高等代数第七章线性变换复习讲义.docx

第七章 线性变换
一.线性变换的定义和运算
1.线性变换的定义
（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的一个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的一个线性变换。
（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V.
它们都是V的线性变换。
（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P.
2.线性变换的性质
设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有
（1） A（0）=0；
（2） A（-α）=-A（α），任意α∈V；
（3） A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;
（4） 若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A（α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…, αs线性无关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(αs)线性无关。
3.线性变换的运算
运算
公式定义
线性变换

性质
乘积
(AB)( α)=A(B(α)) (α∈V)
是
(AB)(α+β)=(AB)( α)+(AB)( β); (AB)(k α)=k(AB)( α),这说明AB是线性的.
有结合律: εA=Aε=A,一般无交换律，消去律。

和（加法）
（A+B）（α）=A(α)+B(α) (α∈V)
是
(A+B)（α+β）=（A+B）（α）+（A+B）（β）； （A+B）（kα）=k（A+B）（α）;这是A+B是线性变换。
a.有结合律和交换律，A+(B+ζ)=（A+B）+ζ，A+B=B+A；
b.零变换ο：A+ο=A；
c.负变换也是线性的：（-A）（α）=-A（α） d.线性变换的乘法对加法有左右分配律：A(B+ζ)=AB+Aζ，（B+ζ）A=BA+ζA；

数量乘法
kA=KA即(kA)(α)= K(A(α))= KA(α)
是

它有结合律和两种分配律
逆变换
A-1=B，AB=BA=ε
是
线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A-1也是线性变换。A-1（α+β）=A-1（α）+A-1(β)，A-1(α)=kA-1(α)

幂
AA…A=An,
A0=E

A（m+n）=Am+An,(Am)n=Amn,A-n=(A-1)n;值得注意的是（AB）n不等于AnBn
多项式
f（A）=amAm+…+a0+ε
是

如果在P[x]中有h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)+g(x)，那么h(A)=f(A)+g(A),p(A)=f(A)+g(A)，特别地，f(A)g(A)=g(A)f(A)，即同一个线性变换的多项式的乘法是可变换的。
总结：线性
空间上V的全体线性
变
换，也构成P上一个线性空
间。
4.线性变换与基的关系
（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，如果线性变换A和B在这组基上的作用相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B.
（2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，对于V中任意一组向量α1，α2，…,αn,存在唯一一个线性变换A使Aεi=αi,i=1,2，…,n.
二．线性变换的矩阵
1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的一组基，A是V中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出
Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εn
Aε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn
……
Aεn= a1nε1+a2nε2+…annεn
用矩阵表示就是A（ε1，ε2，…, εn）=（ε1，ε2，…, εn）A,其中
a 11 a 12 …… a 1n
a 21 a 22 …… a 2n
A= ……
a n1 a n2 …… a nn
称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。
2.线性变换与其矩阵的关系
（1）线性变换的和对应于矩阵的和；
（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
（3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
（4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。
3. α与A(α)在同一组基下的坐标之间的关系
设A在基α1，α2，…,αn下的矩阵为A，对任意α∈V，设α在基α1，α2，…,αn下的坐标为（x1,x2,…,xn）,即α=（α1，α2，…, αn）x1 ，则A（α）=A （（α1，α2，…, αn
X1 )=[ A(α1, α2,…, αn)] x1 = (α1, α2,…, αn)A x1 .即A（α）在基α1, …,
… … … …
Xn xn Xn xn

αn下的坐标是A（α）=A x1

4.同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
设α1，α2，…, αn和β1，β2，…, βn是V的两组基，且α1，α2，…, αn到β1，β2，…, βn的过渡矩阵为T，即（β1，β2，…, βn）=（α1，α2，…, αn）T，T是n级可逆矩阵，若A在基α1，α2，…, αn下的矩阵为A，则A在基β1，β2，…, βn下的矩阵为T1 AT，它和 A在基α1，α2，…, αn下的矩阵A是相似的，即同一个线性变换在不同基下的矩阵相似。
三．特征值和特征向量
1．特征值与特征向量的定义
设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数λ0，存在一个非零向量ξ，使得Aξ=λ0ξ,那么λ0 称为A的一个特征值，而ξ称为A的属于特征值λ0 的一特征向量。
2．特征矩阵和特征多项式的定义
设A是数域P上一n级矩阵，λ是一个文字，矩阵λE-A的行列式
|λE-A|= λ-a11 -a12 … -a1n 称为A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式。
-a21 λ-a22 … -a2n
……
-an1 -an2 … λ-ann
3.求线性变换A的特征值和特征向量的步骤
（1）在线性空间V中取一组基ε1，ε2，…, εn,写出A在这组基下的矩阵A；
（2）求出A的特征多项式|λE-A|在数域P中的全部根，即为A （或者A）的全部特征值；
（3）对于每个特征值λ，求解齐次线性方程组（λE-A）X=0，求得的非零解，即为对应于λ的特征向量。
4.相关性质列举
（1）线性变换A（或n级方阵A）的属于不同特征值的特征向量线性无关。
（2）设λ0 是n级方阵A的特征值，则
a.任意k∈N，λ0k 是Ak 的特征值；
b．任意l∈P，lλ0 是lA的特征值；
c．设f（x）是多项式，则f（λ0 ）是f（A）的特征值；
d．若A可逆，则λ0≠0，且1/λ0 是A-1 的特征值。
（3）若λ0 是线性变换A（或n级方阵A）的特征值。属于λ0 的所有特征向量再添加零向量构成V（或Pn ）的子空间，称这个子空间为A（或A）的关于特征值λ0 的特征子空间，记作Vλ0 ，而维（Vλ0）为（λ0 E-A）X=0的解空间的维数。
（4）若λ1，λ2，…,λs是线性变换A（或n级方阵A）的全部互异的特征值，则和Vλ1+…+Vλs是直和。若维（Vλ1）+…+维（Vλs）=n，则V= Vλ1 +…+Vλs ,且Vλ1，…，Vλs的基的联合是V的一组基，在此基下，A的矩阵是准对角型。
（5）A∈Pn×n ,设λ1，…, λs(可能有相同的)为A的全部特征根，则λ1+λ2+…+λn=(a11 +…+ann )称为A的迹。
四．矩阵的相似和相似对角化
（1）矩阵相似的定义
设A.B 为数域P上两个n级矩阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1 AP=B，则称 A和B相似，记为A~B。
（2）矩阵相似的性质
a.矩阵的相似是一种等价关系，即满足反身性、对称性和传递性；
b．线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。
（3）n级方阵A相似对角化的判别
设P为数域，）A∈Pn×n ,设λ1，…, λs为A的所有互异的特征值，则下列条件等价：
a. A与数域P上的对角矩阵相似；
b. 在P中，A有n个线性无关的特征向量；
c. Σ（λi 的重数）=n，且Vλi的维数=λi的重数，i=1,2，…,s;
d. Σdim（Vλi）=n；
e. A的最后一个不变因子无重根；
f. A的初等因子是一次的。
五．线性变换的值域与核
1.定义：设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域，用A V表示；所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A-1 （0）表示。线性变换的值域和核都是V的子空间。
2.值域和核的性质
（1）设A是n维线性空间V的一个线性变换，ε1，ε2，…, εn是V的一组基，在这组基下的矩阵是A，则有
a. A V=L(Aε1，Aε2，…, A εn);
b. A 的秩等于A的秩。
(2) 设A是线性空间V的一个线性变换,则A V的一组基的原像及A-1 （0）的一组基起来就是V的一组基，并且有A的秩+A的零度=n。
（3）值域和核都是V的不变子空间。
（4）若V是有限维线性空间，则A是单射＜＝＞A-1 （0）=﹛0﹜＜＝＞A V=V＜＝＞A是满射。
（5）A 的秩等于A的值域A V的维数，A的零度等于A-1 （0）的维数。
六．不变子空间
1、不变子空间的定义
为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.
在中，设是数量变换，即有一个确定的数k，使得对任意，设W是中过原点的一个平面，W是的一个子空间，对W中每一个向量，在作用之下的像仍是W中的向量，这样的子空间W就是的不变子空间.
定义1 设是F上向量空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间，若W中向量在下的像仍在W中，即对于W中任一向量，都有，则称W是的一个不变子空间，或称W在之下不变.
例1 向量空间V本身和零子空间是V的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.
例2 向量空间V的任一子空间都是数量变换的不变子空间.
例3 在R[x]中，令，对任意是R[x]的子空间，并且是的不变子空间.
例4 设是中以过原点的一条直线L为轴,旋转角的变换,则L是的一维不变子空间;过原点且与L垂直的平面H是的一个二维不变子空间.
2、不变子空间的判断
下面给出一种判断不变子空间的方法
定理7.4.1 设是n维向量空间V的一个线性变换，W是V的子空间，是W的基.则W是的不变子空间的充要条件是在W中.
设W是向量空间V的关于线性变换的不变子空间，那么对于任意的，必有，因此也可看作是向量空间W的一个线性变换，用表示，即对于任意，

若，那么就没有意义. 叫做在W上的限制.
4、不变子空间与线性变换的矩阵的关系
设是n维向量空间V的一个线性变换，W是的一个非平凡不变子空间.在W中取一个基，把它扩充成V的一个基，由于，故可设

…………

…………

因此，关于这个基的矩阵为

这里是关于W的基的矩阵.
4.不变子空间与空间分解

（1）如果V可以分解成两个非平凡不变子空间与的直和

那么选取的一个基和的一个基，凑成V的一个基，当和都在下不变时，关于这个基的矩阵是

这里是r阶矩阵，是n-r阶矩阵，它们分别是关于基的矩阵和关于基的矩阵.
（2）若V可分解成s个非平凡子空间的直和，并且每一都是的不变子空间，那么在每一子空间中取一个基，凑成V的基，关于这个基的矩阵就为分块对角形矩阵

其中是关于的基的矩阵，
（3）设线性变换 A 的特征多项式f（λ）可以分解成一次因式的乘积 f（λ）=（λ-λ1 ）r1 （λ-λ2 ）r2 ……（λ-λs ）rs ,则V可以分解成不变子空间的直和V=V1 V1…Vs ，其中Vi =﹛ξ|（A —λiε）ri ξ=0，ξ∈P﹜
5.根子空间的定义
我们称Vi =﹛ξ|（A —λiε）ri ξ=0，ξ∈P﹜为A 的属于特征值λi的根子空间，常记为Vλi.