线性代数B答案.doc

线性代数模拟题
一．单选题.
1. 若是五阶行列式的一项，则、的值及该项符号为（ C ）．
（A），，符号为负； (B) ，符号为正；
(C) ，，符号为负； (D) ，，符号为正．
2. 下列行列式（ A ）的值必为零．
(A) 阶行列式中，零元素个数多于个；
(B) 阶行列式中，零元素个数小于个；
(C) 阶行列式中，零元素个数多于个；
(D) 阶行列式中，零元素的个数小于个．
3. 设，均为阶方阵，若，则必有（ D ）．
（A）； (B)； (C)； (D)．
4. 设与均为矩阵，则必有（ C ）．
（A）；（B）；（C）；（D）．
5. 如果向量可由向量组线性表出，则（ D ）
(A) 存在一组不全为零的数，使等式成立
(B) 存在一组全为零的数，使等式成立
(C) 对的线性表示式不唯一
(D) 向量组线性相关
6. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ A ）
(A)系数矩阵的任意两个列向量线性相关
(B) 系数矩阵的任意两个列向量线性无关
(C )必有一列向量是其余向量的线性组合
(D)任一列向量都是其余向量的线性组合
7. 设n阶矩阵A的一个特征值为λ，则(λA－1)2＋I必有特征值（C ）
(a)λ2+1 (b)λ2-1 (c)2 (d)-2
8. 已知 与对角矩阵相似，则＝（ A ）
(a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2
9. 设，，均为阶方阵，下面（ D ）不是运算律．
（A） ； （B）；
（C）； （D）．
10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵．
(A)；（B）；（C）；（D）．
二．计算题或证明题（
1. 已知矩阵A，求A10。其中
参考答案：
，求的A的特征值为。
当时，解方程（A-E）x=0，由，得基础解系，单位化为
当时，解方程（A-2E）x=0，由，得基础解系，单位化为
将P1、P2构成正交矩阵：，有
，则，和答案不一样啊，不知道怎么回事。
参考答案：
2. 设A为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ-1是A-1的一个特征值。
参考答案：
当A可逆时，由AP=λP,有P=λA-1P，因为P≠0，知道λ≠0，因此
A-1P=λ-1P,所以λ-1是A-1的一个特征值
3. 当取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

参考答案：
对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有
当时，即时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解。

此时解为：
当a=1时，R（A）=R（B）=1，方程组有无穷解
此时解为：
当时，R（A）=2，R（B）=,3无解。
4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

参考答案：
则向量的秩为3
极大无关组为：，且
5. 若是对称矩阵，是正交矩阵，证明是对称矩阵．
参考答案：，因为T是正交矩阵，所以，又A是对称矩阵，，所以
，是对称阵。