2014高一期中考试答案.doc

启东市汇龙中学2013-2014学年度第二学期期中考试(答案)
高一数学试卷
命题人：张士琴 审核人：张 健 2014.4.14
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，满分为70分.请把正确答案填写在答题卷上相应的横线上．
1.直线的倾斜角等于
2.过点且平行于直线的直线方程为
3.已知等差数列中，，则20
4.在中，角A、B、C的对边分别为等于2
5.已知，则的最大值为
6. 已知不等式的解集为，则不等式的解
集为或
7. 等差数列的前n项和为，已知，,则 10
8. 直线l经过A(2，1)、B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是
∪
9．中，已知，若解此三角形时有且只有唯一解，则的值应满足 或
10.如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m的C、D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则AB的距离是20m.

11. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
12. 设均为正实数，且，则的最小值为 16
13. 在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，那么当取最小正数时的值为 39.
14. 已知数列满足
，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得=
二、解答题：本大题共6小题，满分为90分. 请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.( 本小题14分）设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1) 若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2) 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1) 当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零，∴a＝2，即方程为3x＋y＝0符合题意．当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，∴＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，即方程为x＋y＋2＝0.
(2) 解法1：将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或
∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.
解法2：将l的方程化为(x＋y＋2)＋a(x－1)＝0(a∈R)．它表示过l1：x＋y＋2＝0与l2：x－1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x＝1)．由图象可知l的斜率－(a＋1)≥0，即a≤－1时，直线l不经过第二象限．
16. (本小题14分）已知数列，其前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；
（Ⅱ）如果数列满足，求数列前项和；
解：（Ⅰ）当时，，
当时，
．
又满足，
．
∵ ，
∴数列是以5为首项，为公差的等差数列．
（Ⅱ）由已知得 ，
∵ ，
又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
∴数列前项和为．
17. (本小题15分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.
(1) 若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a、b的值；
(2) 若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．
解：(1) ∵ c＝2，C＝，∴ 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝4.又△ABC的面积为，
∴ absinC＝，即ab＝4.联立方程组
解得a＝2，b＝2.
(2) 由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴ cosA·(sinA－sinB)＝0，∴ cosA＝0或sinA－sinB＝0.当cosA＝0时，∵ 0＜A＜π，∴ A＝，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴ △ABC为等腰三角形或直角三角形．

18. (本小题满分15分） 近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费 (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 (单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和.
试解释的实际意义, 并建立关于的函数关系式;
当为多少平方米时,取得最小值?最小值是多少万元?
解: (1) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,
即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费
由,得
所以 ---------8分
(2)因为
当且仅当,即时取等号
所以当为55平方米时, 取得最小值为57.5万元 ---------------------16分
19. (本小题满分16分） 在△中,已知角的对边分别为且．
（I）求角的值
（II）若为锐角三角形,求函数的值域.
解（1）由，得
，………………………………………………3分
由余弦定理得…………………………………………4分
………………………………………………6分
（2）因为
………………………11分
而且为锐角三角形,所以，则，所以
故所求函数的值域为……………………………………16分
20. (本小题满分16分）解：（1），―――――――――1分
即，代入计算得，因为对任意的恒成立，所以―――――3分：
（2）符号为负
证明：当时，
………………5分
当时，是由正数组成的数列，则且
……3分

综上，为负 ……………………8分
（3）假设存在一个正常数满足题意，则有

………………………………12分
……………14分

由（1）得
式不成立
故不存在正常数使结论成立 ………………………………16分