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《电动力学》期中考试题（2010/5/3）
填空题（选作10题，共30分）
一、麦克斯韦方程组是电磁现象实验定律的总结和提高。这些基本的实验规律主要是指
1. 库仑定律（写出它的数学表达式）
2. 安培环路定律 和毕奥-萨伐尔定律
3. 法拉第电磁感应定律 以及场的叠加原理 .
4. 在此基础上，可以推演出积分形式的麦克斯韦方程组，即
电场和磁场的高斯定理 和
电场和磁场环路积分的两个定理 和
5. 在讲有关静磁场的安培环路定理推广到时变电磁场的过程中，麦克斯韦提出了位移电流的重要概念，它定义为
二、利用矢量分析的高斯定理 和斯托克斯定理 , 不难写出微分形式的麦克斯韦电磁方程组。由麦克斯韦方程组还可以简单推导出电荷-电流的连续性方程 ，它是电荷守恒定律的必然要求和数学表示。
三、一旦建立了电磁规律的普遍数学形式，再推导特别关注介质作用的麦克斯韦方程组只需要定义和引用介质的极化强度矢量 和磁化强度矢量 。它们可以简单直接地描述极化电荷、极化电流和磁化电流，即 　　 、 　 和 　　　 。由此我们可以将方程组中的两个方程改写为包含电位移矢量 　　　　磁场强度矢量　 　　　　　　 的形式，即
　　　　　　　　 和 　　　　　　 　　　
四、像空气和水这样一些简单介质，它们的极化强度矢量、电位移矢量、磁感应强度矢量与场强遵循特别简单的线性关系　　　　　、　　　　　、　　　　　　、　　　　　　　，所以电磁波在这些简单介质中的波动方程与在自由空间中的波动方程形式一致，明显的差异突出表现在波的传播速度　　　　　　　　　和折射率　　　　　　　　　　　。
五、考虑电磁场对带电粒子的作用，即洛仑兹公式　　　　　　　　　　　，可以探索粒子运动状态改变与电磁场状态变化的关系，即确定带电粒子的机械动量　　　　　　　和能量　　　　　　　　与场的动量密度　　　　　　　　　　和能量密度　　　　　的关系。由此推导出的动量流密度张量 和能量流密度的坡因亭矢量 也都描述电磁波的重要性质。
六、虽然我们常常不加区分地利用麦克斯韦方程组的微分和积分形式，但是在涉及两种介质的界面问题时，不能保证有关物理量的连续性，必须利用方程的积分形式推导出电磁场的边值关系，例如
七、由于静电场是无旋的，即 ，总可以引进标势函数来描述静电场，即 。由于静磁场是无源的，即 ，总可以引入矢势函数来描述静磁场，即 。静电场标势满足泊松方程 ，任意电荷分布产生的静电势常表示为库仑定律的形式 。
八、静电场和静磁场的规范不变性是指 。静磁场矢势满足方程。在库仑规范下，即静磁场的矢势函数满足附加条件 ，静磁场的矢势函数遵循方程 。任意电流分布产生的静磁势也表示为类似于库仑定律的形式 。
九、小电荷系统是指 。小电荷系统在远处产生的电场通常可以分解为总电量所决定的库仑场，总电偶极子所决定的偶极场，以及电四极矩所决定的电四极场。在外电场中，小电荷系统的静电能亦可作相应的分解。特别重要的是，电偶极子受到的力矩为 ，在非均匀外场中受到的合外力为 。
十、小电流系统是指 。小电流系统在远处产生的静磁场通常主要表现为磁偶极场 。在外磁场中，磁偶极矩受到的力矩为 ，在非均匀外场中受到的合外力为 。
十一、半无限接地金属外点电荷的镜像电荷是指 ；接地金属球外点电荷的镜像电荷是指 。
十二、点电荷的电荷密度分布可以函数表示为 ，电偶极子和电四极子的电荷分布可以函数分别表示为 和 。
简单计算题（选作3题，30分）
一、写出均匀电场和均匀磁场的标势和矢势函数，并验证它们的正确性。
二、确定电偶极子场的电势函数和电场分布，并画出其等势面和电力线的示意图。
三、构造一个总电荷为零，电偶极矩也为零的简单电荷系统（电四极子），并计算它的电势函数和电四极矩。
四、试确定磁偶极子的偶极矩和偶极场，并简单讨论它的磁场分布。
五、试确定均匀极化电介质球的极化电荷分布（即计算它的表面极化电荷密度和极化电荷体密度）。试确定均匀极化磁介质球的极化电流分布，以及它的磁荷分布。
六、举例说明如何采用Green函数确定给定边条件和电荷分布下的电势分布。例如，由电势为零可以得到第一类球外Green函数，由此可以根据相应的Green公式求电势不为零时的电势分布和金属球上的带电量。
七、写出简谐平面电磁波的数学表达式，并讨论它的横波性质。
计算题（选作2题，共30分）
一、金属球的静电学问题。（1）试根据静电学的拉普拉斯方程论证处于静电平衡状态的金属球所带电荷均匀分布在小球的表面上，其静电场具有球对称性；（2）求处于均匀外场中金属小球的电荷分布和电势分布。
二、介质球的静电学问题。试根据静电学的拉普拉斯方程确定处于均匀外场中的均匀介质小球的电极化状况，以及介质小球产生的电势分布。
三、磁介质球的静磁学问题。试根据静磁学的磁标势方程确定处于均匀外场中的均匀磁介质小球的磁化状况，以及介质小球产生的磁场分布。
四、载流线圈的静磁学问题。

→高斯定理
(积分方程) →散度方程 (微分方程)。
1. 毕奥-萨伐定律→磁场中的高斯定理
(积分方程) →散度方程 (微分方程)。
2. 法拉第电磁感应定律、变化的磁场激发电场→ (积分方程)→旋度方程 (微分形式)。
3. 毕奥-萨伐定律、位移电流假设、变化的电场激发磁波→积分方程 →旋度方程 (微分形式)。
4. 电荷守恒定律的积分与微分方程。
5. 要求能正确写出积分与微分形式的麦克斯韦方程。
一、 导出电磁场的边值关系。为何需要边值关系？
二、 电磁能量守恒关系：
1. 能量密度、能流密度、场与电荷相互作用形成的能量转移。
2. 坡印亭矢量S。

第二章
一、 静电场的基本问题：泊松方程、唯一性定理。
二、 球坐标中的拉普拉斯方程的求解。
三、 镜像法。
四、 了解格林函数法求解泊松方程的思路。

第三章
一、 引入矢势A的方程，方程的求解。

第四章
一、 正弦电磁场的复矢量表示。导出频域的麦克斯韦方程。
二、导出时域与频域的波动方程。
三、平面电磁波、平面电磁波的特性。
四、趋肤效应和穿透深度。
五、 波导截止频率(截止波长)；谐振腔谐振频率。

第五章
一、引入矢势与标势描述的电磁场。导出矢势与标势在不同规范条件下的达朗贝尔方程。
二、证明推迟势满足洛仑兹条件。
三、 了解偶极辐射与电磁场的动量。

第六章
一、 相对论产生的历史背景，迈克尔孙-莫来实验，实验结果？
二、相对论的两个基本原理－相对论的两条基本假设。
三、光速不变原理的数学表示。
四、洛仑兹变换公式。