｛X=}

p

P｛Y=

1
（2)连续型随机变量函数的分布：
例：设随机变量(X，Y)的密度函数
求，，D(X+Y).
解:①当0≤x≤2时由，得:，当x<0或x>2时，由,所以,

同理可求得：;
② E(X）=，由对称性同理可求得,E(Y）=7/6。
③因为E(XY)=
所以，cov(X,Y）= E(XY)- E（X) E（Y）=4/3—（7/6)=-1/36。
④
同理得D(Y）=,所以，=
⑤D（X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X，Y)=
12、条件分布:若
13、随机变量的独立性:由条件分布设A=｛Y≤y｝，且P{Y≤y}〉0,则：
，设随机变量（X，Y）的联合分布概率为F（x,y），边缘分布概率为，若对于任意x、y有：
，即：,则称X和Y独立.
14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（X,Y)的概率密度为，边缘概率密度函数为,则对于一切使>0的x，定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为：,同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为：,若=几乎处处成立，则称X，Y相互独立。
例：设二维随机变量(X，Y）的概率密度函数为：，求(1)确定常数c；（2）X,Y的边缘概率密度函数；（3）联合分布函数F(x，y）；（4）P{Y≤X｝;
(5)条件概率密度函数；（6）P｛X<2｜Y<1｝
15、数学期望:（1）离散型：
（2）连续型：，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机变量都有数学期望。
数学期望的性质:① E（CX)=CE(X) ① ③设X，Y独立，则E（XY）=E（X）E（Y).
例：10个人随机进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求E（X)(设每个人进入房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立）
附：二项分布b(n，p)和两点分布b(1，p)的另一个关系，仍设一个实验只有两个结果:，且P(A)=p,现在将试验独立进行n次，记为n次试验中结果A出现的次数，则，若记
其中:
16、方差：（1)
（2)方差性质:①D(CX)=CD(X）；②若X。Y相互独立，则:
17、协方差：(1)cov(X,Y)=E(XY)—E（X)E（Y），特别，X，Y独立时，有：cov(X,Y）=0。
（2）协方差性质：①cov(X，X)=D（X）；②cov（aX，bY）=ab cov(X，Y);③cov(C,Y)=0;④cov(，Y）=⑤随机变量和的方差与协方差的关系。
(3）相关系数,性质:①;②若X和Y相互独立,则=0，即X和Y不相关.③若D（X）>0，D（Y)〉0，则当且仅当存在常数a,b（)，使：

附注：
④设e=E[Y-(,称为用来近似Y的均方差,则:设D（X)〉0，D(Y）〉0，有：使均方误差达到最小。
18、切比雪夫不等式：设随机变量X的期望E(X)=μ,方差D（X）=,则对于给定任意正数，有:
19、大数定理:设随机变量X，X,……X……相互独立,且具有相同的期望和方差:
，i=1，2,3……，,则对于任意>0,有：
20、中心极限定理；（1）设随机变量X,X,……X……相互独立，服从同一分布，且， i=1,2，3……,则：

(2)棣莫佛-拉普拉斯定理：设随机变量X,X,……X……相互独立，并且都服从参数为p的两点分布，则对任意实数x，有：
第二部分 数理统计

24、点估计常用方法（1）矩估计法：先求E（X),得到一个E(X)与未知参数的式子，用E（X)表示未知参数,再把E(X）用代替即可.
例：已知总体X的概率分布为求参数的矩估计。

（2）最大似然估计：一般方法：a、写出最大似然函数L(;或c、判断并求出最大值点，在最大值点得表达式中，用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。

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