矩阵论论文(机械传动).doc

“矩阵论”课程研究报告

科 目： 矩阵理论及其应用 教 师：
姓 名： 学 号：
专 业： 机械工程 类 别： 学硕
上课时间： 2014 年 9 月至 2014 年 12 月
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矩阵论在机械传动方面的应用
摘要：矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合于现代理论数学的抽象结构。而本文着重讨论矩阵在机械传动中的应用，根据滚动轴承几何学、运动学基本原理和Hertz弹性体接触理论，同时考虑径向载荷、轴向载荷、球离心力和陀螺力矩的影响, 建立了角接触球轴承刚度矩阵的计算模型。计算了某型发动机角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵，为该型发动机轴承- 转子系统的动态分析提供了较为准确的边界条件。
关键词：角接触球轴承 刚度矩阵 机械传动
一、引言
矩阵理论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目。它本来是线性代数的一个小分支，但其后由于陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，渐渐发展成为一门独立的学科。经过多年来人们对矩阵的研究，现在已经有很多矩阵的计算方法运用到实际生活中，且一些方法对人们的工作学习有很大的帮助。而刚度矩阵是将一个受力物体划分为n个单元,各单元刚度矩阵集成为结构总刚度矩阵，实现了从单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵的过程。
在机械传动中，我们通常在分析某个零部件时，都要计算该零部件在实际工况中的刚度矩阵，为后续的动态分析提供较为准确的边界条件。而角接触球轴承是轴承－转子系统中广泛使用的一种支承，在机械传动中占据重要地位，其刚度参数对转子的动态特性有重要影响，所以很有必要建立角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵。
二、矩阵论在机械传动方面的应用
1、问题描述
角接触球轴承是轴承－转子系统中广泛使用的一种支承，其刚度参数对转子的动态特性有重要影响。为提高轴承－转子系统的动态分析精度，建立了角接触球轴承刚度矩阵计算模型，模型考虑了径向载荷、轴向载荷、球离心力和陀螺力矩的影响。计算了某型发动机角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵，为该型发动机轴承－转子系统的动态分析提供了较为准确的边界条件[1]。
以某型发动机支承轴承为例, 根据其实际工况,计算角接触球轴承的刚度矩阵。轴承的结构参数为:轴承内径为190mm,外径为 290mm, 球直径为28 mm, 球数 28,内、外圈沟道沟曲率半径R分别为14.42 mm和14 .56 mm, 初始接触角为。运行工况: F = [ 15 000 , 18 000 , 35 000 , 100 ,300]T, 内圈转速为1 500 r/min ,外圈静止。
2、方法简述
1）基本假设
角接触球轴承在外载荷及球离心力和陀螺力矩的共同作用下,使轴承内外圈产生相对位移，如图1所示。在考虑轴承实际运行的基础上建立角接触球轴承力学模型时，作如下假设：
(1)轴承受载时，外圈固定，内圈产生刚体位移。
(2)轴承所有变形均发生在球上，且变形在球材料弹性范围内。
(3)球与沟道之间的弹性接触力与接触变形的关系满足Hertz接触理论。

图 1 角接触球轴承坐标系及其受载变形示意图
2）刚度矩阵的理论推导
①球的运动
根据套圈控制理论[2],对外圈固定、 内圈随轴系运转的角接触球轴承, 建立如图2所示坐标系。球的公转速度、自转速度以及各运动量间有如下关系

图 2 球的运动示意图

式中：为轴承内圈转速，；为球直径，为轴承球组节圆直径，、为球与外、内圈间的压力角；为球的姿态角，且有。
②球受力
在轴承运转中，球承受着多种载荷。在满足工程计算精度的前提下，本例主要考虑球所受的离心力 和陀螺力矩。

式中:为球的密度，J为球的转动惯量。
图 3为球的受力示意图，根据球上力和力矩的平衡条件[3]，可得第j个球的平衡方程

图3 球的受力图

式中:、为第j个球与外、内圈间的接触载荷；、 为第 j个球与外、内圈间的压力角。
③位移-变形关系
固定外圈沟曲率中心为坐标原点 A, 在 平面内,轴承沟曲率中心与球的位移变形关系如图 4所示。在外载荷作用下, 球中心由移动到,内圈沟曲率中心由移动到。根据文献[4] ,得以下方程

图 4 位移-变形关系示意图
式中:、为内圈沟曲率中心最终位置坐标,为球与外圈的初始接触角, D为内、外圈沟曲率中心初始距离,且；、为外、内圈沟曲率半径系数;为球旋转时的中心半径,且 为第j个球与基准球间的夹角, 、为第j个球与外、 内圈间的接触变形, 、为第 j个球与外、 内圈间的实际接触角, , 为第 j个球中心最终位置坐标。
根据 Hertz接触理论[5], 第j个球与外、内圈间的法向作用力可表示为

式中: 、为第 j个球与外、内圈间的接触刚度系数,与轴承的结构参数和材料有关。
3) 刚度矩阵
根据轴承受力平衡条件[6],作用在轴承上的外力与所有球对轴承内圈的作用力平衡, 可得以下平衡方程

采用Newton-Raphson迭代法[7]对 ( 5 )、( 6)、( 14)和( 15)式进行求解,直到满足收敛精度为止,可得角接触球轴承在一定工况下的变形 , ,,，等参数。由刚度矩阵的定义, 可得角接触球轴承的刚度矩阵K为

3、实验数据和结果
由题意，轴承内径为190mm，外径为290mm, 球直径为28 mm, 球数28，内、 外圈沟道沟曲率半径R分别为14.42 mm和14 .56 mm,初始接触角为 。运行工况: F = [ 15 000 , 18 000 , 35 000 , 100 ,300]T, 内圈转速为1 500 r/min ,外圈静止。计算结果为：

4、结果分析与说明
本文建立了角接触球轴承刚度矩阵的计算模型,计算了某型发动机支承轴承的刚度矩阵, 为发动机轴系的有限元分析提供了准确的边界条件, 对提高轴承-转子系统的动态分析精度起到积极的作用。同时, 对角接触球轴承的设计和实际应用具有一定的借鉴和参考作用，这说明矩阵在机械传动的应用中有着很大的作用。
参 考 资 料
[1] 谢 涛,刘品宽,陈在礼. 转台轴系轴承刚度矩阵的理论推导与数值计算 [J] . 哈尔滨工业大学学报,2003(3): 329- 333 .
[2] 袁 卫,熊万里,黄红武. 高速精密陶瓷球轴承与钢质球轴承的性能比较研究 [J]. 轴承, 2003(6): 33-36 .
[3] 李松生,裴翠红,王永坚. 高速精密角接触球轴承支承特性分析[J]. 轴承, 2001(2) : 11- 14 .
[4] 黄 浩,张鹏顺,温建民. 航空发动机角接触球轴承刚度的一种实用分析方法 [J]. 南京航空航天大学学报, 2000(8) : 423- 427 .
[5] 万长森.滚动轴承的分析方法 [M]. 北京: 机械工业出版社, 1985 .
[6] 冈本纯三. 球轴承的设计计算 [M]. 黄志强, 译. 北京:机械工业出版社, 2003 : 23- 40 .
[7］Magara TM,裴永臣，谭庆昌，等．高速微小孔钻头动态应力特性［J］．吉林大学学报：工学版，2005,35(6):606-612.
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